M14 — Intégration

Objectif du chapitre. Maîtriser le calcul intégral sur un segment : les propriétés de l'intégrale, le théorème fondamental de l'analyse, l'intégration par parties (IPP) et le changement de variable, les sommes de Riemann (pour les limites de suites), et les formules de Taylor avec reste intégral. L'objectif est de savoir calculer une intégrale par parties et utiliser une somme de Riemann pour une limite.

Notions

1. Intégrale sur un segment et propriétés

Soit $f$ continue (ou continue par morceaux : continue sauf en un nombre fini de points où elle admet des limites à gauche et à droite — ex. les fonctions en échelon) sur $[a, b]$. L'intégrale $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ est définie comme la limite des sommes de Riemann (définies en §5 de ce chapitre) ; elle représente l'aire algébrique sous la courbe.

Propriétés.

• Linéarité : $\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g$.
• Positivité : si $f \geq 0$ sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f \geq 0$ ; si $f \leq g$, alors $\int_a^b f \leq \int_a^b g$.
• Règle de Chasles : $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$ pour tout $c$ (pas nécessairement entre $a$ et $b$).
• Inégalité triangulaire intégrale : $\left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|$.
• Valeur moyenne : $\int_a^b f = (b - a)\, \overline{f}$ où $\overline{f} = \dfrac{1}{b - a} \int_a^b f$ est la valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$.

Encadrement d'une intégrale. Si $m \leq f(x) \leq M$ sur $[a, b]$, alors $m(b - a) \leq \int_a^b f \leq M(b - a)$. C'est l'outil de base pour encadrer une intégrale difficile.

Exemple d'encadrement. Montrer que $\dfrac{1}{2} \leq \displaystyle\int_0^1 \sqrt{x}\, dx \leq 1$. On a $0 \leq \sqrt{x} \leq 1$ sur $[0, 1]$, donc $0 \leq \int_0^1 \sqrt{x}\, dx \leq 1$ (encadrement trivial). Pour un encadrement plus fin, on découpe : sur $[0, 1]$, $\sqrt{x} \geq x$ (car $x \in [0, 1]$), donc $\int_0^1 \sqrt{x}\, dx \geq \int_0^1 x\, dx = \dfrac{1}{2}$. La vraie valeur est $\dfrac{2}{3}$ (primitive $\tfrac{2}{3} x^{3/2}$), cohérente avec $\tfrac{1}{2} \leq \tfrac{2}{3} \leq 1$.

Théorème de la valeur moyenne de l'intégrale. Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors il existe $c \in [a, b]$ tel que $\int_a^b f = (b - a)\, f(c)$ ; la valeur moyenne $\overline{f}$ est atteinte par $f$ en au moins un point.

2. Primitive et théorème fondamental

Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ telle que $F' = f$ sur $I$ ; les primitives diffèrent par une constante.

Théorème fondamental de l'analyse. Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $F$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$, alors

$$\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a).$$

Fonction primitive sur segment. Pour $f$ continue sur $[a, b]$, la fonction $x \mapsto \int_a^x f(t)\, dt$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$ (théorème fondamental, forme 1).

3. Intégration par parties (IPP)

Formule. Soient $u, v$ deux fonctions de classe $C^1$ sur $[a, b]$. Alors

$$\int_a^b u'(x)\, v(x)\, dx = \left[ u(x)\, v(x) \right]_a^b - \int_a^b u(x)\, v'(x)\, dx.$$

Méthode de choix de $u$ et $v$. On choisit $u$ de sorte que $u'$ soit « simple » et $v$ de sorte que $\int v'$ soit facile. L'ordre usuel (règle « ALPES ») : Arcs (arctangente, arcsinus…), Log, Polynôme, Exponentielle, Sinus.

