M5 — Nombres réels et suites numériques

Objectif du chapitre. Poser les fondements de l'analyse réelle (borne supérieure, partie entière, densité de $\mathbb{Q}$) et maîtriser l'étude des suites : prouver la convergence par monotonie ou par encadrement, utiliser les suites adjacentes, et étudier les suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$ avec le dessin d'escalier.

Notions

1. Nombres réels : bornes et partie entière

Borne supérieure et inférieure. Soit $A \subset \mathbb{R}$ non vide. Un majorant de $A$ est un réel $M$ tel que $\forall a \in A,\, a \leq M$ ; on dit que $A$ est majorée s'il en existe un. Le supremum $\sup A$ est le plus petit des majorants (s'il existe) ; le infimum $\inf A$ est le plus grand des minorants.

Propriété de la borne supérieure (complétude de $\mathbb{R}$). Tout sous-ensemble non vide de $\mathbb{R}$ majoré admet un supremum dans $\mathbb{R}$. Cette propriété distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$ : l'ensemble $\{x \in \mathbb{Q},\, x^2 < 2\}$ est majoré (par $2$) mais n'a pas de borne supérieure dans $\mathbb{Q}$ (c'est la démonstration classique de l'irrationnalité de $\sqrt{2}$) ; elle est le fondement de la convergence des suites monotones.

Partie entière. Pour $x \in \mathbb{R}$, la partie entière $\lfloor x \rfloor$ est l'unique entier tel que $\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1$. Propriétés : $\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1$, $\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n$ pour $n \in \mathbb{Z}$, et $\lfloor x \rfloor = k \iff k \leq x < k + 1$.

Densité de $\mathbb{Q}$. Entre deux réels distincts $a < b$, il existe un rationnel $q$ tel que $a < q < b$ (et même un entier $n$ tel que $a < n < b$ si $b - a > 1$).

Remarque. Toute suite d'entiers convergente est stationnaire (constante à partir d'un certain rang) : si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et est constituée d'entiers, alors pour $\varepsilon = 1/2$, il existe $N$ tel que $n \geq N \Rightarrow |u_n - \ell| \leq 1/2$ ; comme deux entiers distincts sont à distance $\geq 1$, tous les $u_n$ ($n \geq N$) sont égaux.

2. Limites de suites

Définition (avec $\varepsilon$). La suite $(u_n)$ converge vers $\ell \in \mathbb{R}$ si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un entier $N$ tel que $\forall n \geq N,\, |u_n - \ell| \leq \varepsilon$. On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$.

Propriétés.

• Unicité : une suite convergente a une seule limite.
• Opérations : si $u_n \to \ell$ et $v_n \to \ell'$, alors $u_n + v_n \to \ell + \ell'$, $u_n v_n \to \ell \ell'$, et $\dfrac{u_n}{v_n} \to \dfrac{\ell}{\ell'}$ si $\ell' \neq 0$.
• Comparaison : si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang, alors $\lim u_n \leq \lim v_n$.
• Théorème des gendarmes (encadrement) : si $u_n \leq v_n \leq w_n$ à partir d'un certain rang et $\lim u_n = \lim w_n = \ell$, alors $\lim v_n = \ell$.
• Suite bornée : une suite convergente est bornée ; la réciproque est fausse ($(-1)^n$ est bornée et non convergente).

Suites extraites. Une suite extraite de $(u_n)$ est une suite $(u_{n_k})$ où $(n_k)$ est strictement croissante (ex. les termes de rang pair $u_{2k}$, ou les termes de rang carré $u_{k^2}$). Si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors toute suite extraite converge aussi vers $\ell$ (réciproque fausse : $u_n = (-1)^n$ diverge mais l'extrait $u_{2k} = 1$ converge).

Théorème de Bolzano-Weierstrass (énoncé). Toute suite bornée de réels admet une sous-suite convergente. C'est l'outil qui permet de passer d'une suite bornée à une suite extraite convergente (par construction, en choisissant des termes dans des intervalles emboîtés de demi-longueur tendant vers $0$).

3. Convergence par monotonie

Théorème de convergence monotone. Une suite croissante et majorée est convergente ; une suite décroissante et minorée est convergente. De plus, si $(u_n)$ est croissante et majorée par $M$, alors sa limite $\ell$ vérifie $u_0 \leq \ell \leq M$.

Méthode. Pour prouver la convergence d'une suite monotone :

1. Prouver la monotonie (par récurrence : $u_{n+1} - u_n \geq 0$ ou $u_{n+1} \leq u_n$).
2. Prouver la majoration (ou minoration) — souvent par récurrence.
3. Conclure par le théorème de convergence monotone.

Exemple. Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{1 + u_n}$.

