M18 — Probabilités sur un univers fini

Objectif du chapitre. Maîtriser les probabilités sur un univers fini : la modélisation par un espace probabilisé, les probabilités conditionnelles, la formule des probabilités composées, la formule des probabilités totales, la formule de Bayes et l'indépendance. L'objectif est de savoir modéliser une expérience par un arbre ou un système complet d'événements, et appliquer Bayes proprement.

Notions

1. Espace probabilisé fini

Un espace probabilisé fini est un couple $(\Omega, P)$ où $\Omega$ est un ensemble fini (l'univers) et $P : \mathcal{P}(\Omega) \to [0, 1]$ est une mesure de probabilité :

• $P(\Omega) = 1$ ;
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ si $A \cap B = \varnothing$ (additivité pour les événements disjoints).

Un événement est une partie $A \subset \Omega$ ; $P(A)$ est sa probabilité.

Équiprobabilité. Si tous les éléments de $\Omega$ sont équiprobables, alors $P(A) = \dfrac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert}$ pour tout événement $A$ ; c'est le cas des expériences équitables (dé, pièce, tirage au sort).

Propriétés usuelles. $P(\varnothing) = 0$ ; $P(A^c) = 1 - P(A)$ ; $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ; si $A \subset B$ alors $P(A) \leq P(B)$ ; $|P(A) - P(B)| \leq P(A \triangle B)$.

2. Probabilités conditionnelles

Soient $A, B$ deux événements avec $P(B) > 0$. La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$$

Interprétation. $P(A \mid B)$ est la probabilité de $A$ dans l'univers restreint à $B$ (on « sait » que $B$ est survenu).

Propriétés. $P(A \mid B) = \dfrac{P(B \mid A)\, P(A)}{P(B)}$ (forme de Bayes) ; $P(A \mid B) \neq P(B \mid A)$ en général ; $P(A \mid B) = P(A)$ si et seulement si $A$ et $B$ sont indépendants.

3. Formule des probabilités composées

Soient $A_1, \dots, A_n$ des événements avec $P(A_1 \cap \dots \cap A_{n-1}) > 0$. Alors

$$P(A_1 \cap \dots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 \mid A_1) \cdot P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) \cdot \dots \cdot P(A_n \mid A_1 \cap \dots \cap A_{n-1}).$$

Cas $n = 2$. $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B)$.

Application. La formule des probabilités composées est l'outil de base des arbres de probabilités : chaque branche porte une probabilité conditionnelle, et la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches.

4. Formule des probabilités totales

Soit $(A_1, \dots, A_n)$ un système complet d'événements (SCE) : les $A_i$ sont disjoints deux à deux et $\bigcup A_i = \Omega$. Pour tout événement $B$ avec $P(A_i) > 0$ :

$$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B \mid A_i)\, P(A_i).$$

Interprétation. On « décompose » $B$ selon les cas $A_i$ (qui partagent l'univers), et on somme les contributions. C'est l'outil de base des arbres de probabilités avec une racine qui se décompose en plusieurs branches.

Exemple. Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules noires. On tire une boule, on la remet, puis on tire une seconde boule. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur ?

• SCE : $\{R_1\}$ (première rouge, $P = 3/5$), $\{N_1\}$ (première noire, $P = 2/5$).
• $P(\text{deux rouges}) = P(R_1) \cdot P(R_2 \mid R_1) = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}$ (remise, donc $P(R_2 \mid R_1) = 3/5$).
• $P(\text{deux noires}) = P(N_1) \cdot P(N_2 \mid N_1) = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{25}$.
• $P(\text{même couleur}) = \dfrac{9}{25} + \dfrac{4}{25} = \dfrac{13}{25}$.

5. Formule de Bayes

Soit $(A_1, \dots, A_n)$ un SCE avec $P(A_i) > 0$, et $B$ un événement avec $P(B) > 0$. Alors

$$P(A_i \mid B) = \frac{P(B \mid A_i)\, P(A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B \mid A_j)\, P(A_j)}.$$

Interprétation. La formule de Bayes permet de remonter les probabilités : on part de l'observation $B$ et on calcule la probabilité de chaque cause $A_i$ a posteriori. Le dénominateur est la probabilité totale de $B$ (formule des probabilités totales).

Exemple (diagnostic). Une maladie affecte $1\%$ de la population. Un test a une sensibilité de $99\%$ ($P(+ \mid \text{malade}) = 0.99$) et une spécificité de $95\%$ ($P(- \mid \text{non malade}) = 0.95$, donc $P(+ \mid \text{non malade}) = 0.05$). Quelle est la probabilité d'être malade sachant un test positif ?

• SCE : $\{\text{malade}\}$ ($P = 0.01$), $\{\text{non malade}\}$ ($P = 0.99$).
• $P(+ \mid \text{malade}) = 0.99$, $P(+ \mid \text{non malade}) = 0.05$.
• $P(+) = P(+ \mid \text{malade}) P(\text{malade}) + P(+ \mid \text{non malade}) P(\text{non malade}) = 0.99 \cdot 0.01 + 0.05 \cdot 0.99 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594$.
• $P(\text{malade} \mid +) = \dfrac{0.99 \cdot 0.01}{0.0594} = \dfrac{0.0099}{0.0594} \approx 0.167$.

Même avec un test positif, la probabilité d'être malade n'est que d'environ $17\%$ (car la maladie est rare et le test a des faux positifs). C'est le paradoxe de la base : l'a priori ($1\%$) domine l'a posteriori.

