Aller au contenu principal

Mathématiques — PCSI (10 h / semaine)

Structure conforme au programme officiel 2021 (annexe 1 de l'arrêté du 5 janvier 2021). Le programme est découpé en deux semestres. Le premier semestre est volontairement centré sur la consolidation des techniques de calcul et le raisonnement ; le second introduit l'algèbre linéaire abstraite, l'intégration et les probabilités.

Trois grands domaines sur l'année : analyse, algèbre, probabilités. Les objets à savoir manipuler en priorité : nombres complexes, suites, fonctions, développements limités, matrices, espaces vectoriels, polynômes.

Premier semestre​

M1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste​

Notions. Propositions, connecteurs (et, ou, non, ⇒, ⇔), quantificateurs ∀ ∃ et leur négation ; types de raisonnement : direct, contraposée, absurde, disjonction de cas, analyse-synthèse, récurrence (simple, forte, double). Ensembles : inclusion, parties, réunion/intersection/complémentaire, produit cartésien. Applications : image directe, image réciproque, injection, surjection, bijection, composition, réciproque. Relations d'équivalence, classes ; relations d'ordre. Capacités. Écrire la négation d'un énoncé quantifié ; rédiger une récurrence complète (initialisation, hérédité, conclusion) ; montrer qu'une application est injective/surjective/bijective. Pièges. Confondre ∀x∃y et ∃y∀x ; oublier l'initialisation ; « réciproque » ≠ « contraposée » ; rédaction : chaque affirmation doit être justifiée par une définition ou un théorème nommé.

M2 — Calculs algébriques​

Notions. Sommes et produits finis (notation Σ, Π), changements d'indice, télescopage, sommes doubles, sommes géométriques et arithmétiques, factorielle, coefficients binomiaux, triangle de Pascal, formule du binôme de Newton, factorisation de aⁿ − bⁿ. Systèmes linéaires : pivot de Gauss, systèmes échelonnés, rang d'un système, compatibilité. Capacités. Calculer une somme classique en 2 lignes ; manier les indices sans erreur ; résoudre un système par pivot en identifiant inconnues principales/secondaires. Pièges. Bornes des sommes lors d'un changement d'indice ; oublier le cas q = 1 dans une somme géométrique.

M3 — Nombres complexes et trigonométrie​

Notions. Forme algébrique, conjugué, module, argument ; formes trigonométrique et exponentielle ; formules d'Euler et de Moivre ; linéarisation et factorisation d'expressions trigonométriques ; racines n-ièmes de l'unité, racines n-ièmes d'un complexe ; équations du second degré à coefficients complexes ; exponentielle complexe ; interprétation géométrique (translations, rotations, similitudes directes) ; trigonométrie circulaire complète (formules d'addition, duplication, arc moitié, transformation somme ↔ produit). Capacités. Passer d'une forme à l'autre ; résoudre zⁿ = a ; linéariser cos³x ; utiliser l'angle moitié pour factoriser 1+eiθ1 + e^{i\theta}. Pièges. Argument défini modulo 2π ; |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂| (inégalité triangulaire) ; ne pas oublier les n racines.

M4 — Techniques fondamentales de calcul en analyse​

Notions. Inégalités dans ℝ, valeur absolue, majoration/minoration. Fonctions usuelles : exp, ln, puissances, fonctions circulaires et circulaires réciproques (arcsin, arccos, arctan), fonctions hyperboliques (sh, ch, th). Dérivation : rappels, dérivée des fonctions usuelles, dérivée d'une composée, dérivée d'une réciproque. Primitives et calcul intégral (calcul « à la main », IPP, changement de variable simples). Équations différentielles linéaires d'ordre 1 (avec et sans second membre, variation de la constante) et d'ordre 2 à coefficients constants (équation caractéristique, second membre polynomial × exponentielle, résonance). Capacités. Étudier une fonction complète (domaine, dérivée, variations, limites, graphe) ; résoudre y′ + a(x)y = b(x) et y″ + ay′ + by = f(x). Pièges. Domaine de définition d'arcsin ∘ sin ; oublier la constante d'intégration ; solutions particulières lorsque le second membre est solution de l'équation homogène.

M5 — Nombres réels et suites numériques​

Notions. Borne supérieure / inférieure, propriété de la borne supérieure, partie entière, densité de ℚ. Suites : limite (définition avec ε), unicité, opérations, comparaison, théorème de convergence monotone, suites adjacentes, suites extraites, théorème de Bolzano-Weierstrass (énoncé), suites arithmético-géométriques, suites récurrentes linéaires d'ordre 2, suites récurrentes uₙ₊₁ = f(uₙ) (étude via monotonie de f, points fixes, intervalle stable). Capacités. Démontrer une convergence par encadrement ou monotonie ; étudier uₙ₊₁ = f(uₙ) avec un dessin d'escalier ; trouver la forme explicite d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2. Pièges. « Croissante et majorée ⇒ convergente » : ne pas oublier la majoration ; une suite bornée n'est pas forcément convergente ; le point fixe n'est une limite que si la suite converge.

