M11 — Espaces vectoriels de dimension finie

Objectif du chapitre. Exploiter la dimension finie pour conclure : le théorème de la base incomplète, le rang d'une famille, le théorème du rang, la formule de Grassmann, et la caractérisation des isomorphismes. L'objectif est de savoir utiliser le théorème du rang pour conclure et montrer que deux sous-espaces sont supplémentaires par dimension + intersection nulle.

Notions

1. Dimension et théorème de la base incomplète

La dimension $\dim E$ d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie est le cardinal de toute base de $E$ (toutes les bases ont le même cardinal).

Théorème de la base incomplète. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $(e_1, \dots, e_p)$ une famille libre de $E$ avec $p \leq n$. Alors $(e_1, \dots, e_p)$ se prolonge en une base de $E$ : il existe $(e_{p+1}, \dots, e_n)$ tels que $(e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$.

Conséquences.

• Une famille libre a au plus $n$ vecteurs.
• Une famille génératrice a au moins $n$ vecteurs.
• Une famille de $n$ vecteurs est libre si et seulement si elle est génératrice (donc une base).
• Dimension d'un sous-espace : si $F$ est un sous-espace de $E$, alors $\dim F \leq \dim E$ ; l'égalité caractérise $F = E$.

2. Rang d'une famille

Le rang d'une famille $(e_1, \dots, e_p)$ de vecteurs de $E$ est la dimension du sous-espace qu'elle engendre :

$$\operatorname{rg}(e_1, \dots, e_p) = \dim \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_p).$$

Propriétés.

• $\operatorname{rg}(e_1, \dots, e_p) \leq p$ (égalité si la famille est libre).
• Le rang est le nombre maximal de vecteurs libres dans la famille.
• Si la famille est donnée par des coordonnées dans une base, le rang est le rang de la matrice des coordonnées (par pivot de Gauss).

Exemple. Dans $\mathbb{R}^3$, la famille $((1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0))$ : la matrice des coordonnées est $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, de déterminant $-2 \neq 0$ ; le rang est 3, la famille est une base.

(le déterminant et l'inversibilité sont définis en M13).

Exemple (famille liée). Dans $\mathbb{R}^3$, la famille $((1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 1, 1))$ : le deuxième vecteur est $2$ fois le premier, donc la famille est liée. Le rang est 2 (les deux premiers vecteurs sont colinéaires, le troisième n'est pas colinéaire au premier) ; une base de $\operatorname{Vect}$ est $((1, 2, 3), (1, 1, 1))$.

Calcul par pivot. Pour calculer le rang d'une famille de vecteurs, on forme la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs (dans une base), et on applique le pivot de Gauss : le rang est le nombre de pivots (lignes non nulles du système échelonné).

3. Théorème du rang

Soit $f : E \to F$ une application linéaire entre espaces de dimension finie. Alors

$$\dim E = \dim \ker f + \dim \operatorname{Im} f.$$

Corollaires.

• $\dim \operatorname{Im} f \leq \min(\dim E, \dim F)$.
• $f$ est injective si et seulement si $\dim \ker f = 0$, c'est-à-dire $\dim \operatorname{Im} f = \dim E$.
• $f$ est surjective si et seulement si $\dim \operatorname{Im} f = \dim F$, c'est-à-dire $\dim \ker f = \dim E - \dim F$.

Application typique. Pour montrer qu'une application linéaire $f : E \to E$ (même dimension) est bijective, il suffit de montrer qu'elle est injective ou surjective (les deux sont équivalents en dimension finie).

4. Caractérisation des isomorphismes en dimension finie

Soient $E, F$ deux espaces vectoriels de dimension finie et $f : E \to F$ une application linéaire.

• Si $\dim E = \dim F$, alors $f$ est injective $\iff$ $f$ est surjective $\iff$ $f$ est bijective (isomorphisme).
• Plus généralement, $f$ est un isomorphisme si et seulement si $\dim E = \dim F$ et $\dim \operatorname{Im} f = \dim E$.

Matrice d'un isomorphisme. Si $f : E \to F$ est un isomorphisme et si on choisit des bases de $E$ et $F$, la matrice de $f$ est inversible (déterminant non nul). Réciproquement, une application linéaire entre espaces de même dimension dont la matrice (dans des bases) est inversible est un isomorphisme.

Exemple. Soit $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ de matrice $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ dans la base canonique. Le déterminant est $2 - 1 = 1 \neq 0$, donc la matrice est inversible et $f$ est un isomorphisme. Son inverse est la matrice $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ (vérification : produit égal à $I_2$).

Application du théorème du rang. Soit $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ linéaire. On a $\dim \operatorname{Im} f \leq \min(3, 2) = 2$ et $\dim \ker f = 3 - \dim \operatorname{Im} f$. Si $\operatorname{Im} f = \mathbb{R}^2$ (surjective), alors $\dim \ker f = 1$ : le noyau est une droite. Si $\operatorname{Im} f$ est une droite (dimension 1), alors $\dim \ker f = 2$ : le noyau est un plan.

5. Formule de Grassmann

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un même espace $E$ de dimension finie. Alors

$$\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G).$$

Conséquences.

