M16 — Espaces préhilbertiens réels

Objectif du chapitre. Poser la géométrie euclidienne en dimension finie : le produit scalaire, la norme, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, les familles orthonormées, le procédé de Gram-Schmidt, la projection orthogonale et la distance à un sous-espace. L'objectif est de savoir orthonormaliser une famille de vecteurs et calculer une projection orthogonale (et une distance).

Définition (espace préhilbertien). Un espace préhilbertien réel est un espace vectoriel réel $E$ muni d'un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$ (forme bilinéaire symétrique définie positive). On dit « pré-hilbertien » car il n'est pas nécessairement complet (un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet pour la norme associée, cf. M16/MPSI) ; en dimension finie, tout espace préhilbertien est automatiquement complet, la distinction n'apparaît qu'en dimension infinie.

Notions

1. Produit scalaire et norme

Un produit scalaire sur un espace vectoriel réel $E$ est une forme bilinéaire symétrique définie positive : $x \cdot x \geq 0$ et $x \cdot x = 0 \iff x = 0$. On note $\langle x, y \rangle$ le produit scalaire.

Norme euclidienne. $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$. La norme est compatible avec le produit scalaire : $\|x\|^2 = \langle x, x \rangle$.

Exemple canonique. Dans $\mathbb{R}^n$, $\langle (x_i), (y_i) \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i$ ; la norme est $\|x\| = \sqrt{\sum x_i^2}$.

2. Inégalités fondamentales

Inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour tous $x, y \in E$ :

$$|\langle x, y \rangle| \leq \|x\|\, \|y\|.$$

L'égalité se vérifie si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

Inégalité triangulaire. $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$ ; et la double inégalité triangulaire : $\big|\|x\| - \|y\|\big| \leq \|x - y\|$.

Écart angulaire. Si $x, y \neq 0$, on définit $\cos \theta = \dfrac{\langle x, y \rangle}{\|x\|\, \|y\|}$ ; l'angle $\theta \in [0, \pi]$ est l'angle entre $x$ et $y$.

Polynôme et norme. Pour un polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$ muni du produit scalaire $\langle P, Q \rangle = \int_0^1 P(x) Q(x)\, dx$ (produit scalaire $L^2$), la norme est $\|P\| = \sqrt{\int_0^1 P^2}$ ; c'est le cadre des polynômes orthogonaux (Légendre, Tchebychev — culture) et de l'approximation de moindres carrés : le polynôme de degré $\leq n$ qui minimise $\int_0^1 (f - P)^2$ est la projection orthogonale de $f$ sur l'espace des polynômes de degré $\leq n$.

3. Orthogonalité et familles orthonormées

• Orthogonalité : $x \perp y$ si et seulement si $\langle x, y \rangle = 0$.
• Famille orthogonale : famille dont les vecteurs sont deux à deux orthogonaux.
• Famille orthonormée : famille orthogonale dont les vecteurs sont de norme 1.

Propriétés.

• Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
• Si $(e_1, \dots, e_n)$ est une base orthonormée de $E$, alors pour tout $x \in E$ : $x = \sum_{i=1}^{n} \langle x, e_i \rangle e_i$ et $\|x\|^2 = \sum_{i=1}^{n} \langle x, e_i \rangle^2$ (relation de Parseval).
• Les coordonnées de $x$ dans une base orthonormée sont $\langle x, e_i \rangle$ (les coordonnées orthogonales).

4. Procédé de Gram-Schmidt

Objectif. Orthonormaliser une famille libre $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$.

Algorithme. On construit $(u_1, \dots, u_n)$ par récurrence :

1. $u_1 = \dfrac{e_1}{\|e_1\|}$.
2. Pour $k \geq 2$ : $v_k = e_k - \sum_{i=1}^{k-1} \langle e_k, u_i \rangle u_i$ (projection de $e_k$ sur le complémentaire de $\operatorname{Vect}(u_1, \dots, u_{k-1})$), puis $u_k = \dfrac{v_k}{\|v_k\|}$.

Propriétés.

• $(u_1, \dots, u_n)$ est une base orthonormée de $E$.
• $\operatorname{Vect}(u_1, \dots, u_k) = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$ pour tout $k$ (on ne change pas l'espace engendré, on change seulement la base).
• Le procédé échoue si la famille $(e_1, \dots, e_n)$ est liée (un $v_k$ est nul, donc $\|v_k\| = 0$ et la normalisation est impossible).

Exemple (3 vecteurs dans $\mathbb{R}^3$). Orthonormaliser $(e_1, e_2, e_3) = \big((1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)\big)$.