M6 — Limites, continuité, dérivabilité​

Notions. Limite d'une fonction (finie/infinie, en un point / à l'infini), limites à gauche/droite, opérations, encadrement, composition, caractérisation séquentielle. Continuité en un point, sur un intervalle ; théorème des valeurs intermédiaires, théorème des bornes atteintes, théorème de la bijection (continue strictement monotone). Dérivabilité, interprétation géométrique, dérivée à gauche/droite, dérivée d'une réciproque ; théorème de Rolle, égalité et inégalité des accroissements finis, lien dérivée / monotonie ; dérivées successives, classe Cⁿ, formule de Leibniz. Capacités. Démontrer l'existence d'une solution à f(x) = 0 par TVI ; prouver une inégalité par les accroissements finis ; étudier la dérivabilité en un point litigieux. Pièges. Continuité ≠ dérivabilité ; Rolle nécessite f(a) = f(b) ; l'inégalité des AF demande |f′| ≤ M sur tout l'intervalle.

M7 — Analyse asymptotique​

Notions. Relations de comparaison : négligeabilité (o), domination (O), équivalence (~), pour suites et fonctions ; croissances comparées. Développements limités : formule de Taylor-Young, DL usuels en 0 (eˣ, ln(1+x), (1+x)^α, sin, cos, tan, arctan, sh, ch), opérations (somme, produit, composition, quotient, intégration), DL d'une fonction en un point quelconque, développement asymptotique. Capacités. Calculer un DL à l'ordre 3 sans erreur ; lever une forme indéterminée ; trouver tangente, position relative, asymptote ; déterminer un équivalent de suite. Pièges. On ne dérive pas un DL, on l'intègre ; l'ordre d'un produit dépend du terme de plus bas degré ; équivalents et sommes ne se mélangent pas.

M8 — Polynômes​

Notions. Anneau K[X], degré, opérations, division euclidienne, divisibilité, racines et multiplicité, polynôme dérivé, formule de Taylor polynomiale, polynômes scindés, théorème de d'Alembert-Gauss, factorisation dans ℂ[X] et ℝ[X], relations entre coefficients et racines (degré 2 et 3), fonctions polynomiales, interpolation de Lagrange (introduction). Capacités. Factoriser Xⁿ − 1 dans ℝ[X] ; déterminer la multiplicité d'une racine via les dérivées ; utiliser les relations coefficients-racines. Pièges. Un polynôme réel de degré impair a au moins une racine réelle ; racine double ⇔ P(a) = P′(a) = 0.

M9 — Systèmes linéaires et calcul matriciel​

Notions. Matrices à coefficients dans K, opérations, produit, transposée, matrices carrées, diagonales, triangulaires, symétriques ; puissances (binôme si commutation), matrices inversibles et inverse (calcul par pivot), matrices élémentaires, écriture matricielle d'un système, résolution. Capacités. Calculer un produit sans erreur d'indice ; inverser une 3×3 par pivot ; calculer Aⁿ par récurrence ou via A = D + N. Pièges. AB ≠ BA en général ; (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ ; ne pas diviser par une matrice.

Second semestre​

M10 — Espaces vectoriels et applications linéaires​

Notions. Espace vectoriel sur K, sous-espaces, combinaisons linéaires, sous-espace engendré, familles libres/génératrices/bases, somme et somme directe de sous-espaces, sous-espaces supplémentaires. Applications linéaires, noyau, image, injectivité ⇔ Ker = {0}\{0\}, endomorphismes, isomorphismes, projecteurs et symétries (caractérisation p∘p = p). Capacités. Montrer qu'une partie est un sous-espace ; prouver qu'une famille est libre ; déterminer Ker et Im. Pièges. Un sous-espace contient toujours 0 ; « libre » se prouve par une combinaison linéaire nulle, pas par « les vecteurs ne sont pas colinéaires ».

M11 — Espaces vectoriels de dimension finie​

Notions. Dimension, théorème de la base incomplète, dimension d'un sous-espace, formule de Grassmann, rang d'une famille, théorème du rang, caractérisation des isomorphismes en dimension finie (injective ⇔ surjective ⇔ bijective quand dim E = dim F). Capacités. Utiliser le théorème du rang pour conclure ; montrer que deux sous-espaces sont supplémentaires par dimension + intersection nulle. Pièges. La formule de Grassmann s'applique à deux sous-espaces d'un même espace.

M12 — Matrices et applications linéaires​

Notions. Matrice d'une application linéaire dans des bases, matrice de passage, changement de base, matrices équivalentes et semblables, rang d'une matrice, trace (invariance par similitude), lien inversibilité ↔ isomorphisme. Capacités. Écrire la matrice d'un endomorphisme ; changer de base ; calculer un rang par pivot. Pièges. Sens de la formule de changement de base A′ = P⁻¹AP ; la trace est linéaire, pas multiplicative.

M13 — Déterminants​

Notions. Déterminant d'une matrice carrée, multilinéarité, caractère alterné, déterminant d'un produit, d'une transposée, développement selon une ligne/colonne, opérations élémentaires, déterminant d'un endomorphisme, caractérisation de l'inversibilité (det ≠ 0), déterminant de Vandermonde (exemple). Capacités. Calculer un déterminant 3×3 ou n×n structuré ; utiliser det pour prouver l'inversibilité. Pièges. Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit des coefficients diagonaux ; une opération de type 2 sur une ligne ne change pas det.

