P4.2 — Actions d'un champ magnétique

Objectif du chapitre. Étudier les actions d'un champ magnétique sur les courants : la force de Laplace $\vec{F} = I\,\mathrm{d}\vec{\ell} \times \vec{B}$ sur un conducteur, la résultante et la puissance sur un conducteur rectiligne, le couple sur un moment magnétique $\vec{\Gamma} = \vec{m} \times \vec{B}$ (bobine, galvanomètre, moteur), et la position d'équilibre. L'objectif est de savoir calculer la force de Laplace sur un conducteur : c'est l'exercice type du chapitre.

Le produit vectoriel $\vec{u} \times \vec{v}$ est défini dans l'annexe Outils mathématiques.

Notions

1. Force de Laplace

La force de Laplace sur un conducteur parcouru par un courant $I$ dans un champ magnétique $\vec{B}$ est

$$\mathrm{d}\vec{F} = I\,\mathrm{d}\vec{\ell} \times \vec{B},$$

où $\mathrm{d}\vec{\ell}$ est un élément de longueur du conducteur (orienté dans le sens du courant). Pour un conducteur rectiligne de longueur $L$ dans un champ uniforme :

$$\vec{F} = I\, \vec{L} \times \vec{B}, \qquad F = I L B \sin\theta,$$

où $\theta$ est l'angle entre $\vec{L}$ (sens du courant) et $\vec{B}$.

Sens. La direction de $\vec{F}$ est donnée par la règle de la main droite (doigts de $\vec{L}$ vers $\vec{B}$, pouce dans le sens de $\vec{F}$) ; elle est perpendiculaire au plan $(\vec{L}, \vec{B})$.

Lien avec la force de Lorentz. La force de Laplace est la somme des forces de Lorentz sur les porteurs de charge du conducteur : chaque porteur (charge $q$ en mouvement de dérive $\vec{v}_d$) subit $q\,\vec{v}_d \times \vec{B}$ ; en sommant sur la section, on retrouve $I\,\mathrm{d}\vec{\ell} \times \vec{B}$ (chapitre P2.4). La force de Laplace est donc la version macroscopique (courant) de la force de Lorentz (charge en mouvement).

Propriétés.

• $\vec{F}$ est perpendiculaire à $\vec{B}$ et à $\vec{L}$ (force magnétique, pas de composante le long du champ).
• $F = 0$ si $\vec{L} \parallel \vec{B}$ ($\theta = 0$) : un fil parallèle au champ n'est pas dévié.
• $F = ILB$ si $\vec{L} \perp \vec{B}$ ($\theta = 90^\circ$) : force maximale.

Exemple. Fil rectiligne de $L = 10\,\text{cm}$, $I = 2\,\text{A}$, dans $B = 0{,}5\,\text{T}$ : pour $\theta = 90^\circ$, $F = 2 \times 0{,}1 \times 0{,}5 = 0{,}1\,\text{N}$ ; pour $\theta = 30^\circ$, $F = 0{,}05\,\text{N}$ ; pour $\theta = 0^\circ$, $F = 0$.

2. Résultante et puissance sur un conducteur

Résultante. Pour un conducteur fermé (boucle) dans un champ uniforme, la résultante des forces de Laplace est nulle ($\oint I\,\mathrm{d}\vec{\ell} \times \vec{B} = I(\oint \mathrm{d}\vec{\ell}) \times \vec{B} = 0$, car $\oint \mathrm{d}\vec{\ell} = 0$) : la boucle ne se déplace pas (pas de translation), mais elle peut tourner (couple, section 3).

Puissance. La puissance mécanique de la force de Laplace sur un conducteur en mouvement de vitesse $\vec{v}$ est $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$. Pour un fil qui glisse le long de rails (vitesse $\vec{v}$ perpendiculaire à $\vec{B}$ et au fil) : $P = F v = I L B v$ (puissance mécanique convertie en électrique — c'est le principe du générateur ; ou l'inverse pour un moteur).

Exemple. Fil de $L = 10\,\text{cm}$, $I = 2\,\text{A}$, $B = 0{,}5\,\text{T}$, glissant à $v = 0{,}5\,\text{m/s}$ (perpendiculaire) : $P = I L B v = 2 \times 0{,}1 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}05\,\text{W}$ (puissance mécanique ; si le fil est moteur (on impose le courant), c'est la puissance fournie ; si le fil est entraîné (générateur), c'est la puissance reçue).