• Majoration : soit $\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (solution de $\varphi^2 = \varphi + 1$). Par récurrence, $u_n < \varphi$ : c'est vrai au rang 0 ($1 < \varphi$) ; si $u_n < \varphi$, alors $u_{n+1} = \sqrt{1 + u_n} < \sqrt{1 + \varphi} = \sqrt{\varphi^2} = \varphi$.
• Monotonie : $u_{n+1} \geq u_n \iff \sqrt{1 + u_n} \geq u_n \iff 1 + u_n \geq u_n^2 \iff u_n^2 - u_n - 1 \leq 0$, ce qui est vrai puisque $0 \leq u_n < \varphi$. La suite est donc croissante.
• Conclusion : $(u_n)$ est croissante et majorée par $\varphi$, donc convergente vers $\ell \leq \varphi$. En passant à la limite, $\ell = \sqrt{1 + \ell}$, donc $\ell = \varphi$.

4. Suites adjacentes

Théorème des suites adjacentes. Soient $(u_n)$ croissante et $(v_n)$ décroissante. Si $\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0$, alors $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite.

Méthode. Pour utiliser ce théorème :

1. Prouver que $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ décroissante (souvent par récurrence).
2. Prouver que $v_n - u_n \to 0$ (encadrement, formule de somme, ou calcul direct).
3. Conclure : les deux suites convergent vers la même limite $\ell$.

Exemple (moyenne arithmético-géométrique). Soient $a_0 = 2$, $b_0 = 1$ et, pour tout $n$, $a_{n+1} = \dfrac{a_n + b_n}{2}$ (moyenne arithmétique) et $b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}$ (moyenne géométrique).

• Inégalité et monotonie : par l'inégalité arithmético-géométrique, $a_{n+1} \geq b_{n+1}$ (égalité seulement si $a_n = b_n$). L'invariant $a_n \geq b_n$ (vrai à $n = 0$ car $2 \geq 1$, et stable par l'inégalité arithmético-géométrique) donne $a_{n+1} = \tfrac{a_n + b_n}{2} \leq a_n$ et $b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} \leq \sqrt{a_n \cdot a_n} = a_n$ ; comme $b_{n+1} \geq b_n$ (car $a_n \geq b_n$), $(a_n)$ décroît et $(b_n)$ croît, avec $b_n \leq a_n$.
• Écart : $a_{n+1} - b_{n+1} = \dfrac{a_n + b_n}{2} - \sqrt{a_n b_n} = \dfrac{(\sqrt{a_n} - \sqrt{b_n})^2}{2} \leq \dfrac{a_n - b_n}{2}$ (l'inégalité se vérifie en posant $t = \sqrt{b_n/a_n} \geq 1$ et en réduisant à $(t - 1)^2 \geq 0$). L'écart $a_n - b_n$ est donc au plus divisé par 2 à chaque pas, et tend vers $0$.
• Conclusion : $(a_n)$ et $(b_n)$ convergent vers la même limite, la moyenne arithmético-géométrique de $2$ et $1$ (notée $M(2, 1)$, liée au calcul des intégrales elliptiques).

5. Suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$

Méthode générale. Soit $f : I \to \mathbb{R}$ continue et $(u_n)$ définie par $u_0 \in I$ et $u_{n+1} = f(u_n)$.

1. Stabilité de l'intervalle : prouver que $I$ est stable par $f$ (si $x \in I$ alors $f(x) \in I$), afin que la suite soit bien définie pour tout $n$.
2. Monotonie : étudier le signe de $f(x) - x$ sur $I$ pour déterminer le sens de variation de $(u_n)$.
3. Convergence : appliquer le théorème de convergence monotone (monotone + bornée).
4. Limite : si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $\ell$ est un point fixe de $f$ ($\ell = f(\ell)$) ; on résout $f(\ell) = \ell$ pour trouver $\ell$.

Dessin d'escalier. On trace la courbe $y = f(x)$ et la droite $y = x$ ; le point $A_0$ d'abscisse $u_0$ sur la droite $y = x$ donne $A_1$ sur la courbe $y = f(x)$ (même abscisse), puis $A_2$ sur la droite $y = x$ (même ordonnée), etc. La convergence de la suite se lit sur la convergence de la « spirale » vers le point fixe.

Exemple. Soit $f(x) = \dfrac{x + 1}{2}$ et $u_0 = 0$.

• Stabilité : $f([0, 1]) = [0.5, 1] \subset [0, 1]$.
• Monotonie : $f(x) - x = \dfrac{1 - x}{2} \geq 0$ sur $[0, 1]$, donc $(u_n)$ est croissante.
• Majoration : $u_n \leq 1$ par récurrence.
• Conclusion : $(u_n)$ converge vers $\ell$ avec $\ell = \dfrac{\ell + 1}{2}$, donc $\ell = 1$.

