M21 — Outils mathématiques pour la physique et la SI

Objectif du chapitre. Cette annexe transversale rassemble les outils de calcul vectoriel et intégral qui sont utilisés dans les chapitres de physique (P2.3–P2.5, ch21–25) et de SI (S2, S4, S5, S8) mais qui ne sont enseignés dans aucun chapitre du référentiel. Le lecteur doit savoir définir et calculer un produit vectoriel, dériver un vecteur en coordonnées polaires, calculer une intégrale curviligne et une intégrale de surface, et décomposer une fraction rationnelle en éléments simples.

Statut de l'annexe

Cette page est une annexe d'outils (niveau 2) : elle ne porte pas de capacité du référentiel v1, mais elle est cité en renvoi depuis les chapitres qui utilisent ces outils. Chaque outil est rappelé au point d'usage dans le chapitre concerné ; ici, on les rassemble et on les prouve ou démontre une fois pour toutes.

Notions

1. Produit vectoriel

Soient $\vec{u} = (u_x, u_y, u_z)$ et $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$ deux vecteurs de $\mathbb{R}^3$. Leur produit vectoriel est le vecteur

$$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix} = \left( u_y v_z - u_z v_y,\; u_z v_x - u_x v_z,\; u_x v_y - u_y v_x \right).$$

Propriétés fondamentales.

• Anti-commutativité : $\vec{u} \times \vec{v} = -\, \vec{v} \times \vec{u}$ (le produit vectoriel n'est pas commutatif — c'est la différence essentielle avec le produit scalaire).
• Bilinearité : $(\lambda \vec{u} + \mu \vec{v}) \times \vec{w} = \lambda\, \vec{u} \times \vec{w} + \mu\, \vec{v} \times \vec{w}$.
• Colinéarité : $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$ si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
• Norme : $\|\vec{u} \times \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \, |\sin \theta|$ où $\theta$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ — c'est l'aire du parallélogramme engendré par $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
• Orientation : $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \times \vec{v})$ est une base directe (règle de la main droite : doigts de $\vec{u}$ vers $\vec{v}$, le pouce pointe dans le sens de $\vec{u} \times \vec{v}$).

Produit mixte. Le produit mixte de trois vecteurs est $\left( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right) = \vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right) = \det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ ; c'est le volume signé du parallélépipède qu'ils engendrent, et il s'annule si et seulement si les trois vecteurs sont coplanaires.

Exemple chiffré. $\vec{u} = (1, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 1, 0)$ : $\vec{u} \times \vec{v} = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 1,\; 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0,\; 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (0, 0, 1) = \vec{e}_z$. Vérification par la norme : $\|\vec{u} \times \vec{v}\| = 1 \cdot 1 \cdot \sin 90° = 1 = \|(0,0,1)\|$.

Où on l'utilise. Force de Lorentz $\vec{F} = q\, \vec{v} \times \vec{B}$ (P2.4), force de Laplace $\vec{F} = I\, \vec{\ell} \times \vec{B}$ (ch22), moment cinétique $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ (P2.5), moment d'une force $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ (P2.5, S4), fermeture des mécanismes (S2, S8).

2. Gradient

Le gradient d'une fonction $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ de classe $C^1$ est le vecteur

$$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x},\; \frac{\partial f}{\partial y},\; \frac{\partial f}{\partial z} \right).$$

Il est défini en M20 (cas $\mathbb{R}^2$) ; on l'étend ici à $\mathbb{R}^3$ car c'est la forme utilisée en physique.

Propriétés.

• $\nabla f$ est orthogonal aux surfaces de niveau $f = c$ et pointe dans la direction de croissance la plus rapide de $f$.
• Champs gradients : un champ $\vec{A}$ est un champ gradient (ou conservatif) s'il existe $f$ tel que $\vec{A} = \nabla f$ ; $f$ est alors une primitive (potentiel) de $\vec{A}$. Le champ électrostatique $\vec{E} = -\nabla V$ (ch21, ch23) et le champ de gravitation $\vec{g} = -\nabla U/m$ (ch14) sont des champs gradients.
• Théorème fondamental de l'intégrale curviligne : si $\vec{A} = \nabla f$, alors $\int_{A}^{B} \vec{A} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = f(B) - f(A)$ — l'intégrale ne dépend que des extrémités, pas du chemin (cf. §4).

