M3 — Nombres complexes et trigonométrie

Objectif du chapitre. Maîtriser les trois formes d'un nombre complexe (algébrique, trigonométrique, exponentielle), savoir les convertir entre elles, et utiliser l'outil complexe pour linéariser des expressions trigonométriques et résoudre $z^n = a$. Les complexes sont aussi le langage naturel des rotations et des oscillations (champs d'ondes, circuits en régime sinusoïdal).

Notions

1. Forme algébrique, conjugué, module

Un nombre complexe s'écrit $z = a + ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ : $a = \Re(z)$, $b = \Im(z)$. Le conjugué est $\overline{z} = a - ib$ ; le module est $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Propriétés essentielles.

$$|z_1 z_2| = |z_1|\,|z_2|, \qquad |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2| \quad \text{(inégalité triangulaire)}, \qquad \overline{z_1 z_2} = \overline{z_1}\,\overline{z_2}, \qquad |z|^2 = z\,\overline{z}.$$

Astuce de calcul. Pour simplifier une fraction de complexes, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : $\dfrac{1}{a+ib} = \dfrac{a - ib}{a^2 + b^2}$.

2. Formes trigonométrique et exponentielle

Si $z \neq 0$, on écrit $z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $\theta = \arg(z)$, défini modulo $2\pi$ (l'argument n'est pas unique : $\theta$ et $\theta + 2k\pi$ désignent le même complexe). On note $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ (formule d'Euler), et on écrit $z = |z|\, e^{i\theta}$.

Passer d'une forme à l'autre.

• Algébrique $\to$ exponentielle : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\arg(z) = \theta$ tel que $\cos\theta = \dfrac{a}{|z|}$ et $\sin\theta = \dfrac{b}{|z|}$ (attention au quadrant : $\cos$ et $\sin$ doivent avoir les bons signes).
• Exponentielle $\to$ algébrique : $a = |z|\cos\theta$, $b = |z|\sin\theta$.

Formule de Moivre. Pour tout entier $n$ :

$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta), \qquad \text{c'est-à-dire } (e^{i\theta})^n = e^{in\theta}.$$

Conséquences. $\dfrac{1}{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$, $\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\varphi}} = e^{i(\theta - \varphi)}$, et $e^{i\theta}$ est un nombre complexe de module 1 (sur le cercle unité).

3. Linéarisation

Linéariser une expression trigonométrique, c'est l'écrire comme une somme de cosinus et de sinus d'angles multiples (ou de constantes). Outil : les formules d'Euler inverses

$$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}.$$

Exemple : linéariser $\cos^3\theta$.

$$\cos^3\theta = \left(\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\right)^3 = \frac{e^{3i\theta} + 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} + e^{-3i\theta}}{8} = \frac{1}{4}\cos(3\theta) + \frac{3}{4}\cos\theta.$$

Exemple : linéariser $\sin^3\theta$.

$$\sin^3\theta = \left(\frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\right)^3 = \frac{e^{3i\theta} - 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} - e^{-3i\theta}}{-8i} = \frac{3}{4}\sin\theta - \frac{1}{4}\sin(3\theta).$$

Méthode générale. Remplacer chaque $\cos$ et $\sin$ par sa forme exponentielle, développer (binôme de Newton), puis regrouper les termes conjugués $e^{ik\theta}$ et $e^{-ik\theta}$ en $\cos(k\theta)$ ou $\sin(k\theta)$. Le résultat est toujours une somme de cosinus (ou de sinus) d'angles $0, \theta, 2\theta, \dots, n\theta$, éventuellement avec un terme constant.

Factorisation trigonométrique. La même technique permet de factoriser : par exemple $1 + e^{i\theta} = e^{i\theta/2}\left(e^{-i\theta/2} + e^{i\theta/2}\right) = 2\cos\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right) e^{i\theta/2}$ (angle moitié). Plus généralement, $e^{i\theta} - 1 = 2i\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right) e^{i\theta/2}$.

