M6 — Limites, continuité, dérivabilité

Objectif du chapitre. Maîtriser les théorèmes d'analyse réelle qui structurent l'étude de fonction : le théorème des valeurs intermédiaires (TVI), le théorème de la bijection, le théorème de Rolle et l'égalité des accroissements finis. Le calcul des limites et la dérivation sont traités en détail dans les chapitres de niveau 3 Limites et continuité et Dérivation ; ici on se concentre sur les théorèmes et leurs applications.

Notions

1. Limites de fonctions (rappel)

On dit que $f$ admet la limite $\ell \in \mathbb{R}$ en $a$ si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que $\forall x$, $|x - a| \leq \delta \Rightarrow |f(x) - \ell| \leq \varepsilon$ (la convention du programme est la limite non épointée : $x = a$ est incluse). On distingue les limites à gauche ($x \to a^-$) et à droite ($x \to a^+$) ; la limite en $a$ existe si et seulement si les deux limites latérales existent et sont égales.

Caractérisation séquentielle. $f$ admet la limite $\ell$ en $a$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ de réels convergeant vers $a$ (la convention du programme inclut $x_n = a$), la suite $(f(x_n))$ converge vers $\ell$. C'est un outil puissant pour démontrer l'absence de limite : il suffit de trouver deux suites qui convergent vers $a$ mais dont les images convergent vers des limites différentes.

Opérations et encadrement. Les limites se comportent bien par rapport aux opérations (somme, produit, quotient si le dénominateur ne s'annule pas) et par composition ; le théorème des gendarmes (encadrement) permet de traiter les limites oscillantes.

2. Continuité

Continuité en un point. $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Équivalent séquentiel : pour toute suite $(x_n)$ convergeant vers $a$, $(f(x_n))$ converge vers $f(a)$.

Continuité sur un intervalle. $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en chaque point de $I$. Les fonctions usuelles (polynômes, rationnelles sur leur domaine, exp, ln, fonctions trigonométriques) sont continues sur leur domaine de définition ; les opérations (somme, produit, quotient, composition) préservent la continuité.

Théorème des bornes atteintes. Si $f$ est continue sur un compact $[a, b]$, alors $f$ est bornée et atteint ses bornes : il existe $x_{\min}, x_{\max} \in [a, b]$ tels que $f(x_{\min}) = \min f$ et $f(x_{\max}) = \max f$.

3. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Énoncé. Soit $f$ continue sur un intervalle $[a, b]$ et $u$ un réel strictement compris entre $f(a)$ et $f(b)$. Alors il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = u$.

Applications.

• Existence de solution : pour prouver l'existence d'une solution à $f(x) = 0$ sur $[a, b]$, il suffit de montrer que $f$ est continue sur $[a, b]$ et que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés (alors $0$ est strictement compris entre $f(a)$ et $f(b)$).
• Image d'un intervalle : l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Exemple. Montrer que l'équation $x^3 - x + 1 = 0$ admet au moins une solution réelle. Soit $f(x) = x^3 - x + 1$ ; $f$ est continue (polynôme), $f(0) = 1 > 0$ et $f(-2) = -8 + 2 + 1 = -5 < 0$. Par TVI, il existe $c \in [-2, 0]$ tel que $f(c) = 0$.

4. Théorème de la bijection

Énoncé. Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Alors $f$ est une bijection de $I$ sur $f(I)$, et $f(I)$ est un intervalle.

Conséquence. La réciproque $f^{-1}$ est continue (et strictement monotone de même sens que $f$). C'est le fondement de la continuité des fonctions réciproques usuelles ($\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$, $\ln$, etc.).

5. Dérivabilité

Dérivabilité en un point. $f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ admet une limite finie quand $h \to 0$ ; cette limite est la dérivée $f'(a)$. Géométriquement, c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en $a$.

Dérivabilité à gauche / à droite. On peut définir les dérivées latérales $f'_{-}(a)$ et $f'_{+}(a)$ ; $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si les deux dérivées latérales existent et sont égales.

Dérivabilité et continuité. Une fonction dérivable en $a$ est continue en $a$ ; la réciproque est fausse ($|x|$ est continue en $0$ et non dérivable en $0$).

Dérivée d'une réciproque. Si $f$ est bijective, dérivable en $a$, et $f'(a) \neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $f(a)$ et $(f^{-1})'(f(a)) = \dfrac{1}{f'(a)}$.

6. Théorème de Rolle et accroissements finis

Théorème de Rolle. Soit $f$ continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$. Si $f(a) = f(b)$, alors il existe $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c) = 0$.

Égalité des accroissements finis (ou TAF — « théorème des accroissements finis »). Soit $f$ continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$. Alors il existe $c \in ]a, b[$ tel que

$$f(b) - f(a) = f'(c)\, (b - a).$$

Inégalité des accroissements finis. Si, en plus, $|f'(x)| \leq M$ pour tout $x \in ]a, b[$, alors

$$|f(b) - f(a)| \leq M\, |b - a|.$$

Applications.

• Prouver une inégalité : si $f'(x) \leq 0$ sur un intervalle, alors $f$ est décroissante ; si $|f'(x)| \leq M$, on peut majorer l'écart entre $f(x)$ et $f(a)$.
• Lien dérivée / monotonie : si $f'(x) \geq 0$ sur un intervalle, alors $f$ est croissante ; si $f'(x) > 0$, alors $f$ est strictement croissante.
• Lipschitz : une fonction dont la dérivée est bornée est Lipschitz, donc uniformément continue.