6. Indépendance

Deux événements. $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A)\, P(B)$. Équivalent : $P(A \mid B) = P(A)$ (si $P(B) > 0$), ou $P(B \mid A) = P(B)$ (si $P(A) > 0$).

Famille d'événements. Une famille $(A_1, \dots, A_n)$ est indépendante si, pour tout sous-ensemble $I \subset \{1, \dots, n\}$, $P\left(\bigcap_{i \in I} A_i\right) = \prod_{i \in I} P(A_i)$.

Propriétés.

• L'indépendance n'est PAS transitive : si $A$ et $B$ sont indépendants, et $B$ et $C$ sont indépendants, $A$ et $C$ ne sont pas nécessairement indépendants (il faut l'indépendance mutuelle de la famille pour conclure).
• Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $B^c$ sont indépendants, et $A^c$ et $B$ sont indépendants.

Piège. $A$ et $B$ indépendants ne implique pas que $A \cup B$ et $A \cap B$ sont indépendants (ni que $A \setminus B$ et $B$ le sont) ; l'indépendance ne se préserve pas par les opérations booléennes en général.

Exemple d'indépendance. Soit $A = \{1, 2\}$ et $B = \{1, 3\}$ dans $\Omega = \{1, 2, 3, 4\}$ équiprobable. On a $P(A) = 1/2$, $P(B) = 1/2$, $P(A \cap B) = P(\{1\}) = 1/4 = P(A) P(B)$ : $A$ et $B$ sont indépendants. Mais $A^c = \{3, 4\}$ et $B$ : $P(A^c \cap B) = P(\{3\}) = 1/4 = P(A^c) P(B)$ : $A^c$ et $B$ sont aussi indépendants (cohérent avec la propriété).

7. Arbre de probabilités (méthode de modélisation)

Un arbre de probabilités est l'outil de modélisation de référence pour les expériences en plusieurs étapes :

1. La racine représente le départ de l'expérience.
2. Chaque nœud représente un état (un événement).
3. Chaque branche porte une probabilité conditionnelle (la probabilité de l'état suivant sachant l'état actuel).
4. La probabilité d'un chemin (de la racine à une feuille) est le produit des probabilités des branches du chemin.
5. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.

Lecture de l'arbre.

• De la racine vers les feuilles : formule des probabilités composées (produit).
• Des feuilles vers la racine (pour un événement donné) : formule des probabilités totales (somme) et formule de Bayes (remonter les probabilités).

Exemple (urne sans remise). Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules noires. On tire deux boules sans remise. Quelle est la probabilité d'obtenir une rouge et une noire (dans n'importe quel ordre) ?

• Arbre : première boule R ($2/5$) ou N ($3/5$) ; seconde boule (sans remise) : si R d'abord, alors R ($1/4$) ou N ($3/4$) ; si N d'abord, alors R ($2/4$) ou N ($1/4$).
• Chemin R puis N : $\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{20}$.
• Chemin N puis R : $\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20}$.
• $P(\text{une R et une N}) = \dfrac{6}{20} + \dfrac{6}{20} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$.

Capacités exigibles

• M18.bayes — Appliquer la formule de Bayes : identifier le SCE (les causes), calculer la probabilité totale de l'observation (dénominateur), et calculer la probabilité a posteriori de chaque cause (numérateur).

Pièges classiques

• $P(A \mid B) \neq P(B \mid A)$ : la probabilité conditionnelle n'est pas symétrique ; $P(A \mid B) = \dfrac{P(B \mid A)\, P(A)}{P(B)}$ (forme de Bayes), pas l'inverse.
• L'indépendance est symétrique, la conditionnalité non : $A$ indépendant de $B$ $\iff$ $B$ indépendant de $A$, mais $P(A \mid B) \neq P(B \mid A)$ en général.
• Formule de Bayes : le dénominateur est la probabilité totale : il faut sommer toutes les contributions $P(B \mid A_i) P(A_i)$ (pas seulement celle de la cause considérée) ; oublier un terme du SCE donne un résultat faux.
• SCE : les événements sont disjoints ET partagent l'univers : il ne suffit pas qu'ils soient disjoints (il faut aussi $\bigcup A_i = \Omega$) ; un SCE est une partition de l'univers.
• Indépendance mutuelle vs indépendance par paires : l'indépendance par paires (chaque paire est indépendante) ne suffit pas pour l'indépendance mutuelle (tous les sous-produits) ; il faut vérifier tous les sous-ensembles.
• Paradoxe de la base : même avec un test très sensible, si la maladie est rare, la probabilité a posteriori d'être malade peut être faible ; l'a priori (prévalence) domine.

Graphe de référence

La probabilité a posteriori $P(\text{malade} \mid +)$ en fonction de la prévalence $p$ (sensibilité $0.99$, spécificité $0.95$) est $P(\text{malade} \mid +) = \dfrac{0.99\, p}{0.99\, p + 0.05\, (1 - p)}$ ; la courbe montre que même pour $p = 10\%$, la probabilité a posteriori n'est que d'environ $69\%$, et pour $p = 1\%$, elle n'est que d'environ $17\%$.

Pour aller plus loin

Annales utilisables sur ce chapitre (§4 de l'annexe Ressources, exercices et annales) : CCINP et e3a (exercice de probabilités, souvent 100 % PCSI).

Voir aussi Ressources, exercices et annales pour les manuels recommandés et les banques d'exercices gratuites.