M8 — Polynômes

Objectif du chapitre. Maîtriser l'anneau des polynômes $\mathbb{K}[X]$ (avec $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) : opérations, division euclidienne, racines et multiplicité, polynômes scindés, et le théorème de d'Alembert-Gauss. L'objectif est de savoir factoriser un polynôme dans $\mathbb{R}[X]$ et $\mathbb{C}[X]$, et de déterminer la multiplicité de ses racines.

Notions

1. L'anneau $\mathbb{K}[X]$

Un polynôme de $\mathbb{K}[X]$ est une expression $P(X) = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k$ avec $a_k \in \mathbb{K}$ et $a_n \neq 0$ (si $P \neq 0$). Le degré $\deg P = n$ est l'indice du plus haut coefficient non nul.

Opérations. L'addition et la multiplication sont celles des polynômes ; $\mathbb{K}[X]$ est un anneau intègre (sans diviseurs de zéro). Le degré d'un produit est la somme des degrés : $\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$ (si $P, Q \neq 0$).

Division euclidienne. Soient $P, A \in \mathbb{K}[X]$ avec $A \neq 0$. Il existe des polynômes uniques $Q$ (quotient) et $R$ (reste) tels que $P = AQ + R$ avec $\deg R < \deg A$. Si $R = 0$, on dit que $A$ divise $P$ (on note $A \mid P$).

Divisibilité (théorème du reste). $X - a \mid P$ si et seulement si $P(a) = 0$ (théorème du reste). Dans $\mathbb{C}[X]$ (et seulement là), $A \mid P$ si et seulement si $P(a) = 0$ pour toute racine $a$ de $A$, avec multiplicité ; dans $\mathbb{R}[X]$ cette caractérisation par les racines réelles ne suffit pas (ex. $X^2 + 1$ n'a pas de racine réelle et ne divise pas tout).

2. Racines et multiplicité

Une racine de $P \in \mathbb{K}[X]$ est un $a \in \mathbb{K}$ tel que $P(a) = 0$. La multiplicité de $a$ est l'entier $m \geq 1$ tel que $(X - a)^m \mid P$ mais $(X - a)^{m+1} \nmid P$.

Caractérisation par les dérivées. $a$ est racine de multiplicité $\geq m$ si et seulement si

$$P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0.$$

En particulier, $a$ est racine double si et seulement si $P(a) = P'(a) = 0$ ; $a$ est racine simple si et seulement si $P(a) = 0$ et $P'(a) \neq 0$.

Méthode pour déterminer la multiplicité.

1. Vérifier que $P(a) = 0$ (sinon $a$ n'est pas racine).
2. Calculer successivement $P'(a), P''(a), \dots$ jusqu'à la première dérivée non nulle.
3. Si $P^{(k)}(a) = 0$ pour $k = 0, \dots, m-1$ et $P^{(m)}(a) \neq 0$, alors $a$ est racine de multiplicité exactement $m$.

Exemple. Soit $P(X) = X^3 - X^2 - X + 1 = (X - 1)^2 (X + 1)$.

• $P(1) = 1 - 1 - 1 + 1 = 0$ : $1$ est racine.
• $P'(X) = 3X^2 - 2X - 1$, $P'(1) = 3 - 2 - 1 = 0$ : $1$ est racine de multiplicité $\geq 2$.
• $P''(X) = 6X - 2$, $P''(1) = 4 \neq 0$ : $1$ est racine double (cohérent avec le facteur $(X - 1)^2$).
• $P(-1) = -1 - 1 + 1 + 1 = 0$ : $-1$ est racine.
• $P'(-1) = 3 + 2 - 1 = 4 \neq 0$ : $-1$ est racine simple (cohérent avec le facteur $(X + 1)$).

Lien avec le graphe. Une racine de multiplicité impaire correspond à un croisement de la courbe avec l'axe des abscisses ; une racine de multiplicité paire correspond à un point de tangence (la courbe touche l'axe sans le traverser).

Formule de Taylor polynomiale. Pour $P \in \mathbb{K}[X]$ et $a \in \mathbb{K}$ :

$$P(X) = \sum_{k=0}^{\deg P} \frac{P^{(k)}(a)}{k!}\, (X - a)^k.$$

C'est le développement de Taylor de $P$ au point $a$ (exact, pas de reste).

3. Polynômes scindés et d'Alembert-Gauss

Théorème de d'Alembert-Gauss (théorème fondamental de l'algèbre). Tout polynôme $P \in \mathbb{C}[X]$ de degré $n \geq 1$ admet $n$ racines complexes (comptées avec multiplicité). Autrement dit, $P$ est scindé dans $\mathbb{C}[X]$ :

$$P(X) = a_n \prod_{k=1}^{n} (X - r_k),$$

où $r_1, \dots, r_n$ sont les racines (avec multiplicité) et $a_n$ le coefficient dominant.

Conséquences.

• Un polynôme réel de degré impair a au moins une racine réelle (les racines complexes non réelles viennent par paires conjuguées, donc leur nombre est pair).
• Un polynôme réel de degré $n$ s'écrit dans $\mathbb{R}[X]$ comme un produit de facteurs $(X - r)$ (racines réelles) et de facteurs quadratiques $X^2 + px + q$ de discriminant négatif, dont les racines sont complexes conjuguées.

