M10 — Espaces vectoriels et applications linéaires

Objectif du chapitre. Poser le cadre de l'algèbre linéaire : les espaces vectoriels, les sous-espaces, les familles (libres, génératrices, bases), et les applications linéaires (noyau, image, injectivité/surjectivité). L'objectif est de savoir montrer qu'une partie est un sous-espace, prouver qu'une famille est libre, et déterminer le noyau et l'image d'une application linéaire.

Notions

1. Espace vectoriel

Un espace vectoriel $E$ sur un corps $\mathbb{K}$ (ici $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) est un ensemble muni d'une addition $+$ (commutative, associative, de neutre $0_E$) et d'une multiplication par les scalaires $(\lambda, x) \mapsto \lambda x$, satisfaisant les axiomes usuels (distributivité, compatibilité, $1 \cdot x = x$).

Exemples. $\mathbb{K}^n$, $\mathbb{K}[X]$ (polynômes), $\mathcal{C}^0(I, \mathbb{K})$ (fonctions continues), $\mathbb{M}_n(\mathbb{K})$ (matrices), les espaces de suites.

Combinaison linéaire. Soit $(e_1, \dots, e_p) \in E^p$ et $(\lambda_1, \dots, \lambda_p) \in \mathbb{K}^p$ ; la combinaison linéaire est $\lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_p e_p$.

2. Sous-espaces vectoriels

Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel si elle contient $0_E$ et si elle est stable par l'addition et la multiplication par les scalaires.

Caractérisation pratique. $F$ est un sous-espace de $E$ si et seulement si :

1. $0_E \in F$ ;
2. $\forall x, y \in F,\, x + y \in F$ ;
3. $\forall \lambda \in \mathbb{K},\, \forall x \in F,\, \lambda x \in F$.

Sous-espace engendré. Pour une famille $(e_1, \dots, e_p)$, le sous-espace engendré $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_p)$ est l'ensemble des combinaisons linéaires de la famille ; c'est le plus petit sous-espace contenant la famille.

Exemples de sous-espaces. Le noyau et l'image d'une application linéaire (voir §4), les hyperplans (sous-espaces de codimension 1 — complément, non exigible), les droites vectorielles $\operatorname{Vect}(e)$.

3. Familles libres, génératrices, bases

Soit $(e_1, \dots, e_p) \in E^p$.

• Libre : la seule combinaison linéaire nulle est la triviale : $\lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_p e_p = 0 \Rightarrow \lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0$.
• Génératrice : $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_p) = E$.
• Base : la famille est à la fois libre et génératrice.

Propriétés. (La dimension $\dim E$ — le cardinal d'une base — est admise ici ; elle est définie et étudiée en M11.)

• En dimension finie (théorème de la base incomplète) : toute famille libre est partie d'une base ; toute famille génératrice contient une base.
• Deux bases d'un même espace vectoriel de dimension finie ont le même cardinal (la dimension $\dim E$).
• Une famille libre de $E$ a au plus $\dim E$ vecteurs ; une famille génératrice en a au moins $\dim E$.
• Critère de liberté : dans un espace de dimension $n$, une famille de $n$ vecteurs est libre si et seulement si elle est génératrice (et donc une base).

Méthode pour prouver la liberté. On suppose $\lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_p e_p = 0$ et on montre que $\lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0$ (par passage en coordonnées dans une base, ou par manipulation algébrique).

4. Somme et somme directe

Pour deux sous-espaces $F, G$ de $E$, la somme $F + G = \{f + g \mid f \in F,\, g \in G\}$ est un sous-espace.

Somme directe. La somme $F + G$ est directe (on note $F \oplus G$) si et seulement si $F \cap G = \{0\}$, c'est-à-dire si et seulement si toute décomposition $x = f + g$ est unique.

Caractérisation. $E = F \oplus G$ si et seulement si :

• $F + G = E$ ;
• $F \cap G = \{0\}$.

Dimension. Si $E = F \oplus G$, alors $\dim E = \dim F + \dim G$.