Exemple (inégalité). Montrer que $|\sin x - \sin y| \leq |x - y|$ pour tous $x, y \in \mathbb{R}$. La fonction $f(t) = \sin t$ est continue et dérivable, et $|f'(t)| = |\cos t| \leq 1$. Par l'inégalité des accroissements finis, $|\sin x - \sin y| \leq 1 \cdot |x - y|$.

7. Dérivées successives et formule de Leibniz

La dérivée seconde $f''$ est la dérivée de $f'$ ; elle mesure la concavité de la courbe ($f'' > 0$ : convexité, $f'' < 0$ : concavité). On dit que $f$ est de classe $C^n$ si $f^{(n)}$ existe et est continue. Les fonctions usuelles (polynômes, exp, trigonométriques) sont de classe $C^\infty$ (dérivables un nombre infini de fois).

La formule de Leibniz donne la dérivée $n$-ième d'un produit :

$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}.$$

Exemple. Calculer $(x^2 e^x)''$. On a $(x^2 e^x)' = (2x + x^2) e^x$ et $(x^2 e^x)'' = (2 + 4x + x^2) e^x$. Par Leibniz avec $u = x^2$, $v = e^x$ : $(uv)'' = u'' v + 2 u' v' + u v'' = 2 e^x + 2(2x) e^x + x^2 e^x = (2 + 4x + x^2) e^x$ (même résultat).

Démonstrations exigibles

Démonstrations exigibles — à savoir refaire : Rolle, TVI, accroissements finis. Rolle : si $f$ est continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$, et $f(a) = f(b)$, alors $f$ atteint un max et un min (bornes atteintes) ; si le max = le min, $f$ est constante et $f' = 0$ partout ; sinon l'extremum est atteint en un point $c \in ]a,b[$ où $f'(c) = 0$. TVI (esquisse) : si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $f(a) \leq \ell \leq f(b)$, l'ensemble $\{x \in [a,b],\, f(x) \leq \ell\}$ admet un supremum $c$ ; par continuité, $f(c) = \ell$ (sinon $f(c) < \ell$ ou $f(c) > \ell$ contredirait la définition du supremum). Accroissements finis : appliquer Rolle à $g(x) = f(x) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ sur $[a,b]$ : $g(a) = g(b)$, donc $g'(c) = 0$, soit $f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

Capacités exigibles

• M6.tv — Démontrer l'existence d'une solution par les valeurs intermédiaires : montrer la continuité et le changement de signe (ou que la valeur est comprise entre deux valeurs de $f$).
• M6.accroissements-finis — Prouver une inégalité par les accroissements finis : majorer $|f'|$ sur l'intervalle et appliquer l'inégalité des accroissements finis.
• M6.derivabilite — Étudier la dérivabilité en un point litigieux : calculer les dérivées latérales et vérifier leur égalité (ou montrer leur divergence).

Pièges classiques

• Continuité ≠ dérivabilité : une fonction continue n'est pas forcément dérivable ($|x|$ en $0$) ; une fonction dérivable est toujours continue.
• Rolle nécessite $f(a) = f(b)$ : sans cette hypothèse, le théorème ne s'applique pas ; l'égalité des accroissements finis est la généralisation (sans hypothèse $f(a) = f(b)$).
• L'inégalité des accroissements finis demande $|f'| \leq M$ sur tout l'intervalle : si $f'$ n'est pas bornée sur $]a, b[$, l'inégalité ne s'applique pas (ex. $f(x) = \sqrt{x}$ en $0$).
• Dérivée nulle ≠ extremum : $f'(a) = 0$ est une condition nécessaire (pas suffisante) pour un extremum local ; il faut étudier le signe de $f'$ de part et d'autre.
• TVI vs bornes atteintes : le TVI (propriété des valeurs intermédiaires) est valable sur tout intervalle (ouvert, fermé ou semi-fermé) dès que $f$ y est continue ; c'est le théorème des bornes atteintes (existence du min et du max) qui exige un intervalle compact $[a, b]$. Sur un intervalle ouvert, $f$ peut être continue et ne pas atteindre ses bornes (ex. $f(x) = x$ sur $]0, 1[$).
• Dérivée d'une réciproque : il faut $f'(a) \neq 0$ ; si $f'(a) = 0$, la réciproque peut ne pas être dérivable en $f(a)$.

Graphe de référence

La fonction $f(x) = x^3 - 3x$ illustre le lien dérivée / monotonie. Sa dérivée $f'(x) = 3x^2 - 3$ s'annule en $x = \pm 1$ : $f$ y a un extremum local (maximum en $-1$, minimum en $1$). Pour voir le théorème de Rolle en action, considérons $g(x) = x^2 - 4x$ sur $[0, 4]$ : $g(0) = 0 = g(4)$, donc il existe $c \in ]0, 4[$ avec $g'(c) = 0$ ; ici $g'(x) = 2x - 4$, donc $c = 2$.

Pour aller plus loin

Annales utilisables sur ce chapitre (§4 de l'annexe Ressources, exercices et annales) : CCINP PC/PSI Maths 1 (exercices 1 et 2), e3a Maths — parties « analyse réelle ».

Voir aussi Ressources, exercices et annales pour les manuels recommandés et les banques d'exercices gratuites.