M9 — Systèmes linéaires et calcul matriciel

Objectif du chapitre. Maîtriser le calcul matriciel : opérations, produit, transposée, puissances, et inversibilité (calcul de l'inverse par pivot). Le lien avec les systèmes linéaires est direct : résoudre un système $A\vec{x} = \vec{b}$ revient à calculer $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$ (si $A$ est inversible). Ce chapitre complète M2 (pivot de Gauss) en le formulant en langage matriciel.

Notions

1. Matrices et opérations

Une matrice $A \in \mathbb{M}_{p,q}(\mathbb{K})$ est un tableau de $p$ lignes et $q$ colonnes de coefficients dans $\mathbb{K}$ ; on note $a_{ij}$ le coefficient de la ligne $i$, colonne $j$. La transposée ${}^t\!A \in \mathbb{M}_{q,p}(\mathbb{K})$ est définie par $({}^t\!A)_{ij} = a_{ji}$.

Opérations. L'addition et la multiplication par un scalaire sont définies coefficient par coefficient. Le produit $AB$ (avec $A \in \mathbb{M}_{p,q}$, $B \in \mathbb{M}_{q,r}$) est la matrice $C \in \mathbb{M}_{p,r}$ de coefficients

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^{q} a_{ik}\, b_{kj}.$$

Propriétés du produit.

• Associativité : $(AB)C = A(BC)$.
• Distributivité : $A(B + C) = AB + AC$, $(A + B)C = AC + BC$.
• Non-commutativité : $AB \neq BA$ en général (même pour des matrices carrées).
• Inverse du produit : si $A$ et $B$ sont inversibles, $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ (ordre inversé).
• Puissance d'un produit : $(AB)^n = A^n B^n$ seulement si $AB = BA$ (sinon, le binôme ne s'applique pas).

2. Matrices particulières

• Matrice carrée : $p = q$ ; on note $\mathbb{M}_n(\mathbb{K})$ l'ensemble des matrices $n \times n$.
• Matrice diagonale : $a_{ij} = 0$ si $i \neq j$ ; on note $\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$.
• Matrice triangulaire : $a_{ij} = 0$ si $i < j$ (triangulaire inférieure) ou si $i > j$ (triangulaire supérieure).
• Matrice symétrique : $A = {}^t\!A$ ; antisymétrique : $A = -{}^t\!A$ (diagonale nulle).
• Matrice identité $I_n$ : $a_{ij} = \delta_{ij}$ ; $I_n A = A I_n = A$.
• Matrices élémentaires : matrices obtenues à partir de $I_n$ par une seule opération de pivot (échange de deux lignes, multiplication d'une ligne par un scalaire non nul, ajout d'un multiple d'une ligne à une autre).

3. Puissances de matrices

Pour $A \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K})$, on définit $A^0 = I_n$ et $A^{n+1} = A \cdot A^n$.

Cas $A = D + N$ avec $DN = ND$ (décomposition $D + N$, complément). Si $D$ est diagonale et $N$ est nilpotente d'indice de nilpotence $m$ ($N^m = 0$) et que $D$ et $N$ commutent ($DN = ND$), alors

$$A^n = (D + N)^n = \sum_{k=0}^{m-1} \binom{n}{k} D^{n-k} N^k$$

(le binôme s'applique car $D$ et $N$ commutent, et les termes $k \geq m$ s'annulent).

Exemple. Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. On calcule $A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $A^3 = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. On conjecture $A^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}$ où $(F_n)$ est la suite de Fibonacci ($F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$). La vérification par récurrence est immédiate : $A^{n+1} = A \cdot A^n$ donne bien $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$, etc.

Méthode générale. Pour calculer $A^n$ :

1. Diagonaliser $A$ (si possible, hors programme PCSI — aperçu) : $A = PDP^{-1}$, alors $A^n = P D^n P^{-1}$.
2. Sinon, chercher une relation de récurrence (caractéristique de $A$) et l'exploiter.
3. Sinon, décomposer $A = D + N$ avec $N$ nilpotente et appliquer le binôme.

4. Inversibilité et calcul de l'inverse

Définition. $A \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K})$ est inversible s'il existe $B \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K})$ tel que $AB = BA = I_n$ ; on note alors $B = A^{-1}$.

Caractérisations. $A$ est inversible si et seulement si :

• $\det A \neq 0$ (chapitre M13) ;
• le système $A\vec{x} = \vec{b}$ admet une solution unique pour tout $\vec{b}$ ;
• les colonnes de $A$ sont linéairement indépendantes ;
• $\operatorname{rg}(A) = n$.