Exemple : factoriser $X^3 - 1$ dans $\mathbb{R}[X]$.

• $X = 1$ est racine ($1^3 - 1 = 0$), donc $X - 1 \mid X^3 - 1$.
• Division euclidienne : $X^3 - 1 = (X - 1)(X^2 + X + 1)$.
• Le discriminant de $X^2 + X + 1$ est $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ : pas de racine réelle.
• Factorisation dans $\mathbb{R}[X]$ : $X^3 - 1 = (X - 1)(X^2 + X + 1)$.
• Dans $\mathbb{C}[X]$ : les racines de $X^2 + X + 1$ sont $\dfrac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} = e^{2i\pi/3}$ et $e^{4i\pi/3}$, donc $X^3 - 1 = (X - 1)(X - e^{2i\pi/3})(X - e^{4i\pi/3})$.

4. Relations coefficients-racines

Soit $P(X) = a_n X^n + \dots + a_1 X + a_0$ scindé de racines $r_1, \dots, r_n$. Alors :

• Degré 2 : $r_1 + r_2 = -\dfrac{a_1}{a_n}$, $r_1 r_2 = \dfrac{a_0}{a_n}$.
• Degré 3 : $r_1 + r_2 + r_3 = -\dfrac{a_2}{a_n}$, $r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 = \dfrac{a_1}{a_n}$, $r_1 r_2 r_3 = -\dfrac{a_0}{a_n}$.

Ces relations (formules de Viète) permettent de trouver une racine si on en connaît une autre, ou de vérifier une factorisation.

5. Fonctions polynomiales et interpolation

La fonction polynomiale $x \mapsto P(x)$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$ ; ses dérivées sont les polynômes dérivés $P', P'', \dots$. Le polynôme dérivé $P'$ a pour racines les points critiques de la fonction polynomiale : les variations de $P$ sont donc entièrement déterminées par les racines de $P'$.

Comportement aux bornes. Si $P$ est de degré $n$ avec coefficient dominant $a_n$, alors $P(x) \to \operatorname{sgn}(a_n)\, \operatorname{sgn}(x)^n \cdot (+\infty)$ quand $|x| \to +\infty$ : les branches de la courbe sont asymptotiques à celles de $a_n x^n$.

Interpolation de Lagrange (introduction). Soient $x_0, \dots, x_n$ des réels distincts et $y_0, \dots, y_n$ des réels. Il existe un unique polynôme $P$ de degré $\leq n$ tel que $P(x_k) = y_k$ pour $k = 0, \dots, n$. Ce polynôme est

$$P(X) = \sum_{k=0}^{n} y_k \, L_k(X), \qquad L_k(X) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq k}}^{n} \frac{X - x_j}{x_k - x_j}.$$

Les polynômes $L_k$ sont les polynômes de Lagrange : $L_k(x_j) = \delta_{kj}$ (1 si $j = k$, 0 sinon). L'unicité vient du fait que la différence de deux tels polynômes aurait $n + 1$ racines, donc serait nulle (degré $\leq n$).

Capacités exigibles

• M8.factorisation — Factoriser un polynôme dans $\mathbb{R}[X]$ : trouver les racines réelles (par essais, Viète, ou d'Alembert-Gauss), diviser par $X - r$ à chaque racine, et identifier les facteurs quadratiques irréductibles (discriminant négatif).
• M8.multiplicite — Déterminer la multiplicité d'une racine : calculer $P(a), P'(a), P''(a), \dots$ jusqu'à la première dérivée non nulle ; la multiplicité est l'indice de cette dérivée.

Pièges classiques

• Un polynôme réel de degré impair a au moins une racine réelle : les racines complexes non réelles viennent par paires conjuguées, donc leur nombre est pair ; si le degré est impair, il reste au moins une racine réelle.
• Racine double $\iff P(a) = P'(a) = 0$ : il faut vérifier les deux conditions ; $P(a) = 0$ seul ne suffit pas (racine simple).
• Multiplicité vs nombre de racines : un polynôme de degré $n$ a $n$ racines comptées avec multiplicité dans $\mathbb{C}$, mais peut en avoir moins dans $\mathbb{R}$.
• Division euclidienne : le reste est de degré strictement inférieur au diviseur : si $\deg R \geq \deg A$, la division n'est pas terminée.
• Relations de Viète : attention aux signes : la somme des racines est $-a_{n-1}/a_n$ (signe moins), le produit est $(-1)^n a_0/a_n$ (signe dépend du degré).
• Polynôme nul : le polynôme nul n'a pas de degré (ou $\deg 0 = -\infty$ par convention) ; les théorèmes de d'Alembert-Gauss et de division euclidienne supposent $P \neq 0$.

Graphe de référence

La fonction polynomiale $f(x) = x^3 - 1$ a une unique racine réelle en $x = 1$ (les deux autres racines sont complexes : $e^{2i\pi/3}$ et $e^{4i\pi/3}$) ; la courbe montre que $f$ est strictement croissante (dérivée $f'(x) = 3x^2 \geq 0$, nulle seulement en $0$).

Pour aller plus loin

Ce chapitre n'a pas de renvoi spécifique dans la table du §4 de l'annexe Ressources, exercices et annales (programme non explicitement couvert par les thèmes recensés) — voir la page générale pour les manuels recommandés, les banques d'exercices gratuites et les annales par matière.