• $\dim(F + G) \leq \dim F + \dim G$ (égalité si et seulement si $F \cap G = \{0\}$, c'est-à-dire si la somme est directe).
• Si $\dim F + \dim G > \dim E$, alors $F \cap G \neq \{0\}$ (les deux sous-espaces se coupent non trivialement).

Exemple. Dans $\mathbb{R}^3$, soient $F$ et $G$ deux plans (dimension 2). Alors $\dim(F \cap G) = 2 + 2 - \dim(F + G)$. Si $F \neq G$, alors $F + G = \mathbb{R}^3$ (dimension 3), donc $\dim(F \cap G) = 1$ : l'intersection est une droite. Si $F = G$, alors $F + G = F$ (dimension 2), donc $\dim(F \cap G) = 2$.

6. Montrer que deux sous-espaces sont supplémentaires

Pour montrer que $E = F \oplus G$ (avec $F, G$ sous-espaces de $E$), il suffit de vérifier :

1. $F \cap G = \{0\}$ ;
2. $\dim F + \dim G = \dim E$.

Justification. La condition 1 donne $\dim(F + G) = \dim F + \dim G$ (Grassmann) ; la condition 2 donne $\dim(F + G) = \dim E$, donc $F + G = E$ (sous-espace de même dimension). La somme est donc directe et égale à $E$.

Exemple. Dans $\mathbb{R}^2$, soient $F = \operatorname{Vect}((1, 1))$ et $G = \operatorname{Vect}((1, -1))$. On a $\dim F = \dim G = 1$, $F \cap G = \{0\}$ (les vecteurs $(1,1)$ et $(1,-1)$ ne sont pas colinéaires), et $\dim F + \dim G = 2 = \dim \mathbb{R}^2$. Donc $\mathbb{R}^2 = F \oplus G$.

Démonstrations exigibles

Démonstration exigible — à savoir refaire : théorème du rang. Soit $f : E \to F$ linéaire, $E$ de dimension finie. On a $\dim \operatorname{Im}(f) + \dim \ker(f) = \dim E$. Preuve : soit $B_k = (e_1, \dots, e_p)$ une base de $\ker(f)$ ($p = \dim \ker(f)$). Par le théorème de la base incomplète, on complète en une base $B = (e_1, \dots, e_p, e_{p+1}, \dots, e_n)$ de $E$. Les vecteurs $f(e_{p+1}), \dots, f(e_n)$ sont libres : si $\sum_{i > p} \lambda_i f(e_i) = 0$, alors $f(\sum_{i > p} \lambda_i e_i) = 0$, donc $\sum_{i > p} \lambda_i e_i \in \ker(f)$ ; comme il est aussi combinaison de $e_{p+1}, \dots, e_n$ (libres avec $B_k$), il est nul, donc tous les $\lambda_i = 0$. Ils engendrent $\operatorname{Im}(f)$ (tout $f(x)$, $x = \sum \mu_i e_i$, vaut $\sum_{i > p} \mu_i f(e_i)$ car $f(e_i) = 0$ pour $i \leq p$). Donc $\dim \operatorname{Im}(f) = n - p$.

Capacités exigibles

• M11.rang — Utiliser le théorème du rang : $\dim E = \dim \ker f + \dim \operatorname{Im} f$ pour conclure sur l'injectivité, la surjectivité, ou la bijectivité d'une application linéaire.
• M11.supplementaires — Montrer que deux sous-espaces sont supplémentaires : vérifier $F \cap G = \{0\}$ et $\dim F + \dim G = \dim E$ (ou utiliser la formule de Grassmann).

Pièges classiques

• La formule de Grassmann s'applique à deux sous-espaces d'un même espace : $F$ et $G$ doivent être des sous-espaces d'un même $E$ ; on ne peut pas l'appliquer à des sous-espaces d'espaces différents.
• Théorème du rang : c'est une égalité de dimensions : $\dim E = \dim \ker f + \dim \operatorname{Im} f$ ; il ne faut pas confondre avec l'égalité de sous-espaces $E = \ker f \oplus \operatorname{Im} f$ (fausse en général).
• Injective $\iff$ surjective en dimension finie : cela ne vaut que si $\dim E = \dim F$ ; en dimension infinie, une application peut être injective sans être surjective (ou inversement).
• Rang d'une famille $\leq$ nombre de vecteurs : l'égalité caractérise la liberté ; si le rang est strictement inférieur, la famille est liée.
• Supplémentarité : vérifier l'intersection ET la dimension : il ne suffit pas de vérifier que $F + G = E$ (la somme peut ne pas être directe) ; il faut aussi $F \cap G = \{0\}$.
• Grassmann : attention au signe : $\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G)$ ; le terme $\dim(F \cap G)$ est soustrait, pas ajouté.

Graphe de référence

Dans $\mathbb{R}^2$, les deux droites $y = x$ (sous-espace $F$) et $y = -x$ (sous-espace $G$) sont supplémentaires : leur intersection est l'origine (dimension 0) et leur somme est tout $\mathbb{R}^2$ (dimension 2). La formule de Grassmann donne $\dim(F + G) = 1 + 1 - 0 = 2$.

Pour aller plus loin

Annales utilisables sur ce chapitre (§4 de l'annexe Ressources, exercices et annales) : CCINP Maths 2, Mines PSI Maths 1 (premières parties).

Voir aussi Ressources, exercices et annales pour les manuels recommandés et les banques d'exercices gratuites.