3. Couple sur un moment magnétique

Une bobine de $N$ spires de surface $S$ parcourue par un courant $I$, de moment magnétique $\vec{m} = N I S\, \vec{n}$ (chapitre P4.1), placée dans un champ $\vec{B}$, subit un couple

$$\vec{\Gamma} = \vec{m} \times \vec{B}, \qquad \Gamma = m B \sin\theta = N I S B \sin\theta,$$

où $\theta$ est l'angle entre $\vec{m}$ (normale à la bobine) et $\vec{B}$.

Effet du couple. Le couple aligne $\vec{m}$ sur $\vec{B}$ (tendance à l'équilibre : $\vec{m} \parallel \vec{B}$, $\theta = 0$). C'est le principe du galvanomètre (l'aiguille s'oriente selon le champ) et du moteur (le couple fait tourner la bobine).

Exemple. Bobine de $N = 100$ spires, $S = 100\,\text{cm}^2 = 10^{-2}\,\text{m}^2$, $I = 2\,\text{A}$, dans $B = 0{,}5\,\text{T}$ : $m = NIS = 100 \times 2 \times 10^{-2} = 2\,\mathrm{A·m}^2$ ; pour $\theta = 90^\circ$, $\Gamma = mB = 2 \times 0{,}5 = 1{,}0\,\mathrm{N·m}$ (couple maximal) ; pour $\theta = 0^\circ$, $\Gamma = 0$ (équilibre).

Énergie potentielle. L'énergie potentielle d'un dipôle magnétique dans un champ est $E_p = -\vec{m} \cdot \vec{B} = -mB\cos\theta$ ; l'équilibre stable est $\theta = 0$ ($E_p$ minimal, $\vec{m} \parallel \vec{B}$), l'équilibre instable est $\theta = \pi$ ($E_p$ maximal, $\vec{m} \parallel -\vec{B}$).

4. Position d'équilibre

Bobine dans un champ. La position d'équilibre stable est $\vec{m} \parallel \vec{B}$ (normale à la bobine parallèle au champ) : le couple est nul et l'énergie potentielle est minimale. La position d'équilibre instable est $\vec{m} \parallel -\vec{B}$ (normale opposée au champ).

Aiguille de boussole. L'aiguille aimantée (dipôle magnétique) s'oriente selon le champ terrestre : l'extrémité Nord de l'aiguille pointe vers le pôle Sud magnétique de la Terre (les pôles opposés s'attirent) ; c'est la position d'équilibre stable ($\vec{m}$ aligné sur $\vec{B}_{\text{terre}}$).

Moteur à courant continu. Le couple $\Gamma = mB\sin\theta$ varie avec l'angle $\theta$ (nul à $\theta = 0$ et $\pi$) ; pour un moteur continu, il faut inverser le courant à chaque demi-tour (commutateur) pour maintenir le couple dans le même sens (sinon la bobine oscille autour de l'équilibre).

Exemple (galvanomètre). Un galvanomètre (bobine dans un champ radial uniforme) a un couple constant $\Gamma = mB$ (car $\theta = 90^\circ$ toujours, grâce au champ radial) ; le ressort de rappel équilibre le couple : $k\theta = mB$ (angle proportionnel au courant) ; c'est le principe de la mesure du courant (l'aiguille dévie d'un angle proportionnel à $I$).

5. Applications : moteur et générateur

Moteur à courant continu. Un moteur convertit l'énergie électrique en énergie mécanique : le couple de Laplace $\Gamma = mB\sin\theta$ fait tourner la bobine ; le commutateur (collecteur) inverse le courant à chaque demi-tour pour maintenir le couple dans le même sens (sinon la bobine oscille). La force contre-électromotrice (induction, chapitre P4.3) $e = K\omega$ s'oppose au courant : en régime permanent, $U = RI + K\omega$ (la tension d'alimentation compense la chute ohmique et la contre-électromotrice). La puissance mécanique est $P_m = K\omega I$ (proportionnelle au couple et à la vitesse).

