1. Limites et continuité

Page d'appui (niveau 3)

Cette page est une page d'appui de niveau 3 : elle précède le socle M6 et sert de rappel (pas un chapitre du référentiel). Le chapitre de niveau 2 correspondant est M6 — Limites, continuité, dérivabilité.

Objectif du chapitre. Maîtriser la notion de limite d'une fonction (en un point, à l'infini), savoir manipuler les formes indéterminées, et relier la limite à la continuité. C'est l'outil de base de toute étude de fonction en prépa.

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1.1 Définition de la limite

L'intuition

Dire que $f(x)$ tend vers $L$ quand $x$ tend vers $a$ signifie que, en rapprochant $x$ de $a$ (sans forcément l'atteindre), les valeurs $f(x)$ se rapprochent de $L$.

Formellement, on note :

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

et on dit que $L$ est la limite de $f$ en $a$. La limite peut être :

• un réel $L$ (limite finie),
• $+\infty$ ou $-\infty$ (limite infinie).

Point clé. La limite en $a$ ne dépend pas de la valeur de $f(a)$ : on regarde le comportement de $f$ au voisinage de $a$, pas en $a$ lui-même. C'est pourquoi on peut parler de limite en un point où $f$ n'est même pas définie.

Limite à l'infini

On note $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = L$ si, en faisant tendre $x$ vers $+\infty$, $f(x)$ se rapproche de $L$. De même pour $x \to -\infty$.

1.2 Opérations sur les limites

Les limites se comportent « bien » par rapport aux opérations, à condition de ne pas tomber dans une forme indéterminée.

Opération	Résultat
$\lim (f + g)$	$\lim f + \lim g$
$\lim (f \times g)$	$\lim f \times \lim g$
$\lim (f / g)$	$\lim f \,/\, \lim g$ si $\lim g \neq 0$
$\lim (\lambda f)$	$\lambda \lim f$

Théorème des gendarmes (encadrement)

Si, au voisinage de $a$, on a $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$, et si $\lim g = \lim h = L$, alors :

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

Intuition. $f$ est « coincée » entre $g$ et $h$ qui convergent vers la même valeur : $f$ n'a pas le choix.

Le théorème des gendarmes est l'outil de référence pour les limites oscillantes bornées (ex. $\dfrac{\sin(x)}{x}$ en $+\infty$, borné par $\pm \dfrac{1}{x} \to 0$), là où les opérations directes échouent. Attention : $x\sin(x)$ en $+\infty$ n'est pas un cas des gendarmes (la fonction est non bornée : elle diverge).

1.3 Formes indéterminées

Quatre formes indéterminées apparaissent et doivent être levées par manipulation :

Forme	Exemple	Levée typique
$\infty - \infty$	$\sqrt{x^2 + x} - x$ en $+\infty$	factoriser le terme dominant / conjuguer
$0 \times \infty$	$x \ln x$ en $0^+$	réécrire en fraction
$0/0$	$\sin(x)/x$ en $0$	factoriser / dérivées
$\infty/\infty$	$x^2/(x+1)$ en $+\infty$	diviser par la puissance dominante

Règle pratique. Devant une forme indéterminée, on factorise le terme dominant (en $x \to 0$ : le plus petit degré ; en $x \to \infty$ : le plus grand degré).

Exemple : levée de $0/0$

Calculons $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ quand $x \to 1$.

• En $x = 1$, on a $0/0$ : forme indéterminée.
• On factorise : $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
• Donc $\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$ (pour $x \neq 1$).
• Par suite, $\lim\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2$.

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$$

1.4 Continuité

Définition

Une fonction $f$ est continue en $a$ si et seulement si :

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

autrement dit, la limite existe et vaut la valeur de la fonction.

Conséquences

• Les fonctions usuelles (polynômes, exponentielle, logarithme, trigonométriques, racines) sont continues sur leur domaine de définition.
• Toute opération (somme, produit, quotient, composition) de fonctions continues est continue sur le domaine où elle a un sens.
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors $f([a, b])$ est un intervalle ; en particulier, si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = 0$.

Le TVI est l'outil standard pour prouver l'existence d'une solution d'une équation : on encadre la solution entre deux points de signes opposés.

Discontinuité

Une fonction peut ne pas être continue en un point $a$ :

• discontinuité de 1re espèce (limite finie) : saut ou point isolé ;
• discontinuité de 2e espèce (limite infinie ou oscillante) : asymptote verticale ou oscillation.

Culture (hors programme). La distinction « 1re / 2e espèce » est usuelle en analyse mais n'est pas exigible en PCSI ; il suffit de savoir reconnaître une limite finie (saut) et une limite infinie (asymptote verticale).

1.5 Limites usuelles à connaître

Limite	Valeur
$\lim\limits_{n \to +\infty} (1 + 1/n)^n$	$e$
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(1 + x)^\alpha - 1}{x}$	$\alpha$
$\lim\limits_{x \to 0} (e^x - 1)/x$	$1$
$\lim\limits_{x \to 0} \ln(1 + x)/x$	$1$
$\lim\limits_{x \to 0} \sin(x)/x$	$1$

Ces limites usuelles sont les taux d'accroissement des fonctions usuelles en $0$ ; elles se retrouvent partout (dérivation, développement limité).

Capacités citées

Cette page legacy (niveau 3) renvoie vers le chapitre de niveau 2 M6 — Limites, continuité, dérivabilité pour les capacités exigibles : M6.tv (existence par valeurs intermédiaires), M6.accroissements-finis (égalité des accroissements finis), M6.derivabilite (dérivabilité). L'étude de fonction complète est traitée dans M4 — Techniques fondamentales de calcul en analyse.

Exercices

1. Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 + 1}{x^2 - 2}$.
2. Calculer $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$.
3. Montrer que $\lim\limits_{x \to 0} x \cdot \sin(1/x)$ existe et la calculer.
4. Prouver que l'équation $x^3 - x - 1 = 0$ admet une solution dans $[1, 2]$.