2. Dérivation

Page d'appui (niveau 3)

Cette page est une page d'appui de niveau 3 : elle précède le socle M6/M4 et sert de rappel (pas un chapitre du référentiel). Le chapitre de niveau 2 correspondant est M6 — Limites, continuité, dérivabilité.

Objectif du chapitre. Comprendre la dérivée comme taux d'accroissement instantané, connaître les dérivées usuelles, et utiliser la dérivée pour étudier une fonction (monotonicité, extremum). C'est le cœur de l'analyse en PCSI.

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2.1 Définition de la dérivée

Taux d'accroissement

Soit $f$ définie au voisinage de $a$. Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a + h$ est :

$$\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

C'est le coefficient directeur de la sécante reliant les points $(a, f(a))$ et $(a + h, f(a + h))$.

Dérivée

Si le taux d'accroissement admet une limite quand $h \to 0$, on dit que $f$ est dérivable en $a$, et cette limite est la dérivée de $f$ en $a$, notée $f'(a)$ :

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

Interprétation géométrique. $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ ; la dérivée est une limite finie (un réel). L'équation de la tangente est :

$$y = f(a) + f'(a)(x - a)$$

Lien avec la limite

La dérivabilité en $a$ implique la continuité en $a$, mais pas réciproquement. Une fonction peut être continue sans être dérivable (ex. $|x|$ en $0$).

2.2 Dérivées usuelles

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$	Domaine
$x^n$ ($n$ entier $\geq 0$)	$n\, x^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ($n < 0$)	$n\, x^{n-1}$	$\mathbb{R}^*$
$1/x$	$-1/x^2$	$\mathbb{R}^*$
$\sqrt{x}$	$1/(2\sqrt{x})$	$]0, +\infty[$ (dérivable ; définie sur $[0, +\infty[$)
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$\ln(x)$	$1/x$	$]0, +\infty[$
$\sin(x)$	$\cos(x)$	$\mathbb{R}$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$	$\mathbb{R}$
$\tan(x)$	$1/\cos^2(x)$	$\cos(x) \neq 0$
$\arcsin(x)$	$1/\sqrt{1 - x^2}$	$]-1, 1[$
$\arctan(x)$	$1/(1 + x^2)$	$\mathbb{R}$

Règles de dérivation

Opération	Dérivée
$(f + g)'$	$f' + g'$
$(\lambda f)'$	$\lambda f'$
$(f \times g)'$	$f' g + f g'$
$(f/g)'$	$(f' g - f g')/g^2$ (si $g \neq 0$)
$(f \circ g)'$	$(f' \circ g) \times g'$ (règle de la dérivée composée)

La règle de la dérivée composée est la plus importante : elle permet de dériver toute fonction construite par composition. Exemple : $(e^{2x})' = 2 e^{2x}$.

2.3 Étude de fonctions

La dérivée est l'outil principal pour étudier le comportement d'une fonction.

Monotonicité

Théorème. Si $f' \geq 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est croissante sur $I$. Si $f' \leq 0$ sur $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.

Méthode d'étude standard :

1. Domaine de définition.
2. Calcul de $f'$.
3. Étude du signe de $f'$ (tableau de signes).
4. Tableau de variations de $f$.
5. Limites aux bornes.
6. Éventuellement $f''$ pour la convexité.

Extremum local

Si $f'$ change de signe en $a$ (de $+$ à $-$), alors $f$ admet un maximum local en $a$. Si $f'$ change de signe de $-$ à $+$, alors $f$ admet un minimum local en $a$.

Attention. $f'(a) = 0$ est une condition nécessaire (pas suffisante) pour un extremum local. Exemple : $f(x) = x^3$ a $f'(0) = 0$ mais pas d'extremum en $0$.

2.4 Théorème des accroissements finis (TAF)

Énoncé. Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$, alors il existe $c \in ]a, b[$ tel que :

$$f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$$

Conséquence utile. Si $f'$ est bornée entre $m$ et $M$ sur $[a, b]$, alors :

$$m(b - a) \leq f(b) - f(a) \leq M(b - a)$$

Le TAF est l'outil standard pour majorer une différence $f(b) - f(a)$ à l'aide de la dérivée. Il est la base de nombreuses démonstrations en prépa.

2.5 Dérivée seconde et convexité

La dérivée seconde $f''$ est la dérivée de $f'$.

• Si $f'' \geq 0$ sur un intervalle, $f$ est convexe (courbe « en U »).
• Si $f'' \leq 0$ sur un intervalle, $f$ est concave (courbe « en ∩ »).
• Un point d'inflexion est un point où $f''$ change de signe.

La convexité est l'outil des inégalités : si $f$ est convexe, alors la courbe est au-dessus de ses tangentes.

Capacités citées

Cette page legacy (niveau 3) renvoie vers le chapitre de niveau 2 M6 — Limites, continuité, dérivabilité pour les capacités exigibles : M6.derivabilite (dérivabilité et tangente), M6.accroissements-finis (égalité des accroissements finis), M6.tv (valeurs intermédiaires). L'étude de fonction complète est traitée dans M4 — Techniques fondamentales de calcul en analyse.

Exercices

1. Dériver $f(x) = e^{3x} \cdot \sin(2x)$, puis déterminer la tangente à sa courbe au point d'abscisse $0$.
2. Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ et tracer son tableau de signes de $f'$.
3. Montrer que $e^x \geq 1 + x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ (étudier la convexité de $g(x) = e^x - 1 - x$).
4. Déterminer les points d'inflexion de $f(x) = x^4 - 4x^2$ et étudier sa convexité.
5. À l'aide de l'égalité des accroissements finis, majorer $|\ln(1{,}1) - \ln(1)|$ (on prend $f(x) = \ln x$ sur $[1, 1{,}1]$).