M7 — Analyse asymptotique

Objectif du chapitre. Maîtriser les relations de comparaison (négligeabilité, domination, équivalence) et les développements limités (DL) : la formule de Taylor-Young, les DL usuels, et les opérations (somme, produit, composition, quotient, intégration). Le DL est l'outil de référence pour lever les formes indéterminées, tracer les courbes (tangente, asymptote), et étudier le comportement local des fonctions.

Notions

1. Relations de comparaison

Soient $f, g$ deux fonctions réelles (ou suites) définies au voisinage de $a$ (ou à partir d'un rang), avec $g$ non nulle au voisinage.

• Négligeabilité : $f = o(g)$ en $a$ si $\dfrac{f}{g} \to 0$ ; on lit « $f$ est négligeable devant $g$ ».
• Domination : $f = O(g)$ en $a$ si $\dfrac{f}{g}$ est bornée au voisinage de $a$ ; on lit « $f$ est du même ordre que $g$ au plus ».
• Équivalence : $f \sim g$ en $a$ si $\dfrac{f}{g} \to 1$ ; on lit « $f$ est équivalent à $g$ ».

Propriétés de l'équivalence. $f \sim g$ implique $f = O(g)$ et $g = O(f)$ ; $f \sim g$ et $g \sim h$ impliquent $f \sim h$ ; $f \sim g$ et $f = o(h)$ impliquent $g = o(h)$.

Croissances comparées (en $+\infty$) : $\ln x = o(x^\alpha)$ pour tout $\alpha > 0$, $x^\alpha = o(e^x)$, et $n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$ (formule de Stirling — complément hors programme, à admettre). Ces comparaisons sont l'outil de base pour étudier la convergence des séries et des intégrales (chapitres M14 et M15).

2. Formule de Taylor-Young

Énoncé. Soit $f$ de classe $C^n$ au voisinage de $a$. Alors

$$f(a + h) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\, h^k + o(h^n) \quad \text{quand } h \to 0.$$

Le développement limité à l'ordre $n$ de $f$ en $a$ est le polynôme $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}\, h^k$ ; le terme $o(h^n)$ est le reste.

DL en un point quelconque. Pour $f$ en $a$, on pose $h = x - a$ et on développe en $h$ ; le DL de $f$ en $a$ à l'ordre $n$ est le polynôme en $(x - a)$.

3. DL usuels en 0 (à connaître par cœur)

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3), \qquad \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3),$$ $$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2} x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{6} x^3 + o(x^3),$$ $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3), \qquad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3), \qquad \tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3),$$ $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3), \qquad \sinh x = x + \frac{x^3}{6} + o(x^3), \qquad \cosh x = 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^3).$$

Équivalents associés (terme de plus bas degré) : $e^x - 1 \sim x$, $\ln(1 + x) \sim x$, $\sin x \sim x$, $\cos x - 1 \sim -\dfrac{x^2}{2}$, $\tan x - x \sim \dfrac{x^3}{3}$, $1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$.

4. Opérations sur les DL

• Somme : on additionne les DL au même ordre (l'ordre du résultat est l'ordre le plus bas).
• Produit : l'ordre du produit est la somme des ordres ; on ne garde que les termes de degré $\leq n$.
• Composition : on compose les DL en substituant ; l'ordre se préserve si la fonction composée est de classe $C^n$.
• Quotient : on écrit $\dfrac{u}{v} = u \cdot \dfrac{1}{v}$ et on développe $\dfrac{1}{v}$ (ou on fait une division de polynômes).
• Intégration : on intègre terme à terme ; on ne dérive pas un DL (la dérivée d'un DL à l'ordre $n$ est un DL à l'ordre $n - 1$, mais le reste $o(x^n)$ n'est pas dérivable en général).

Exemple (composition). Calculer le DL à l'ordre 3 de $\sin(e^x)$ en 0.

• $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$ ; on pose $v = e^x - 1 = x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$ et on développe $\sin(1 + v) = \sin 1 \cos v + \cos 1 \sin v$.
• $\cos v = 1 - \dfrac{v^2}{2} + o(v^3)$ avec $v^2 = x^2 + x^3 + o(x^3)$, donc $\cos v = 1 - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{2} + o(x^3)$.
• $\sin v = v - \dfrac{v^3}{6} + o(v^3) = x + \dfrac{x^2}{2} + o(x^3)$ (le terme $x^3$ de $v$ est annulé par $-v^3/6$).
• En ne gardant que les termes de degré $\leq 3$ : $\sin(e^x) = \sin 1 + \cos 1 \cdot x + \left(\dfrac{\cos 1 - \sin 1}{2}\right) x^2 - \dfrac{\sin 1}{2}\, x^3 + o(x^3)$.

