M4 — Techniques fondamentales de calcul en analyse

Objectif du chapitre. Avoir les automatismes de calcul de l'analyse : dériver, intégrer, et résoudre les équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2 à coefficients constants. L'étude complète de fonction (domaine, dérivée, variations, limites, graphe) renvoie au chapitre de niveau 3 Limites et continuité et Dérivation ; ici on se concentre sur les techniques de calcul qui servent dans chaque chapitre du programme.

Notions

1. Fonctions usuelles et dérivées

Tableau des dérivées usuelles (à connaître par cœur) :

$f(x)$	$f'(x)$	Domaine
$x^n$ ($n \in \mathbb{R}$)	$n x^{n-1}$	$]0, +\infty[$ si $n$ non entier ($x^n = e^{n\ln x}$)
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$\mathbb{R}^*$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0, +\infty[$ (dérivable ; définie sur $[0, +\infty[$)
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$]0, +\infty[$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$\sin x$	$\cos x$	$\mathbb{R}$
$\cos x$	$-\sin x$	$\mathbb{R}$
$\tan x$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\mathbb{R} \setminus \left(\dfrac{\pi}{2} + \pi\mathbb{Z}\right)$
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$]-1, 1[$ (dérivable ; définie sur $[-1, 1]$)
$\arccos x$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$]-1, 1[$ (dérivable ; définie sur $[-1, 1]$)
$\arctan x$	$\dfrac{1}{1 + x^2}$	$\mathbb{R}$
$\sinh x$	$\cosh x$	$\mathbb{R}$
$\cosh x$	$\sinh x$	$\mathbb{R}$
$\tanh x$	$\dfrac{1}{\cosh^2 x}$	$\mathbb{R}$

Règles de dérivation.

• $(u \pm v)' = u' \pm v'$, $(uv)' = u'v + uv'$, $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ (si $v \neq 0$).
• Composée : $(u \circ v)'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$.
• Réciproque : si $f$ est bijective et dérivable avec $f'(x) \neq 0$, alors $(f^{-1})'(y) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))}$.

Fonctions circulaires réciproques. $\arcsin x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, $\arccos x \in [0, \pi]$, $\arctan x \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$. Relations utiles : $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$, $\arctan x + \arctan \dfrac{1}{x} = \dfrac{\pi}{2}$ si $x > 0$.

Fonctions hyperboliques. $\sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$, $\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$. Identités : $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$, $\cosh(2x) = 2\cosh^2 x - 1 = 1 + 2\sinh^2 x$, $\sinh(2x) = 2\sinh x\cosh x$.

2. Primitives et calcul intégral

Primitives usuelles (tableau inverse du précédent) : $\int x^n\, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ($n \neq -1$), $\int \dfrac{1}{x}\, dx = \ln|x|$ (sur chaque intervalle de $\mathbb{R}^*$, la constante d'intégration peut différer), $\int e^x\, dx = e^x$, $\int \sin x\, dx = -\cos x$, $\int \cos x\, dx = \sin x$, $\int \dfrac{1}{1+x^2}\, dx = \arctan x$, $\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\, dx = \arcsin x$.

Méthodes de calcul.

1. Changement de variable : $\int_a^b f(g(x))\, g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\, du$.
2. Intégration par parties (IPP) : $\int_a^b u'\, v\, dx = \left[uv\right]_a^b - \int_a^b u\, v'\, dx$.
3. Décomposition en éléments simples : pour les fractions rationnelles.

Attention. Ne jamais oublier la constante d'intégration $C$ dans le calcul des primitives (pas dans l'intégrale définie).

3. Équations différentielles linéaires d'ordre 1

Forme générale. $y' + a(x)\, y = b(x)$, avec $a, b$ continues sur un intervalle $I$.

Méthode (variation de la constante).

1. Résoudre l'équation homogène $y' + a(x)\, y = 0$ : les solutions sont $y = C\, e^{-A(x)}$ où $A$ est une primitive de $a$.
2. Chercher une solution de la forme $y = \varphi(x)\, e^{-A(x)}$ avec $\varphi$ inconnue ; on obtient $\varphi' = b(x)\, e^{-A(x)}$, donc $\varphi$ est une primitive de $b\, e^{-A}$.
3. Les solutions générales sont $y = e^{-A(x)}\left(C + \int^x b(t)\, e^{-A(t)}\, dt\right)$.

Cas particulier : $a$ constante. $y' + a\, y = b$ (avec $b$ constante) :

• Si $a \neq 0$ : les solutions sont $y = C\, e^{-ax} + \dfrac{b}{a}$.
• Si $a = 0$ : les solutions sont $y = b\, x + C$.

Exemple. Résoudre $y' + 2y = e^x$. L'équation homogène a pour solutions $y = C\, e^{-2x}$. On cherche $y = \varphi(x)\, e^{-2x}$ : $\varphi' e^{-2x} - 2\varphi e^{-2x} + 2\varphi e^{-2x} = e^x$, donc $\varphi' = e^{3x}$, $\varphi = \dfrac{1}{3} e^{3x} + C$. Les solutions sont $y = \left(C + \dfrac{1}{3} e^{3x}\right) e^{-2x} = C\, e^{-2x} + \dfrac{1}{3} e^x$.

4. Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants

Forme générale. $y'' + a\, y' + b\, y = f(x)$, avec $a, b \in \mathbb{R}$ constants et $f$ continue.

Étape 1 : résoudre l'équation homogène. $y'' + a\, y' + b\, y = 0$. On pose $y = e^{rx}$ et on obtient l'équation caractéristique $r^2 + a\, r + b = 0$, de discriminant $\Delta = a^2 - 4b$.

• $\Delta > 0$ (deux racines réelles distinctes $r_1, r_2$) : les solutions homogènes sont $y = C_1\, e^{r_1 x} + C_2\, e^{r_2 x}$.
• $\Delta = 0$ (racine double $r_0 = -a/2$) : les solutions homogènes sont $y = (C_1 + C_2\, x)\, e^{r_0 x}$.
• $\Delta < 0$ (racines complexes $\alpha \pm i\beta$) : les solutions homogènes sont $y = e^{\alpha x}\left(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)\right)$.

Étape 2 : trouver une solution particulière. La forme de $y_p$ dépend de celle de $f$ :

$f(x)$	Forme de $y_p$ à essayer
Polynôme de degré $n$	Polynôme de degré $n$
$e^{\lambda x}$	$A\, e^{\lambda x}$
$e^{\lambda x} \times$ polynôme de degré $n$	$e^{\lambda x} \times$ polynôme de degré $n$
$\cos(\omega x)$ ou $\sin(\omega x)$	$A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x)$

Résonance. Si la forme de $y_p$ est solution de l'équation homogène (c'est-à-dire si $\lambda$ est racine de l'équation caractéristique), on multiplie par $x$ (ou par $x^m$ si $\lambda$ est racine de multiplicité $m$). Exemple : pour $y'' + y = \sin x$, la forme $A\cos x + B\sin x$ est solution de l'homogène, donc on essaie $y_p = x(A\cos x + B\sin x)$.

Solution générale. $y = y_{\text{hom}} + y_p$.

Exemple complet. Résoudre $y'' - 3y' + 2y = e^x$.

• Équation caractéristique : $r^2 - 3r + 2 = 0$, $\Delta = 1$, racines $r_1 = 1$, $r_2 = 2$. Solutions homogènes : $y_{\text{hom}} = C_1\, e^x + C_2\, e^{2x}$.
• Second membre $e^x$ : la forme $A\, e^x$ est solution de l'homogène ($r_1 = 1$), donc résonance : on essaie $y_p = A\, x\, e^x$.
• On calcule $y_p' = A(e^x + x e^x)$, $y_p'' = A(2e^x + x e^x)$. En reportant : $A(2e^x + x e^x) - 3A(e^x + x e^x) + 2A x e^x = A(-e^x) = e^x$, donc $A = -1$.
• Solution générale : $y = C_1\, e^x + C_2\, e^{2x} - x\, e^x$.

Capacités exigibles

• M4.etude-fonction — Étudier une fonction complète : domaine, dérivée, variations, limites aux bornes, tableau de variations, et tracé du graphe (voir les chapitres de niveau 3 Limites et continuité et Dérivation pour la théorie).
• M4.ed-ordre-1 — Résoudre une équation différentielle d'ordre 1 : $y' + a(x)\, y = b(x)$ par variation de la constante, avec le cas particulier $a$ constant.
• M4.ed-ordre-2 — Résoudre une équation différentielle d'ordre 2 à coefficients constants : équation caractéristique, trois cas de $\Delta$, et solution particulière (avec résonance si nécessaire).

Pièges classiques

• Domaine de définition d'arcsin ∘ sin : $\arcsin(\sin x) = x$ seulement si $x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ ; en dehors, il faut ramener $x$ dans cet intervalle (périodicité et symétries du sinus).
• Oublier la constante d'intégration : dans le calcul des primitives, $C$ est indispensable ; dans l'intégrale définie, elle s'annule.
• Résonance : si la forme de $y_p$ est solution de l'équation homogène, il faut multiplier par $x$ (ou $x^m$) ; oublier cette étape donne une solution particulière nulle.
• Confondre équation homogène et équation complète : l'équation homogène a $f = 0$ ; les solutions de l'équation complète sont $y_{\text{hom}} + y_p$, pas $y_{\text{hom}}$ seul.
• Discriminant négatif : les racines complexes $\alpha \pm i\beta$ donnent des solutions réelles $e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$, pas des solutions complexes.
• Dérivée d'une composée : ne pas oublier le facteur $v'(x)$ dans $(u \circ v)' = u' \circ v \times v'$.

Graphe de référence

La solution de $y'' + y = 0$ avec $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$ est $y = \sin x$ (cas $\Delta < 0$ avec $\alpha = 0$, $\beta = 1$) ; la solution de $y'' - 2y' + y = 0$ avec $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$ est $y = x\, e^x$ (cas $\Delta = 0$, racine double $r_0 = 1$).

Pour aller plus loin

Ce chapitre n'a pas de renvoi spécifique dans la table du §4 de l'annexe Ressources, exercices et annales (programme non explicitement couvert par les thèmes recensés) — voir la page générale pour les manuels recommandés, les banques d'exercices gratuites et les annales par matière.