6. Suites arithmético-géométriques et récurrentes linéaires d'ordre 2

Arithmético-géométrique. $u_{n+1} = a\, u_n + b$ (avec $a \neq 1$) : la suite $v_n = u_n - \dfrac{b}{1 - a}$ est géométrique de raison $a$, donc $u_n = \dfrac{b}{1 - a} + \left(u_0 - \dfrac{b}{1 - a}\right) a^n$.

Récurrente linéaire d'ordre 2. $u_{n+2} = a\, u_{n+1} + b\, u_n$ : on résout l'équation caractéristique $r^2 - a\, r - b = 0$.

• Deux racines réelles distinctes $r_1, r_2$ : $u_n = A\, r_1^n + B\, r_2^n$.
• Racine double $r_0$ : $u_n = (A + B\, n)\, r_0^n$.
• Racines complexes $\alpha \pm i\beta$ : $u_n = \rho^n (A\cos(n\theta) + B\sin(n\theta))$ avec $\rho = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$ et $\theta = \arg(\alpha + i\beta)$.

Les constantes $A, B$ se déterminent à partir de $u_0$ et $u_1$.

Démonstrations exigibles

Démonstration exigible — à savoir refaire : convergence monotone. Soit $(u_n)$ croissante et majorée par $M$. L'ensemble $A = \{u_n\}$ est non vide et majoré ; par la propriété de la borne supérieure, il admet un supremum $\ell$. Par définition du supremum, $u_n \leq \ell$ pour tout $n$ ; et comme $u_n$ croît vers $\ell$, pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $n$ tel que $u_n > \ell - \varepsilon$ (sinon $\ell - \varepsilon$ serait un majorant plus petit que $\ell$). Donc $u_n \to \ell$. Suites adjacentes : si $(u_n)$ croît, $(v_n)$ décroît et $v_n - u_n \to 0$, alors $(u_n)$ est majorée par $v_0$ (donc convergente, par le théorème ci-dessus) et $(v_n)$ est minorée par $u_0$ (convergente) ; leurs limites sont égales car la différence tend vers $0$. Irrationalité de $\sqrt{2}$ : supposons $\sqrt{2} = p/q$ en forme irréductible. Alors $p^2 = 2q^2$, donc $p^2$ est pair, donc $p$ est pair, $p = 2p'$ ; alors $4p'^2 = 2q^2$, $q^2 = 2p'^2$, donc $q$ est pair : contradiction avec l'irréductibilité.

Capacités exigibles

• M5.convergence-monotone — Démontrer une convergence par monotonie : prouver la monotonie (par récurrence) et la bornitude, puis appliquer le théorème de convergence monotone.
• M5.suites-adjacentes — Utiliser le théorème des suites adjacentes : prouver que $(u_n)$ est croissante, $(v_n)$ décroissante, et $v_n - u_n \to 0$.
• M5.suites-recurrentes — Étudier une suite définie par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ : stabilité de l'intervalle, monotonie, convergence, point fixe, et dessin d'escalier.

Pièges classiques

• « Croissante et majorée ⇒ convergente » : ne pas oublier la majoration. Une suite croissante peut diverger vers $+\infty$ (ex. $u_n = n$) ; il faut prouver la majoration.
• Une suite bornée n'est pas forcément convergente : $(-1)^n$ est bornée et non convergente ; il faut la monotonie (ou l'adjacence) pour conclure.
• Le point fixe n'est une limite que si la suite converge : résoudre $f(\ell) = \ell$ donne des candidats ; il faut prouver la convergence pour identifier la limite.
• Stabilité de l'intervalle : si $I$ n'est pas stable par $f$, la suite peut sortir de $I$ et devenir non définie ; il faut prouver la stabilité avant d'étudier la monotonie.
• Dessin d'escalier : la spirale peut « sauter » au-dessus de la droite $y = x$ si $f$ n'est pas contractante ; la convergence n'est pas garantie par le dessin seul.
• Suite d'entiers convergente : elle est stationnaire (constante à partir d'un certain rang), pas seulement bornée.

Graphe de référence

La suite $u_0 = 0$, $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 1}{2}$ converge vers $1$ ; la courbe $y = \dfrac{x + 1}{2}$ et la droite $y = x$ donnent le dessin d'escalier (croissant, converge vers le point fixe $(1, 1)$).

Pour aller plus loin

Annales utilisables sur ce chapitre (§4 de l'annexe Ressources, exercices et annales) : CCINP PC/PSI Maths 1 (exercices 1 et 2), e3a Maths — parties « analyse réelle ».

Voir aussi Ressources, exercices et annales pour les manuels recommandés et les banques d'exercices gratuites.