Exemple (Wallis). Soit $I_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n x\, dx$. Par IPP avec $u = \sin^{n-1} x$ et $v' = \sin x$ :

$$I_n = \left[ -\sin^{n-1} x \cos x \right]_0^{\pi/2} + (n - 1) \int_0^{\pi/2} \sin^{n-2} x \cos^2 x\, dx = (n - 1) \int_0^{\pi/2} \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x)\, dx.$$

Donc $I_n = (n - 1)(I_{n-2} - I_n)$, soit

$$I_n = \frac{n - 1}{n}\, I_{n-2}.$$

Avec $I_0 = \dfrac{\pi}{2}$ et $I_1 = 1$, on obtient les formules de Wallis :

$$I_{2p} = \frac{(2p - 1)!!}{(2p)!!}\, \frac{\pi}{2}, \qquad I_{2p+1} = \frac{(2p)!!}{(2p + 1)!!}.$$

où la double factorielle $n!!$ est le produit des entiers de même parité que $n$ descendant jusqu'à $1$ ou $2$ : $(2p)!! = 2 \cdot 4 \cdots (2p)$ et $(2p - 1)!! = 1 \cdot 3 \cdots (2p - 1)$.

4. Changement de variable

Formule. Soit $\varphi : [c, d] \to [a, b]$ une application de classe $C^1$ avec $\varphi(c) = a$ et $\varphi(d) = b$, et $f$ continue sur $[a, b]$. Alors

$$\int_{\varphi(c)}^{\varphi(d)} f(x)\, dx = \int_c^d f(\varphi(t))\, \varphi'(t)\, dt.$$

Méthode. On pose $x = \varphi(t)$, on calcule $dx = \varphi'(t)\, dt$, et on change les bornes : $x = a \Rightarrow t = c$, $x = b \Rightarrow t = d$.

Piège. Ne pas oublier de changer les bornes ; si on garde les bornes $a, b$, il faut réappliquer le changement de variable inverse.

Exemple. Calculer $\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\, dx$. On pose $x = \sin t$ ($t \in [0, \pi/2]$), $dx = \cos t\, dt$ ; les bornes : $x = 0 \Rightarrow t = 0$, $x = 1 \Rightarrow t = \pi/2$. Alors

$$\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\, dx = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - \sin^2 t}\, \cos t\, dt = \int_0^{\pi/2} \cos^2 t\, dt = \frac{\pi}{4}.$$

(C'est l'aire du quart de disque de rayon 1.)

5. Sommes de Riemann

Définition. Soit $f$ continue sur $[a, b]$ et $n \in \mathbb{N}^*$. La somme de Riemann (à pas constant) est

$$S_n = \frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a + k\, \frac{b - a}{n}\right).$$

Théorème des sommes de Riemann. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n = \int_a^b f(x)\, dx$.

Application aux limites de suites. Pour calculer une limite de la forme $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} g\!\left(\frac{k}{n}\right)$, on reconnaît une somme de Riemann sur $[0, 1]$ :

$$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} g\!\left(\frac{k}{n}\right) \longrightarrow \int_0^1 g(x)\, dx.$$

Exemple. Calculer $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}$.

• On reconnaît $g(x) = \dfrac{1}{1 + x}$ sur $[0, 1]$.
• La somme est une somme de Riemann : $\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} g(k/n) \to \int_0^1 \dfrac{dx}{1 + x}$.
• Calcul : $\int_0^1 \dfrac{dx}{1 + x} = \left[\ln(1 + x)\right]_0^1 = \ln 2$.

Donc la limite est $\ln 2$.

Exemple (avec dénominateur). Calculer $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln\!\left(1 + \frac{k}{n}\right)$.

• On reconnaît $g(x) = \ln(1 + x)$ sur $[0, 1]$.
• La somme est une somme de Riemann : $\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln(1 + k/n) \to \int_0^1 \ln(1 + x)\, dx$.
• Calcul par IPP ($u = \ln(1 + x)$, $dv = dx$) : $\int_0^1 \ln(1 + x)\, dx = \left[(1 + x)\ln(1 + x) - (1 + x)\right]_0^1 = (2\ln 2 - 2) - (0 - 1) = 2\ln 2 - 1$.

Donc la limite est $2\ln 2 - 1$.

6. Formules de Taylor avec reste intégral

Formule de Taylor avec reste intégral. Soit $f$ de classe $C^{n+1}$ sur un intervalle contenant $a$. Pour $x$ au voisinage de $a$ :

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\, (x - a)^k + \int_a^x \frac{(x - t)^n}{n!}\, f^{(n+1)}(t)\, dt.$$

Inégalité de Taylor-Lagrange. Si $|f^{(n+1)}(t)| \leq M$ sur l'intervalle entre $a$ et $x$, alors

$$\left| f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\, (x - a)^k \right| \leq \frac{M}{(n + 1)!}\, |x - a|^{n + 1}.$$

Attention. L'inégalité de Taylor-Lagrange est une inégalité (pas une égalité) : elle borne le reste, elle ne le calcule pas.

