M15 — Séries numériques

Objectif du chapitre. Maîtriser la nature (convergence/divergence) d'une série numérique : les séries usuelles (géométriques, de Riemann), les critères de comparaison, la règle de d'Alembert, la convergence absolue, le critère des séries alternées, et le télescopage. L'objectif est de savoir déterminer la nature d'une série par comparaison et sommer une série géométrique ou télescopique.

(énoncé complet en §7 de ce chapitre).

Notions

1. Définition et convergence

Soit $(u_n)_{n \geq 0}$ une suite de réels (ou de complexes). La série de terme général $u_n$ est la suite des sommes partielles $S_N = \sum_{n=0}^{N} u_n$. La série converge si $(S_N)$ converge ; sa somme est $\sum_{n=0}^{\infty} u_n = \lim_{N \to \infty} S_N$. Le reste est $R_N = \sum_{n=N+1}^{\infty} u_n = S - S_N$ (si la série converge).

Condition nécessaire. Si $\sum u_n$ converge, alors $u_n \to 0$. La réciproque est fausse : la série harmonique $\sum \dfrac{1}{n}$ diverge alors que $\dfrac{1}{n} \to 0$.

2. Séries usuelles

Série géométrique. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} q^n$ converge si et seulement si $|q| < 1$ ; dans ce cas, la somme est $\dfrac{1}{1 - q}$.

Série de Riemann. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ converge si et seulement si $p > 1$ ; elle diverge si $p \leq 1$ (cas $p = 1$ : série harmonique).

Séries télescopiques. Si $u_n = v_{n+1} - v_n$ (ou $v_n - v_{n+1}$), alors $S_N = v_{N+1} - v_0$ (ou $v_0 - v_{N+1}$) ; la série converge si et seulement si $(v_n)$ converge.

Exemple (télescopage). $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$ ; les sommes partielles valent $1 - \dfrac{1}{N+1} \to 1$ : la série converge de somme $1$.

3. Séries à termes positifs : comparaison

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de réels positifs.

• Comparaison directe : si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang, alors $\sum u_n$ converge si $\sum v_n$ converge ; $\sum v_n$ diverge si $\sum u_n$ diverge.
• Comparaison par équivalents : si $u_n \sim v_n$ (avec $u_n, v_n \geq 0$), alors $\sum u_n$ et $\sum v_n$ ont la même nature (convergent ou divergent ensemble).

Exemple (comparaison directe). Étudier $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2 - 1}$. On a, pour $n \geq 2$, $\dfrac{1}{n^2 - 1} = \dfrac{1}{(n-1)(n+1)} \leq \dfrac{1}{(n-1)\, n} = \dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n}$ (car $n + 1 \geq n$), et $\sum_{n=2}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n}\right)$ converge (somme $1$, par télescopage) ; donc $\sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n^2 - 1}$ converge par comparaison. (Sa somme exacte vaut $\dfrac{3}{4}$, par décomposition $\dfrac{1}{n^2 - 1} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n+1}\right)$ et télescopage.)

Méthode. Pour déterminer la nature d'une série à termes positifs :

1. Identifier le comportement asymptotique de $u_n$ (équivalent, ou comparaison à une puissance $1/n^p$).
2. Comparer à une série de Riemann $\sum 1/n^p$ (ou géométrique).
3. Conclure par le critère de comparaison.

Exemple. Étudier $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n}$. On a $\dfrac{1}{n^2 + n} \sim \dfrac{1}{n^2}$ (en $+\infty$), et $\sum \dfrac{1}{n^2}$ converge ($p = 2 > 1$) ; donc $\sum \dfrac{1}{n^2 + n}$ converge.

4. Règle de d'Alembert

Soit $(u_n)$ une suite de réels (ou complexes) non nuls. Posons $\ell = \displaystyle\lim_{n \to \infty} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|$ (si la limite existe).

• Si $\ell < 1$, la série $\sum u_n$ converge absolument.
• Si $\ell > 1$, la série $\sum u_n$ diverge (les termes ne tendent pas vers 0).
• Si $\ell = 1$, le critère est indécis.

Exemple. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ : le rapport $\left|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right| = \dfrac{|x|}{n + 1} \to 0 < 1$ ; la série converge absolument pour tout $x \in \mathbb{R}$ (c'est la série de $e^x$).

5. Règle de Cauchy (racine) — complément hors programme

Complément hors programme PCSI : l'annexe ne liste que la règle de d'Alembert. La règle de Cauchy (racine) est donnée ici pour la culture ; elle n'est pas exigible en PCSI.

Soit $(u_n)$ une suite de réels (ou complexes) non nuls. Posons $\ell = \displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|u_n|}$ (si la limite existe).

• Si $\ell < 1$, la série $\sum u_n$ converge absolument.
• Si $\ell > 1$, la série $\sum u_n$ diverge.
• Si $\ell = 1$, le critère est indécis.

Lien avec d'Alembert. Si le rapport $\left|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right|$ converge vers $\ell$, alors $\sqrt[n]{|u_n|}$ converge aussi vers $\ell$ (même limite). La règle de Cauchy est donc plus générale que celle de d'Alembert : tout ce que d'Alembert conclut, Cauchy le conclut aussi, et Cauchy s'applique en plus quand le rapport n'a pas de limite mais la racine en a une. En pratique, d'Alembert est plus facile à appliquer (pas de racine $n$-ième), c'est elle qu'on utilise en PCSI.