3. Dérivées de vecteurs : base polaire

Pour un point de coordonnées polaires $(r, \theta)$ dans le plan, la base polaire $(\vec{e}_r, \vec{e}_\theta)$ dépend de $\theta$ :

$$\vec{e}_r = (\cos\theta, \sin\theta), \qquad \vec{e}_\theta = (-\sin\theta, \cos\theta).$$

Comme $\vec{e}_r$ et $\vec{e}_\theta$ varient avec $\theta$, leurs dérivées ne sont pas nulles :

$$\frac{\mathrm{d}\vec{e}_r}{\mathrm{d}\theta} = \vec{e}_\theta, \qquad \frac{\mathrm{d}\vec{e}_\theta}{\mathrm{d}\theta} = -\vec{e}_r.$$

Dérivation d'un vecteur en coordonnées polaires. Soit $\vec{r} = r\, \vec{e}_r$. Par la règle du produit (le vecteur $\vec{e}_r$ dépend du temps) :

$$\vec{v} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \dot{r}\, \vec{e}_r + r\, \dot{\theta}\, \vec{e}_\theta.$$

En dérivant une seconde fois :

$$\vec{a} = \left( \ddot{r} - r\, \dot{\theta}^2 \right) \vec{e}_r + \left( 2\, \dot{r}\, \dot{\theta} + r\, \ddot{\theta} \right) \vec{e}_\theta.$$

Le terme $-r\, \dot{\theta}^2$ est la force centrifuge (composante radiale), le terme $2\, \dot{r}\, \dot{\theta}$ est la force de Coriolis (composante orthoradiale) — voir le chapitre P2.1 (cinématique polaire) et le chapitre 14 (mouvement central).

4. Intégrale curviligne et intégrale de surface

Intégrale curviligne (circulation). Soit $\vec{A}$ un champ vectoriel et $\gamma$ une courbe orientée de $A$ à $B$, paramétrée par $\vec{\ell}(t)$, $t \in [t_0, t_1]$. L'intégrale curviligne de $\vec{A}$ le long de $\gamma$ est

$$\int_{\gamma} \vec{A} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \int_{t_0}^{t_1} \vec{A}(\vec{\ell}(t)) \cdot \vec{\ell}'(t)\, \mathrm{d}t.$$

Si $\gamma$ est fermée, on note $\oint_{\gamma} \vec{A} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell}$ ; c'est la circulation de $\vec{A}$ sur $\gamma$.

• Champ gradient : la circulation sur tout contour fermé est nulle ($\oint \nabla f \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = 0$) — c'est le théorème fondamental (§2).
• Champ non conservatif : la circulation peut être non nulle ; c'est le cas du champ magnétique $\vec{B}$ autour d'un fil parcouru par un courant (théorème d'Ampère, ch21) et du champ $\vec{E}$ induit (loi de Faraday, ch23).

Intégrale de surface (flux). Soit $S$ une surface orientée de normale locale $\vec{n}$. Le flux de $\vec{A}$ à travers $S$ est

$$\Phi = \iint_{S} \vec{A} \cdot \vec{n}\, \mathrm{d}S.$$

• Si $\vec{A}$ est uniforme et la surface plane de normale $\vec{n}$ : $\Phi = \vec{A} \cdot \vec{n}\, S$ (produit scalaire du champ par l'aire vectorielle).
• Flux du champ magnétique : $\Phi_B = \iint_S \vec{B} \cdot \vec{n}\, \mathrm{d}S$ ; la loi de Faraday dit $\mathcal{E} = -\dfrac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}$ (ch23).
• Théorème de Gauss (culture) : $\iint_{\partial V} \vec{A} \cdot \vec{n}\, \mathrm{d}S = \iiint_V (\nabla \cdot \vec{A})\, \mathrm{d}V$ — le flux à travers la frontière d'un volume vaut l'intégrale de la divergence dans le volume. C'est l'outil du champ électrique $\vec{E}$ autour d'une charge (ch21).

5. Décomposition en éléments simples

Contexte. En M2 (calculs algébriques), en M15 (séries numériques) et en S5 (transformée de Laplace), on a besoin d'intégrer ou de décomposer des fractions rationnelles $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$. Si $\deg P < \deg Q$ et si $Q$ est factorisé, on décompose en éléments simples : une somme de fractions dont le dénominateur est une puissance d'un facteur irréductible de $Q$.

Méthode générale. Soit $Q(x) = (x - a)^m \, R(x)$ avec $R(a) \neq 0$. La partie associée au facteur $(x-a)^m$ est

$$\frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{(x - a)^2} + \cdots + \frac{A_m}{(x - a)^m}.$$

Cas $m = 1$ (racine simple). $A_1 = \dfrac{P(a)}{R'(a)}$ si $Q = (x-a) R$ ; plus généralement, si $Q = (x-a) S(x)$ avec $S(a) \neq 0$, alors $A_1 = \dfrac{P(a)}{S(a)}$.

Cas $m = 2$ (racine double). On cherche $A_1/(x-a) + A_2/(x-a)^2$. On multiplie par $(x-a)^2$ : $P(x)/S(x) = A_1 (x-a) + A_2$. En $x = a$ : $A_2 = P(a)/S(a)$. En dérivant ou en prenant une seconde valeur de $x$ : $A_1$.