4. Racines n-ièmes de l'unité et d'un complexe

Racines n-ièmes de l'unité. L'équation $z^n = 1$ admet exactement $n$ solutions dans $\mathbb{C}$, les racines n-ièmes de l'unité :

$$\omega_k = e^{2ik\pi/n}, \quad k = 0, 1, \dots, n-1.$$

Elles sont de module 1, d'arguments $\dfrac{2k\pi}{n}$, et forment un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité. Propriétés : $\omega_k^n = 1$, $\sum_{k=0}^{n-1} \omega_k = 0$, et $\{\omega_0, \dots, \omega_{n-1}\} = \{z \in \mathbb{C} \mid z^n = 1\}$.

Racines n-ièmes d'un complexe $a \neq 0$. Écrire $a = \rho\, e^{i\varphi}$ (avec $\rho = |a|$, $\varphi = \arg(a)$). Les $n$ solutions de $z^n = a$ sont :

$$z_k = \rho^{1/n} \, e^{i(\varphi + 2k\pi)/n}, \quad k = 0, 1, \dots, n-1.$$

Méthode.

1. Écrire $a$ en forme exponentielle.
2. Le module de chaque racine est $\rho^{1/n}$ (racine réelle positive).
3. Les arguments sont $\dfrac{\varphi + 2k\pi}{n}$ pour $k = 0, \dots, n-1$.
4. Les $n$ racines forment un polygone régulier à $n$ côtés, de centre 0, tourné d'un angle $\varphi/n$ par rapport à l'axe réel.

Exemple. Résoudre $z^3 = 8$. On a $8 = 8\, e^{i0}$, donc $\rho^{1/3} = 2$ et les arguments sont $\dfrac{0 + 2k\pi}{3}$ : $z_0 = 2$, $z_1 = 2\, e^{2i\pi/3} = -1 + i\sqrt{3}$, $z_2 = 2\, e^{4i\pi/3} = -1 - i\sqrt{3}$.

5. Interprétation géométrique

• Multiplication par $e^{i\theta}$ : rotation d'angle $\theta$ autour de l'origine (module 1, pas de changement d'échelle).
• Multiplication par $z = \rho\, e^{i\theta}$ : similitude directe de centre 0, de rapport $\rho$ et d'angle $\theta$.
• Multiplication par un réel $a$ : homothétie de centre 0 et de rapport $a$ (si $a < 0$, rotation de $\pi$ en plus).

Utilisation. Pour montrer qu'une transformation du plan est une rotation ou une similitude, on écrit son affixe $z' = az + b$ : si $a = 1$, c'est une translation d'affixe $b$ ; si $|a| = 1$ et $a \neq 1$, c'est une rotation d'angle $\arg(a)$ (même si $b \neq 0$ : elle possède un centre propre) ; sinon ($|a| \neq 1$) c'est une similitude directe de rapport $|a|$ et d'angle $\arg(a)$.

Exemple (rotation). La transformation $z' = e^{i\pi/3}\, z + 1$ est une similitude directe de rapport 1 (donc une rotation) d'angle $\pi/3$, suivie d'une translation d'affixe 1. Son centre est le point d'affixe $\zeta$ tel que $\zeta = e^{i\pi/3}\,\zeta + 1$, c'est-à-dire $\zeta(1 - e^{i\pi/3}) = 1$. Comme $1 - e^{i\pi/3} = \tfrac{1}{2} - i\tfrac{\sqrt{3}}{2} = e^{-i\pi/3}$, on a $\zeta = \dfrac{1}{e^{-i\pi/3}} = e^{i\pi/3}$. La transformation est donc la rotation de centre $\zeta = e^{i\pi/3}$ et d'angle $\pi/3$.

5bis. Équations du second degré à coefficients complexes

L'équation $az^2 + bz + c = 0$ avec $a \neq 0$ se résout exactement comme dans $\mathbb{R}$, avec $\Delta = b^2 - 4ac \in \mathbb{C}$ :

$$z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a},$$

où $\sqrt{\Delta}$ désigne l'une des deux racines carrées de $\Delta$ dans $\mathbb{C}$ (elles sont opposées, donc les deux solutions sont bien obtenues). Il n'y a plus de distinction « $\Delta < 0$ » : dans $\mathbb{C}$, tout nombre admet une racine carrée, et l'équation du second degré a toujours deux solutions (comptées avec multiplicité).