• $u_1 = \dfrac{(1, 0, 1)}{\|(1, 0, 1)\|} = \dfrac{(1, 0, 1)}{\sqrt{2}}$.
• $v_2 = e_2 - \langle e_2, u_1 \rangle u_1 = (1, 1, 0) - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{(1, 0, 1)}{\sqrt{2}} = (1, 1, 0) - \dfrac{1}{2}(1, 0, 1) = \left(\dfrac{1}{2}, 1, -\dfrac{1}{2}\right)$. On normalise : $\|v_2\| = \sqrt{\dfrac{1}{4} + 1 + \dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{3}{2}}$, donc $u_2 = \dfrac{v_2}{\|v_2\|} = \dfrac{(1, 2, -1)}{\sqrt{6}}$ (après multiplication par 2).
• $v_3 = e_3 - \langle e_3, u_1 \rangle u_1 - \langle e_3, u_2 \rangle u_2$. On a $\langle e_3, u_1 \rangle = \dfrac{1 + 0 + 1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ et $\langle e_3, u_2 \rangle = \dfrac{1 + 2 - 1}{\sqrt{6}} = \dfrac{2}{\sqrt{6}}$. Donc

$$v_3 = (1, 1, 1) - \sqrt{2}\, \frac{(1, 0, 1)}{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{6}}\, \frac{(1, 2, -1)}{\sqrt{6}} = (1, 1, 1) - (1, 0, 1) - \frac{1}{3}(1, 2, -1) = \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right).$$

On normalise : $\|v_3\| = \sqrt{\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, donc $u_3 = \dfrac{(-1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$.

La base orthonormée est $\left\{\dfrac{(1, 0, 1)}{\sqrt{2}},\, \dfrac{(1, 2, -1)}{\sqrt{6}},\, \dfrac{(-1, 1, 1)}{\sqrt{3}}\right\}$.

5. Projection orthogonale sur un sous-espace

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie, et $(e_1, \dots, e_m)$ une base orthonormée de $F$. La projection orthogonale $p_F : E \to F$ est définie par

$$p_F(x) = \sum_{i=1}^{m} \langle x, e_i \rangle e_i.$$

Propriétés.

• $p_F$ est un projecteur ($p_F^2 = p_F$) ; $\operatorname{Im} p_F = F$ et $\ker p_F = F^{\perp}$ (supplémentaire orthogonal de $F$).
• $E = F \oplus F^{\perp}$ (décomposition en somme directe).
• $x - p_F(x) \perp F$ (le vecteur $x - p_F(x)$ est orthogonal à $F$).
• Meilleur approché : $p_F(x)$ est le seul vecteur de $F$ qui minimise la distance $\|x - y\|$ pour $y \in F$ ; c'est-à-dire $\|x - p_F(x)\| \leq \|x - y\|$ pour tout $y \in F$.

Exemple. Soit $F = \operatorname{Vect}((1, 1))$ dans $\mathbb{R}^2$ et $x = (3, 1)$. La base orthonormée de $F$ est $\left\{\dfrac{(1, 1)}{\sqrt{2}}\right\}$. La projection est

$$p_F(x) = \left\langle (3, 1), \frac{(1, 1)}{\sqrt{2}} \right\rangle \frac{(1, 1)}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{(1, 1)}{\sqrt{2}} = 2(1, 1) = (2, 2).$$

La distance de $x$ à $F$ est $\|x - p_F(x)\| = \|(3, 1) - (2, 2)\| = \|(1, -1)\| = \sqrt{2}$.

6. Distance à un sous-espace et supplémentaire orthogonal

Distance. La distance d'un vecteur $x$ à un sous-espace $F$ de dimension finie est

$$d(x, F) = \min_{y \in F} \|x - y\| = \|x - p_F(x)\|.$$

C'est la norme du composant orthogonal de $x$ (le vecteur $x - p_F(x)$).

Supplémentaire orthogonal. Pour tout sous-espace $F$ de dimension finie, on a $E = F \oplus F^{\perp}$ ; $F^{\perp}$ est le supplémentaire orthogonal de $F$. Si $F$ est un hyperplan (codimension 1), alors $F^{\perp}$ est une droite vectorielle (engendrée par un vecteur normal à $F$).