Exemple. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ : $\sqrt[n]{\left|\dfrac{n}{2^n}\right|} = \dfrac{\sqrt[n]{n}}{2} \to \dfrac{1}{2} < 1$ ; la série converge absolument. (On peut aussi appliquer d'Alembert : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{n+1}{2n} \to \dfrac{1}{2} < 1$.)

6. Convergence absolue

La série $\sum u_n$ converge absolument si $\sum |u_n|$ converge.

Propriété. La convergence absolue implique la convergence (mais pas réciproquement). C'est le critère le plus fort : si $\sum |u_n|$ converge, alors $\sum u_n$ converge.

Exemple (convergence conditionnelle). La série alternée $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ converge (critère des séries alternées) mais pas absolument ($\sum \dfrac{1}{n}$ diverge) : c'est une convergence conditionnelle.

7. Séries alternées : critère spécial

Soit $(u_n)$ une suite de positifs telle que $(u_n)$ est décroissante et $u_n \to 0$. Alors la série alternée $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} u_n$ converge. De plus, le reste $R_N$ (somme des termes négligés à partir du rang $N+1$) vérifie $|R_N| \leq u_{N+1}$, et $R_N$ est du signe du premier terme négligé ($(-1)^{N+1}$).

Exemple. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ converge (suite $\frac{1}{n}$ décroissante vers 0) ; c'est la série de $\ln 2$ (somme $\ln 2$).

8. Lien suite / série et télescopage

La suite des sommes partielles $(S_N)$ est la clé : la série converge si et seulement si $(S_N)$ converge. Le télescopage ($u_n = v_{n+1} - v_n$) donne $S_N = v_{N+1} - v_0$ directement ; c'est l'outil de base pour sommer une série (pas seulement pour en déterminer la nature).

Méthode de sommation. Pour sommer $\sum u_n$ :

1. Chercher un télescopage $u_n = v_{n+1} - v_n$ (par décomposition en éléments simples, ou par reconnaissance).
2. Si $u_n$ est un produit de suites géométriques, utiliser la formule géométrique.
3. Sinon, utiliser les DL (chapitre M7) pour identifier la somme (ex. $\sum \frac{x^n}{n} = -\ln(1 - x)$ pour $|x| < 1$, qui découle du développement en série entière — voir « Pour aller plus loin »).

Capacités exigibles

• M15.nature-serie — Déterminer la nature d'une série par comparaison : identifier l'équivalent du terme général, comparer à une série de Riemann ou géométrique, et conclure par le critère de comparaison (termes de signe constant).

Pièges classiques

• $u_n \to 0$ ne suffit pas : c'est une condition nécessaire mais pas suffisante (série harmonique) ; il faut un critère de convergence.
• Comparer des équivalents seulement pour termes de signe constant : le critère de comparaison par équivalents suppose $u_n \geq 0$ (ou $u_n \leq 0$) à partir d'un rang ; pour une série alternée, il faut d'abord étudier la convergence absolue ou utiliser le critère des séries alternées.
• d'Alembert indécis pour $\ell = 1$ : si le rapport tend vers 1, le critère ne conclut pas (ex. série harmonique : rapport $\to 1$, divergence) ; il faut un autre critère.
• Convergence absolue $\Rightarrow$ convergence, pas réciproque : une série peut converger sans converger absolument (convergence conditionnelle, ex. $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$).
• Série de Riemann : le seuil est $p > 1$ : $\sum \frac{1}{n^p}$ converge si $p > 1$, diverge si $p \leq 1$ ; le cas $p = 1$ (harmonique) est divergent.
• Télescopage : vérifier la forme : $u_n = v_{n+1} - v_n$ (pas $v_n - v_{n+1}$) ; le signe compte pour la somme.

Graphe de référence

La suite des sommes partielles de la série géométrique de raison $\frac{1}{2}$, $S_N = \sum_{n=0}^{N} \frac{1}{2^n} = 2 - \frac{1}{2^N}$, converge vers $2$ (le graphe montre la convergence exponentielle vers la somme).

Pour aller plus loin

Séries entières (hors programme PCSI — 2ᵉ année)

Hors programme : les séries entières (rayon de convergence, convergence uniforme, dérivation terme à terme) relèvent de la 2ᵉ année ; ce bloc est donné pour la culture.

Une série entière est une série de la forme $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ (avec $a_n \in \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Son rayon de convergence $R$ est le réel tel que la série converge absolument pour $|x| < R$ et diverge pour $|x| > R$ ; il se calcule par d'Alembert ou Cauchy :

$$\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \quad \text{ou} \quad \frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}.$$

Séries entières usuelles.

• $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x$ (rayon $R = +\infty$).
• $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sin x$, $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = \cos x$ (rayon $+\infty$).
• $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1 - x}$ pour $|x| < 1$ (rayon $R = 1$).
• $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1 - x)$ pour $|x| < 1$ (rayon $R = 1$).

Propriétés. Une série entière converge absolument et uniformément sur tout compact de $(-R, R)$ ; sa somme est dérivable (et de classe $C^\infty$) sur $(-R, R)$, et sa dérivée est la série entière $\sum_{n=1}^{\infty} n\, a_n x^{n-1}$.

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Ce chapitre n'a pas de renvoi spécifique dans la table du §4 de l'annexe Ressources, exercices et annales (programme non explicitement couvert par les thèmes recensés) — voir la page générale pour les manuels recommandés, les banques d'exercices gratuites et les annales par matière.