Exemple. Résoudre $z^2 + z + 1 = 0$. On a $\Delta = 1 - 4 = -3 = 3\, e^{i\pi}$, donc $\sqrt{\Delta} = \sqrt{3}\, e^{i\pi/2} = i\sqrt{3}$. Les solutions sont $z = \dfrac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$, c'est-à-dire $e^{2i\pi/3}$ et $e^{4i\pi/3}$ : les deux racines cubiques de l'unité autres que 1.

6. Trigonométrie circulaire (rappel)

Formules d'addition. $\cos(a \pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b$, $\sin(a \pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b$.

Formules de duplication. $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$, $\sin(2a) = 2\sin a\cos a$.

Formules d'angle moitié. $\cos^2 a = \dfrac{1 + \cos(2a)}{2}$, $\sin^2 a = \dfrac{1 - \cos(2a)}{2}$.

Somme-produit. $\cos a + \cos b = 2\cos\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{a-b}{2}\right)$, $\sin a + \sin b = 2\sin\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{a-b}{2}\right)$.

Ces formules se déduisent toutes des formules d'addition ; elles sont indispensables pour les exercices de linéarisation et de factorisation.

Démonstrations exigibles

Démonstration exigible — à savoir refaire : somme des racines $n$-ièmes de l'unité. Soient $\zeta_0, \dots, \zeta_{n-1}$ les racines de $z^n - 1 = 0$. Le polynôme $z^n - 1$ se factorise en $\prod_{k=0}^{n-1}(z - \zeta_k)$. En développant, le coefficient de $z^{n-1}$ est $-\sum_k \zeta_k$ d'un côté, et $0$ de l'autre (pas de terme $z^{n-1}$ dans $z^n - 1$). Donc $\sum_k \zeta_k = 0$.

Capacités exigibles

• M3.formes-complexes — Passer d'une forme à l'autre pour un complexe : algébrique $\leftrightarrow$ exponentielle, en calculant le module et l'argument (avec le bon quadrant) et en respectant la périodicité modulo $2\pi$.
• M3.linearisation — Linéariser une expression trigonométrique : remplacer par les formes exponentielles, développer, regrouper les conjugués ; savoir aussi factoriser avec l'angle moitié.
• M3.racines-unite — Résoudre $z^n = a$ : écrire $a$ en forme exponentielle, donner les $n$ racines (module $\rho^{1/n}$, arguments $\frac{\varphi + 2k\pi}{n}$), et les interpréter géométriquement.

Pièges classiques

• Argument défini modulo $2\pi$ : l'argument n'est pas unique ; écrire $\arg(z) = \theta$ sans préciser « modulo $2\pi$ » est une erreur.
• Quadrant de l'argument : $\cos\theta = a/|z|$ et $\sin\theta = b/|z|$ ne suffisent pas à déterminer $\theta$ ; il faut regarder les signes de $a$ et $b$ (quadrant I, II, III ou IV).
• Inégalité triangulaire : $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ ; l'égalité se vérifie si $z_1$ et $z_2$ sont colinéaires de même sens (pas toujours).
• Ne pas oublier les $n$ racines : l'équation $z^n = a$ a exactement $n$ solutions dans $\mathbb{C}$ ; en donner une seule est insuffisant.
• Confondre $\arg$ et $\operatorname{Arg}$ : certains auteurs notent $\operatorname{Arg}(z) \in ]-\pi, \pi]$ l'argument principal ; préciser la convention utilisée.
• Linéarisation : ne pas oublier le terme constant : $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ contient un terme constant $\frac{1}{2}$, pas seulement un cosinus.

Graphe de référence

Les 5 racines cinquièmes de l'unité $e^{2ik\pi/5}$ ($k = 0, \dots, 4$) forment un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité ; la linéarisation de $\cos^5 x$ est $\cos^5 x = \dfrac{10\cos x + 5\cos 3x + \cos 5x}{16}$ (le terme dominant est $\dfrac{10}{16}\cos x = \dfrac{5}{8}\cos x$) ; la courbe $\cos(5x)$ illustre le terme de plus haute fréquence.

Pour aller plus loin

Ce chapitre n'a pas de renvoi spécifique dans la table du §4 de l'annexe Ressources, exercices et annales (programme non explicitement couvert par les thèmes recensés) — voir la page générale pour les manuels recommandés, les banques d'exercices gratuites et les annales par matière.