Exemple. Encadrer l'erreur du DL de $e^x$ à l'ordre 2 en 0 en $x = 1$. On a $f^{(3)}(t) = e^t \leq e^1 = e$ sur $[0, 1]$ ; l'erreur en $x = 1$ est $\leq \dfrac{e}{3!} \cdot 1^3 = \dfrac{e}{6}$.

7. Intégrale d'une fonction à valeurs complexes

Si $f : [a, b] \to \mathbb{C}$ est continue, on définit $\displaystyle\int_a^b f = \int_a^b \Re f + i \int_a^b \Im f$ (intégration des parties réelle et imaginaire). Les propriétés (linéarité, IPP, changement de variable) restent valables.

Démonstrations exigibles

Démonstration exigible — à savoir refaire : Taylor avec reste intégral. Soit $f$ de classe $C^{n+1}$ sur $[a, x]$. On applique l'IPP itérativement à $\int_a^x f^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}t$ en posant $u = 1$, $\mathrm{d}v = f^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}t$, puis $u = (x - t)$, etc. On obtient $f(x) = \sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k + \dfrac{1}{n!}\int_a^x (x - t)^n f^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}t$. Le reste est $\dfrac{1}{n!}\int_a^x (x - t)^n f^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}t$ ; s'il existe $M$ tel que $|f^{(n+1)}| \leq M$, alors $|\text{reste}| \leq \dfrac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}$.

Capacités exigibles

• M14.integration-parties — Calculer une intégrale par parties : choisir $u$ et $v'$ (règle ALPES), appliquer la formule, et simplifier l'intégrale restante.
• M14.somme-riemann — Utiliser une somme de Riemann pour une limite : reconnaître la forme $\frac{1}{n}\sum g(k/n)$, identifier $g$ et l'intervalle, et calculer l'intégrale.

Pièges classiques

• Bornes lors d'un changement de variable : il faut changer les bornes ($x = a \Rightarrow t = c$, $x = b \Rightarrow t = d$) ; si on garde les bornes d'origine, il faut réappliquer le changement de variable inverse.
• Taylor-Lagrange est une inégalité : elle borne le reste (avec $M = \max |f^{(n+1)}|$), elle ne le calcule pas ; il ne faut pas confondre avec le reste intégral (qui est une égalité).
• Choix de $u$ et $v'$ dans l'IPP : un mauvais choix peut rendre l'intégrale restante plus difficile ; la règle ALPES (Arcs, Log, Polynôme, Exponentielle, Sinus) guide le choix.
• Somme de Riemann : le pas est $\frac{b-a}{n}$ : pour une somme sur $[0, 1]$, le pas est $\frac{1}{n}$ ; pour une somme sur $[a, b]$, il est $\frac{b - a}{n}$ ; il ne faut pas oublier ce facteur.
• Encadrement d'une intégrale : si $f$ change de signe, l'encadrement $m(b - a) \leq \int f \leq M(b - a)$ peut être trivial (le membre de gauche peut être négatif et le membre de droite positif) ; il faut alors décomposer en parties positives et négatives.
• Wallis : la récurrence est $I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$ : elle relie $I_n$ à $I_{n-2}$ (pas $I_{n-1}$) ; il faut donc traiter les cas pairs et impairs séparément.

Graphe de référence

La fonction $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ sur $[0, 1]$ (quart de cercle de rayon 1) a pour intégrale $\dfrac{\pi}{4}$ (quart de l'aire du disque) ; le graphe montre la courbe et l'aire sous la courbe.

Pour aller plus loin

Annales utilisables sur ce chapitre (§4 de l'annexe Ressources, exercices et annales) : CCINP PC/PSI Maths 1 (exercices 1 et 2), e3a Maths — parties « analyse réelle ».

Voir aussi Ressources, exercices et annales pour les manuels recommandés et les banques d'exercices gratuites.