Généralisation. Pour des sous-espaces $F_1, \dots, F_p$, la somme est directe si et seulement si toute combinaison $\sum_{i=1}^{p} f_i = 0$ avec $f_i \in F_i$ implique $f_1 = \dots = f_p = 0$ ; dans ce cas, $\dim(\sum F_i) = \sum \dim F_i$.

Sous-espace supplémentaire. Un supplémentaire de $F$ dans $E$ est un sous-espace $G$ tel que $E = F \oplus G$ ; il existe toujours (prolongement de base), et n'est pas unique en général.

Exemple. Dans $\mathbb{R}^2$, soit $F = \operatorname{Vect}((1, 1))$. Les supplémentaires de $F$ sont les droites vectorielles $\operatorname{Vect}((a, b))$ avec $(a, b) \notin F$, c'est-à-dire $a \neq b$ ; par exemple $G = \operatorname{Vect}((1, -1))$ est un supplémentaire, et $\mathbb{R}^2 = F \oplus G$.

5. Applications linéaires

Une application $f : E \to F$ est linéaire si $f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y)$ pour tous $x, y \in E$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$. L'ensemble $\mathcal{L}(E, F)$ des applications linéaires est un espace vectoriel.

Noyau et image.

• Noyau : $\ker f = \{x \in E \mid f(x) = 0_F\}$, sous-espace de $E$.
• Image : $\operatorname{Im} f = \{f(x) \mid x \in E\}$, sous-espace de $F$.

Propriétés.

• $f$ est injective si et seulement si $\ker f = \{0\}$.
• $f$ est surjective si et seulement si $\operatorname{Im} f = F$.
• Théorème du rang (si $E$ est de dimension finie) : $\dim E = \dim \ker f + \dim \operatorname{Im} f$.

(le rang d'une application est défini en M11 ; le déterminant en M13).

Méthode pour déterminer $\ker f$ et $\operatorname{Im} f$.

1. Noyau : résoudre $f(x) = 0$ (système linéaire si $f$ est donnée par une matrice) ; le noyau est un sous-espace, on le décrit par une base.
2. Image : l'image est le sous-espace engendré par les images d'une base de $E$ ; on en extrait une base (par pivot).

Image et image réciproque d'un sous-espace. Soit $f : E \to F$ linéaire, $G$ un sous-espace de $E$ et $H$ un sous-espace de $F$.

• L'image $f(G)$ est un sous-espace de $F$.
• L'image réciproque $f^{-1}(H) = \{x \in E \mid f(x) \in H\}$ est un sous-espace de $E$.

En particulier, $\ker f = f^{-1}(\{0_F\})$ et $\operatorname{Im} f = f(E)$.

Exemple. Soit $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y, z) = (x + y, y + z)$.

• Noyau : $f(x, y, z) = (0, 0) \iff x + y = 0$ et $y + z = 0 \iff x = -y$ et $z = -y$. Donc $\ker f = \operatorname{Vect}((-1, 1, -1))$ (dimension 1).
• Image : $f(1, 0, 0) = (1, 0)$, $f(0, 1, 0) = (1, 1)$, $f(0, 0, 1) = (0, 1)$. L'image est engendrée par $(1, 0)$ et $(0, 1)$, donc $\operatorname{Im} f = \mathbb{R}^2$ (dimension 2).
• Vérification : $\dim \ker f + \dim \operatorname{Im} f = 1 + 2 = 3 = \dim \mathbb{R}^3$.

6. Endomorphismes, isomorphismes, projecteurs

• Endomorphisme : application linéaire $f : E \to E$ (même espace).
• Isomorphisme : bijection linéaire $f : E \to F$ ; les espaces $E$ et $F$ sont alors isomorphes (même dimension).
• Projecteur : endomorphisme $p$ tel que $p \circ p = p$ (idempotent). On a $E = \ker p \oplus \operatorname{Im} p$.
• Symétrie : endomorphisme $s$ tel que $s \circ s = \mathrm{id}$ (involution). Caractérisation : $s$ est une symétrie si et seulement si $s = 2p - \mathrm{id}$ pour un projecteur $p$ (le projecteur sur $\ker(s - \mathrm{id})$) ; dans ce cas $E = \ker(s - \mathrm{id}) \oplus \ker(s + \mathrm{id})$ (image et noyau de $s$). Attention : un projecteur $p \neq \mathrm{id}$ n'est pas une symétrie ($p^2 = p$ mais $p^2 \neq \mathrm{id}$) ; la seule application qui est à la fois projecteur et symétrie est $\mathrm{id}$ (et $0$ n'est une symétrie que si $E = 0$).