Exemple (hyperplan). Dans $\mathbb{R}^3$, soit $F$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ (hyperplan de vecteur normal $n = (1, 1, 1)$). Alors $F^{\perp} = \operatorname{Vect}((1, 1, 1))$ ; la projection orthogonale d'un vecteur $x$ sur $F$ est $p_F(x) = x - \dfrac{\langle x, n \rangle}{\|n\|^2}\, n = x - \dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}(1, 1, 1)$. La distance de $x$ au plan est $\|x - p_F(x)\| = \dfrac{|x_1 + x_2 + x_3|}{\sqrt{3}}$.

Démonstrations exigibles

Démonstrations exigibles — à savoir refaire : Cauchy-Schwarz et Gram-Schmidt. Cauchy-Schwarz : pour $x, y \in E$, si $y \neq 0$, la fonction $t \mapsto \|x + t\,y\|^2 \geq 0$ est un polynôme du second degré en $t$ qui ne s'annule jamais (ou a une racine double) ; son discriminant est $\Delta = 4(\langle x, y\rangle^2 - \|x\|^2\|y\|^2) \leq 0$, donc $|\langle x, y\rangle| \leq \|x\|\|y\|$. Gram-Schmidt : soit $(e_1, \dots, e_n)$ une base libre. On pose $u_1 = e_1$, $e_1' = u_1/\|u_1\|$ ; puis $u_k = e_k - \sum_{j < k}\langle e_k, e_j'\rangle e_j'$, $e_k' = u_k/\|u_k\|$. Par construction, $\langle u_k, e_j'\rangle = 0$ pour $j < k$ (les $e_j'$ sont orthonormés) ; la famille $(e_1', \dots, e_n')$ est donc orthonormée et engendre le même espace que $(e_1, \dots, e_n)$.

Capacités exigibles

• M16.gram-schmidt — Orthonormaliser une famille de vecteurs : appliquer l'algorithme de Gram-Schmidt (soustraire les projections, normaliser) ; vérifier que la famille est libre (sinon le procédé échoue).
• M16.projection — Calculer une projection orthogonale : choisir une base orthonormée du sous-espace, appliquer la formule $p_F(x) = \sum \langle x, e_i \rangle e_i$, et calculer la distance $\|x - p_F(x)\|$ si nécessaire.

Pièges classiques

• Gram-Schmidt échoue si la famille est liée : si la famille $(e_1, \dots, e_n)$ est liée, un $v_k$ est nul et la normalisation $\dfrac{v_k}{\|v_k\|}$ est impossible ; il faut d'abord vérifier la liberté.
• La projection est le meilleur approché dans le sous-espace : $p_F(x)$ minimise la distance $\|x - y\|$ pour $y \in F$ ; la projection orthogonale est unique (elle ne dépend que de $F$ et de $F^\perp$), tandis qu'une projection parallèle dépend du supplémentaire $G$ choisi ($x = p_F(x) + g$ avec $g \in G$) — il ne faut pas confondre les deux.
• Base orthonormée, pas seulement orthogonale : la formule de projection $p_F(x) = \sum \langle x, e_i \rangle e_i$ suppose que $(e_1, \dots, e_m)$ est orthonormée (norme 1) ; si la base est seulement orthogonale, il faut diviser par $\|e_i\|^2$.
• Supplémentaire orthogonal : $E = F \oplus F^{\perp}$ : la décomposition est directe et orthogonale ; $F^{\perp}$ n'est pas unique (il existe d'autres supplémentaires), mais $F^{\perp}$ est le seul supplémentaire orthogonal.
• Distance à un sous-espace : c'est la norme du composant orthogonal : $d(x, F) = \|x - p_F(x)\|$ ; il ne faut pas confondre avec la distance à un point (qui est $\|x - a\|$).
• Cauchy-Schwarz : l'égalité caractérise la colinéarité : $\langle x, y \rangle = \|x\|\|y\|$ si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires de même sens ; $\langle x, y \rangle = -\|x\|\|y\|$ si et seulement si colinéaires de sens opposé.

Graphe de référence

La projection orthogonale du point $x = (3, 1)$ sur la droite $y = x$ (sous-espace $F = \operatorname{Vect}((1, 1))$) est le point $p_F(x) = (2, 2)$ ; la distance est $\sqrt{2}$. Le graphe montre la droite $y = x$, le point $x$, sa projection, et le vecteur orthogonal $x - p_F(x) = (1, -1)$.

Pour aller plus loin

Ce chapitre n'a pas de renvoi spécifique dans la table du §4 de l'annexe Ressources, exercices et annales (programme non explicitement couvert par les thèmes recensés) — voir la page générale pour les manuels recommandés, les banques d'exercices gratuites et les annales par matière.