5. Applications du DL

• Lever une forme indéterminée : $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}$ : au numérateur, $e^x - 1 - x = \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$, donc la limite est $\dfrac{1}{2}$.
• Tangente en un point : le DL à l'ordre 1 de $f$ en $a$ est $f(a) + f'(a)(x - a)$, c'est-à-dire l'équation de la tangente.
• Position relative : le signe du terme de plus bas degré du DL de $f - g$ en $a$ donne la position relative des courbes.
• Asymptote : le DL distingue deux cas. En un point fini $a$ où $f$ n'est pas définie (ex. $a = 1$ pour $f(x) = 1/(x-1)$), le DL en $a$ donne l'asymptote verticale $x = a$. En $\pm\infty$ (en posant $t = 1/x \to 0$), le DL donne l'asymptote oblique $y = ax + b$ (ou horizontale si $a = 0$).

Exemple (tangente et position relative). Soit $f(x) = \ln(1 + x)$. Le DL à l'ordre 1 en 0 est $f(x) = x + o(x)$ : la tangente en 0 est $y = x$. Le DL à l'ordre 2 est $f(x) = x - \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$ ; la différence $f(x) - x = -\dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$ est négative au voisinage de 0 (sauf en 0) : la courbe est en dessous de sa tangente en 0.

Exemple (asymptote oblique). Soit $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$. On a $f(x) = x + 1 + \dfrac{2}{x - 1}$, donc quand $x \to +\infty$, $f(x) - (x + 1) = \dfrac{2}{x - 1} \to 0$ : la droite $y = x + 1$ est une asymptote oblique en $+\infty$. Le DL en $+\infty$ (en posant $t = 1/x \to 0$) donne le même résultat.

Exemple (développement de $\dfrac{1}{v}$). Si $v = 1 + u$ avec $u = o(1)$, alors $\dfrac{1}{v} = \dfrac{1}{1 + u} = 1 - u + u^2 + o(u^2)$ (développement de $\dfrac{1}{1 - t}$ en $t = -u$). C'est l'outil de base pour les quotients de DL.

Capacités exigibles

• M7.taylor-young — Calculer un développement limité à l'ordre 3 : appliquer la formule de Taylor-Young ou utiliser les DL usuels, sans erreur sur les ordres.
• M7.DL-ordre — Choisir l'ordre d'un développement limité : l'ordre est déterminé par le terme de plus bas degré du résultat attendu (pas par l'ordre le plus élevé possible).
• M7.equivalents — Utiliser des équivalents : reconnaître le terme de plus bas degré, et savoir que les équivalents se multiplient/divisent mais ne s'additionnent pas.
• M7.DL-composition — Composer des développements limités : substituer un DL dans un autre, en préservant l'ordre.

Pièges classiques

• On ne dérive pas un DL, on l'intègre : la dérivée du reste $o(x^n)$ n'est pas $o(x^{n-1})$ en général ; l'intégration terme à terme est en revanche licite.
• L'ordre d'un produit dépend du terme de plus bas degré : le produit de deux DL à l'ordre $n$ est un DL à l'ordre $n$ (pas $2n$) ; on ne garde que les termes de degré $\leq n$.
• On n'additionne jamais des équivalents : $f \sim f_1$ et $g \sim g_2$ ne donnent pas $f + g \sim f_1 + g_2$ (l'annulation est possible : si $f_1 = -g_2$, la somme $f+g$ est de plus petit ordre que $f_1$). Pour additionner, on repasse par des DL complets et on compare les ordres.
• DL en 0 vs DL en $a$ : les DL usuels sont en 0 ; pour un DL en $a$, on pose $h = x - a$ et on développe en $h$.
• Équivalent ≠ DL : l'équivalent est le terme de plus bas degré ; le DL est le polynôme complet. Confondre les deux donne des erreurs sur les ordres.
• Composition : vérifier la classe $C^n$ : la composition de deux DL à l'ordre $n$ préserve l'ordre seulement si la fonction extérieure est de classe $C^n$.

Graphe de référence

La fonction $\sin(x)/x$ (avec la valeur en 0 par continuité, égale à 1) illustre l'équivalent $\sin x \sim x$ en 0 : la courbe est tangente à la droite $y = 1$ en 0, et le DL à l'ordre 2 est $\dfrac{\sin x}{x} = 1 - \dfrac{x^2}{6} + o(x^2)$.

Pour aller plus loin

Annales utilisables sur ce chapitre (§4 de l'annexe Ressources, exercices et annales) : CCINP PC/PSI Maths 1 (exercices 1 et 2), e3a Maths — parties « analyse réelle ».

Voir aussi Ressources, exercices et annales pour les manuels recommandés et les banques d'exercices gratuites.