Caractérisation du projecteur. $p$ est un projecteur si et seulement si $p^2 = p$ ; dans ce cas, $\ker p$ et $\operatorname{Im} p$ sont supplémentaires.

Démonstrations exigibles

Démonstration exigible — à savoir refaire : projecteurs et symétries. Soit $p$ un projecteur ($p^2 = p$). Pour $x \in \ker(p)$, $p(x) = 0$ ; pour $x \in \operatorname{Im}(p)$, $p(x) = x$. Tout $y \in E$ s'écrit $y = p(y) + (y - p(y))$ avec $p(y) \in \operatorname{Im}(p)$ et $y - p(y) \in \ker(p)$ (car $p(y - p(y)) = p(y) - p^2(y) = 0$). La décomposition est unique (si $a + b = a' + b'$ avec $a, a' \in \operatorname{Im}(p)$ et $b, b' \in \ker(p)$, alors $a - a' = b' - b \in \operatorname{Im}(p) \cap \ker(p) = \{0\}$). Donc $E = \operatorname{Im}(p) \oplus \ker(p)$. Réciproquement, si $E = F \oplus G$, la projection sur $F$ parallèlement à $G$ est un projecteur.

Capacités exigibles

• M10.sous-espace — Montrer qu'une partie est un sous-espace : vérifier les trois conditions (contient 0, stable par addition, stable par multiplication par un scalaire).
• M10.ker-im — Déterminer le noyau et l'image d'une application linéaire : résoudre $f(x) = 0$ pour le noyau, et engendrer par les images d'une base pour l'image.

Pièges classiques

• Un sous-espace contient toujours 0 : c'est la première condition à vérifier ; une partie qui ne contient pas 0 n'est pas un sous-espace (ex. l'ensemble des vecteurs de norme 1).
• « Libre » se prouve par une combinaison linéaire nulle : il faut montrer que la seule combinaison nulle est la triviale ; dire « les vecteurs ne sont pas colinéaires » ne suffit pas (sauf pour deux vecteurs).
• Injectivité $\iff$ noyau trivial : $f$ est injective si et seulement si $\ker f = \{0\}$ ; il ne suffit pas de vérifier que $f$ est injective sur une base.
• Somme directe : vérifier l'intersection : $F + G$ est directe si et seulement si $F \cap G = \{0\}$ ; il ne suffit pas de vérifier que $F + G = E$.
• Théorème du rang : $\dim E = \dim \ker f + \dim \operatorname{Im} f$ ; c'est une égalité de dimensions, pas de sous-espaces.
• Projecteur : $p^2 = p$ : vérifier $p^2(e_i) = p(e_i)$ sur une base suffit (deux applications linéaires égales sur une base sont égales partout) ; le vrai piège est de croire qu'un projecteur est une symétrie : $p^2 = p$ ne donne pas $p^2 = \mathrm{id}$, et un projecteur $p \neq \mathrm{id}$ n'est pas une symétrie (ni un projecteur orthogonal en général).

Graphe de référence

L'application linéaire $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ de matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ est le projecteur sur l'axe $Ox$ : le noyau est l'axe $Oy$ et l'image est l'axe $Ox$ (supplémentaires). La courbe $y = 0$ (image) et la droite $x = 0$ (noyau) illustrent la décomposition $E = \ker f \oplus \operatorname{Im} f$.

Pour aller plus loin

Annales utilisables sur ce chapitre (§4 de l'annexe Ressources, exercices et annales) : CCINP Maths 2, Mines PSI Maths 1 (premières parties).

Voir aussi Ressources, exercices et annales pour les manuels recommandés et les banques d'exercices gratuites.