Exemple complet. Décomposer $\dfrac{1}{x(x-1)}$ : on cherche $\dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x-1}$. En multipliant par $x(x-1)$ : $1 = A(x-1) + Bx$. En $x = 0$ : $A = -1$. En $x = 1$ : $B = 1$. Donc

$$\frac{1}{x(x-1)} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x-1}.$$

Exemple avec racine double. Décomposer $\dfrac{1}{x^2 (x-1)}$ : on cherche $\dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x^2} + \dfrac{C}{x-1}$. En multipliant par $x^2(x-1)$ : $1 = A x (x-1) + B(x-1) + C x^2$. En $x = 0$ : $B = -1$. En $x = 1$ : $C = 1$. En $x = 2$ : $1 = 2A + (-1) + 4$ donc $A = -1$. Vérification : $\dfrac{1}{x^2(x-1)} = -\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x-1}$.

Où on l'utilise. Intégrales de fractions rationnelles (M14), convergence de séries de la forme $\sum \dfrac{1}{n(n+1)}$ (M15), transformée de Laplace inverse de $\dfrac{1}{p(p+a)} = \dfrac{1}{a}\left(\dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{p+a}\right)$ (S5 — capacité phare du chapitre).

Démonstrations exigibles

Démonstrations exigibles — à savoir refaire : norme du produit vectoriel et dérivées de la base polaire. Norme : $\|\vec{u} \times \vec{v}\|^2 = (u_y v_z - u_z v_y)^2 + (u_z v_x - u_x v_z)^2 + (u_x v_y - u_y v_x)^2$ ; après développement, c'est $\|\vec{u}\|^2 \|\vec{v}\|^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2 = \|\vec{u}\|^2 \|\vec{v}\|^2 (1 - \cos^2 \theta) = \|\vec{u}\|^2 \|\vec{v}\|^2 \sin^2 \theta$. Base polaire : $\dfrac{\mathrm{d}\vec{e}_r}{\mathrm{d}\theta} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}(\cos\theta, \sin\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta) = \vec{e}_\theta$ ; de même $\dfrac{\mathrm{d}\vec{e}_\theta}{\mathrm{d}\theta} = (-\cos\theta, -\sin\theta) = -\vec{e}_r$.

Capacités exigibles

Cette annexe ne porte pas de capacité du référentiel v1 ; elle sert les capacités suivantes :

• P2.4.lorentz — Force de Lorentz $\vec{F} = q\, \vec{v} \times \vec{B}$ : calculer $\vec{v} \times \vec{B}$ (§1).
• P2.5.moment-cinetique — Moment cinétique $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ et moment d'une force $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ (§1).
• P2.3.energie-cinetique — Champ gradient et potentiel d'énergie (§2).
• S2.loi-entree-sortie — Fermeture des mécanismes par produit vectoriel (§1).
• S4.pfs — Moment d'une force et PFS (§1).
• S8.cir — Composition des rotations, produit vectoriel (§1).
• S5.laplace — Transformée de Laplace inverse par décomposition en éléments simples (§5).
• M2.somme-classique — Calculs algébriques sur fractions rationnelles (§5).
• M15.nature-serie — Séries de fractions rationnelles (§5).
• M20.gradient — Gradient et dérivées directionnelles (§2).

Pièges classiques

• Produit vectoriel non commutatif : $\vec{u} \times \vec{v} = -\, \vec{v} \times \vec{u}$ ; l'ordre compte. Ne jamais écrire $\vec{v} \times \vec{B} = \vec{B} \times \vec{v}$.
• Produit vectoriel nul ≠ vecteurs nuls : $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$ si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires (pas seulement s'ils sont nuls).
• Dérivée de la base polaire : $\dfrac{\mathrm{d}\vec{e}_r}{\mathrm{d}t} = \dot{\theta}\, \vec{e}_\theta \neq \vec{0}$ ; oublier ce terme fait perdre la force centrifuge $-r \dot{\theta}^2$ et la force de Coriolis $2 \dot{r} \dot{\theta}$.
• Circulation nulle ≠ champ nul : un champ peut avoir une circulation nulle sur tout contour fermé (champ gradient) sans être nul ; c'est le cas du champ électrostatique.
• Flux : la normale compte : $\Phi = \iint \vec{A} \cdot \vec{n}\, \mathrm{d}S$ ; si $\vec{A}$ est perpendiculaire à $\vec{n}$, le flux est nul même si $\vec{A} \neq \vec{0}$.
• Éléments simples : vérifier le degré : la décomposition suppose $\deg P < \deg Q$ ; sinon, on fait d'abord la division euclidienne $P = Q \times D + R$ et on décompose $R/Q$.
• Racine double : deux constantes : pour un facteur $(x-a)^2$, il faut deux constantes $A_1, A_2$ (pas une seule) ; oublier $A_2/(x-a)^2$ donne une décomposition incorrecte.

Pour aller plus loin

Cette annexe est citée en renvoi depuis les chapitres P2.3, P2.4, P2.5, ch21, ch22, ch23, S2, S4, S5 et S8. Pour les manuels et annales, voir la page Ressources, exercices et annales.