M14 — Intégration​

Notions. Intégrale d'une fonction continue (par morceaux) sur un segment, propriétés (linéarité, positivité, Chasles), inégalité triangulaire intégrale, valeur moyenne, sommes de Riemann, primitive et théorème fondamental, intégration par parties, changement de variable, formules de Taylor avec reste intégral et inégalité de Taylor-Lagrange, intégrale d'une fonction à valeurs complexes. Capacités. Calculer une intégrale de Wallis par IPP ; encadrer une intégrale ; utiliser une somme de Riemann pour une limite de suite. Pièges. Bornes lors d'un changement de variable ; Taylor-Lagrange est une inégalité ici.

M15 — Séries numériques​

Notions. Série, sommes partielles, convergence, reste ; terme général → 0 (condition nécessaire), séries géométriques, séries de Riemann, séries à termes positifs (comparaison, équivalents, règle de d'Alembert), convergence absolue, séries alternées (critère spécial), lien suite / série télescopique. Capacités. Déterminer la nature d'une série par comparaison à Riemann ; sommer une série géométrique ou télescopique. Pièges. uₙ → 0 ne suffit pas ; comparer des équivalents seulement pour termes de signe constant.

M16 — Espaces préhilbertiens réels​

Notions. Produit scalaire, norme euclidienne, inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire, orthogonalité, familles orthonormées, procédé de Gram-Schmidt, projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie, distance à un sous-espace, supplémentaire orthogonal. Capacités. Orthonormaliser une famille de 3 vecteurs ; calculer une projection orthogonale et une distance. Pièges. Gram-Schmidt échoue si la famille est liée ; la projection est le meilleur approché dans le sous-espace.

M17 — Dénombrement​

Notions. Cardinal d'un ensemble fini, réunion disjointe, produit cartésien, p-listes, arrangements, permutations, combinaisons, cardinal de l'ensemble des parties, formule de Pascal (interprétation combinatoire), principe des tiroirs. Capacités. Compter des mains, des mots, des anagrammes ; choisir entre liste / arrangement / combinaison. Pièges. Arrangement = ordre compte, combinaison = pas ; les anagrammes avec répétitions divisent par les factorielles des multiplicités.

M18 — Probabilités sur un univers fini​

Notions. Espace probabilisé fini, événements, probabilité, équiprobabilité, probabilités conditionnelles, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales, formule de Bayes, indépendance (deux événements, famille). Capacités. Modéliser une expérience par un arbre ou un système complet d'événements ; appliquer Bayes proprement. Pièges. P(A|B) ≠ P(B|A) ; l'indépendance est symétrique, la conditionnalité non.

M19 — Variables aléatoires sur un espace fini​

Notions. Variable aléatoire, loi, lois usuelles (uniforme, Bernoulli, binomiale), fonction d'une variable, espérance (linéarité, théorème de transfert), variance, écart-type, couples de variables, lois marginales et conditionnelles, indépendance, covariance, variance d'une somme, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev. Capacités. Reconnaître une loi binomiale ; calculer espérance et variance d'une somme ; utiliser Tchebychev pour majorer une probabilité. Pièges. Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y) ; l'indépendance annule le covariance.

M20 — Fonctions de deux variables​

Notions. Fonctions ℝ² → ℝ, continuité (notion), dérivées partielles, gradient, fonctions de classe C¹, développement limité d'ordre 1, règle de la chaîne, dérivées partielles secondes, théorème de Schwarz, points critiques et recherche d'extremums (conditions nécessaires), équations aux dérivées partielles simples. Capacités. Calculer un gradient ; trouver les points critiques ; résoudre ∂f/∂x = 0 par changement de variables. Pièges. Point critique ≠ extremum (selle possible) ; le théorème de Schwarz suppose C².

Les démonstrations exigibles (à savoir refaire en colle)​

Le programme officiel signale des démonstrations « à connaître ». Les plus fréquemment demandées en colle :

  • Irrationalité de √2 ; formule du binôme ; somme des racines n-ièmes de l'unité.
  • Unicité de la limite ; théorème de convergence monotone ; suites adjacentes.
  • TVI (esquisse), Rolle et accroissements finis.
  • Formules de Taylor (reste intégral par IPP).
  • Théorème du rang ; caractérisation des projecteurs.
  • Cauchy-Schwarz ; Gram-Schmidt.
  • Inégalités de Markov et Tchebychev.

Priorités pour un élève qui veut prendre de l'avance en septembre​

  1. M2 – M4 : calcul (sommes, complexes, dérivées, primitives, ED) — ce sont les outils de tout le reste ; il faut être rapide et propre.
  2. M5 – M7 : suites et fonctions — cœur des DS du premier trimestre.
  3. Rédaction : à chaque exercice, nommer le théorème utilisé et vérifier ses hypothèses avant de conclure. Un résultat juste sans justification vaut 0 aux concours.