Calcul de l'inverse par pivot. On forme la matrice augmentée $[A \mid I_n]$ et on applique les opérations de pivot pour transformer $A$ en $I_n$ ; la partie droite devient $A^{-1}$.

Exemple (3×3). Calculer l'inverse de $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ (dont $\det A = 6 \neq 0$).

• Matrice augmentée : $\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$.
• $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ : $\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right)$.
• $L_3 \leftarrow L_3 + 2L_2$ : $\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & -1 & 2 & 1 \end{array}\right)$.
• $L_3 \leftarrow \tfrac{1}{6} L_3$ : $\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{6} \end{array}\right)$.
• $L_2 \leftarrow L_2 - 4L_3$ : $\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{6} \end{array}\right)$.
• $L_1 \leftarrow L_1 - 3L_3$ : $\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & \tfrac{3}{2} & -1 & -\tfrac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{6} \end{array}\right)$.
• $L_1 \leftarrow L_1 - 2L_2$ : $\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{6} \\ 0 & 1 & 0 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{6} \end{array}\right)$.

Donc $A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{6} \\ \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3} \\ -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{6} \end{pmatrix}$. Vérification : $A \cdot A^{-1} = I_3$ (produit ligne par colonne, chaque terme se simplifie en $\delta_{ij}$).

5. Écriture matricielle d'un système

Un système linéaire $\begin{cases} a_{11}x_1 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + \dots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases}$ s'écrit $A\vec{x} = \vec{b}$ avec $A = (a_{ij})$, $\vec{x} = (x_1, \dots, x_n)^t$, $\vec{b} = (b_1, \dots, b_n)^t$.

Résolution.

• Si $A$ est inversible : $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$ (solution unique).
• Si $A$ n'est pas inversible : le système est compatible si $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A \mid \vec{b})$ ; sinon il est incompatible.

Formules de Cramer (système carré compatible — complément). Si $A$ est inversible, la solution du système $A\vec{x} = \vec{b}$ est, pour chaque inconnue $i$ :

$$x_i = \frac{\det A_i}{\det A},$$

où $A_i$ est la matrice $A$ dont on a remplacé la colonne $i$ par $\vec{b}$. C'est une formule théorique (utile pour montrer que la solution est une fraction dont le dénominateur est $\det A$), mais elle est coûteuse en calcul pour $n \geq 4$ : en pratique, on préfère le pivot de Gauss.

Matrices élémentaires et inversibilité. Toute matrice inversible s'écrit comme un produit de matrices élémentaires (chacune correspondant à une opération de pivot). Par contraposée, une matrice qui n'est pas un produit de matrices élémentaires n'est pas inversible. Cette décomposition est à la base de l'algorithme de calcul de l'inverse par pivot.

Capacités exigibles

• M9.produit-matrices — Calculer un produit de matrices : appliquer la formule $c_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$ sans erreur d'indice, et vérifier la compatibilité des dimensions.
• M9.inverse — Inverser une matrice par pivot : former la matrice augmentée $[A \mid I_n]$, appliquer les opérations de pivot, et lire $A^{-1}$ dans la partie droite.

Pièges classiques

• $AB \neq BA$ en général : le produit matriciel n'est pas commutatif ; l'ordre compte.
• $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ : l'ordre est inversé ; écrire $A^{-1} B^{-1}$ est une erreur.
• Ne pas diviser par une matrice : il n'existe pas d'opération de division ; on multiplie par l'inverse (si elle existe), et l'ordre compte.
• $(AB)^n \neq A^n B^n$ en général : le binôme ne s'applique que si $AB = BA$.
• Matrice augmentée : ne pas mélanger les parties gauche et droite : les opérations de pivot s'appliquent aux deux parties simultanément.
• Vérifier l'inversibilité avant de calculer l'inverse : si $\det A = 0$, l'inverse n'existe pas ; le pivot aboutit à une ligne nulle à gauche.

Graphe de référence

La fonction $f(x) = \det\begin{pmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix} = x^2 - 1$ illustre le déterminant d'une matrice $2 \times 2$ : les racines $x = \pm 1$ sont les valeurs pour lesquelles la matrice n'est plus inversible.

Pour aller plus loin

Annales utilisables sur ce chapitre (§4 de l'annexe Ressources, exercices et annales) : CCINP Maths 2, Mines PSI Maths 1 (premières parties).

Voir aussi Ressources, exercices et annales pour les manuels recommandés et les banques d'exercices gratuites.