Générateur. Un générateur convertit l'énergie mécanique en énergie électrique : on fait tourner la bobine (moulin, turbine) ; l'induction crée une fem $e = K\omega$ qui pousse le courant ; la force de Laplace s'oppose au mouvement (frein) : il faut fournir du travail mécanique pour maintenir la rotation. C'est le principe de Lenz (le courant induit s'oppose à la cause qui le produit).

Exemple (moteur). Moteur de $K = 0{,}1\,\mathrm{V·s/rad}$, $R = 5\,\Omega$, alimenté par $U = 12\,\text{V}$, en régime permanent à $\omega = 100\,\text{rad/s}$ : la contre-électromotrice est $e = K\omega = 10\,\text{V}$ ; le courant est $I = (U - e)/R = (12 - 10)/5 = 0{,}4\,\text{A}$ ; la puissance mécanique est $P_m = K\omega I = 0{,}1 \times 100 \times 0{,}4 = 4{,}0\,\text{W}$ ; la puissance électrique est $P_e = UI = 12 \times 0{,}4 = 4{,}8\,\text{W}$ ; les pertes ohmiques sont $RI^2 = 5 \times 0{,}16 = 0{,}8\,\text{W}$ (vérification : $4{,}0 + 0{,}8 = 4{,}8$).

Capacités exigibles

• P4.2.laplace — Calculer la force de Laplace sur un conducteur : écrire $\vec{F} = I\,\vec{L} \times \vec{B}$ (conducteur rectiligne, champ uniforme), calculer le module $F = ILB\sin\theta$ et la direction (règle de la main droite, perpendiculaire au plan $(\vec{L}, \vec{B})$), et en déduire la résultante (nulle pour une boucle en champ uniforme) et la puissance $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$.

Pièges classiques

• Force de Laplace perpendiculaire au champ : $\vec{F} \perp \vec{B}$ (toujours) ; il ne faut pas confondre avec la force électrique $q\vec{E}$ (parallèle à $\vec{E}$) ; la force magnétique est perpendiculaire au champ (elle courbe la trajectoire, pas le long du champ).
• $F = 0$ si $\vec{L} \parallel \vec{B}$ : un fil parallèle au champ n'est pas dévié ($\sin\theta = 0$) ; la force est maximale si $\vec{L} \perp \vec{B}$ ($\sin\theta = 1$) ; il ne faut pas oublier le sinus de l'angle.
• Résultante nulle pour une boucle en champ uniforme : la résultante des forces de Laplace sur une boucle fermée en champ uniforme est nulle (pas de translation) ; mais le couple peut être non nul (la boucle tourne) ; il ne faut pas confondre la résultante (translation) et le couple (rotation).
• Couple $\Gamma = mB\sin\theta$ : le couple est maximal si $\vec{m} \perp \vec{B}$ ($\theta = 90^\circ$) et nul si $\vec{m} \parallel \vec{B}$ ($\theta = 0$) ; il ne faut pas confondre avec l'énergie potentielle $E_p = -mB\cos\theta$ (minimale à $\theta = 0$, maximale à $\theta = \pi$).
• Position d'équilibre : l'équilibre stable est $\vec{m} \parallel \vec{B}$ ($E_p$ minimal) ; l'équilibre instable est $\vec{m} \parallel -\vec{B}$ ($E_p$ maximal) ; il ne faut pas confondre les deux (le couple ramène vers l'équilibre stable, pas vers l'instable).
• Puissance $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$ : la puissance est nulle si $\vec{v} \perp \vec{F}$ (mouvement perpendiculaire à la force) ; elle est maximale si $\vec{v} \parallel \vec{F}$ ; pour un fil qui glisse le long de rails, $\vec{v}$ est parallèle à $\vec{F}$ (puissance maximale $P = Fv$).

Graphe de référence

Couple $\Gamma = mB\sin\theta$ d'une bobine ($m = 2\,\mathrm{A·m}^2$, $B = 0{,}5\,\text{T}$) en fonction de l'angle $\theta$ entre $\vec{m}$ et $\vec{B}$. La courbe est un sinus : $\Gamma = 0$ à $\theta = 0$ (équilibre) et $\theta = \pi$ ; $\Gamma = mB = 1{,}0\,\mathrm{N·m}$ à $\theta = \pi/2$ (couple maximal). L'énergie potentielle $E_p = -mB\cos\theta$ est minimale à $\theta = 0$ (équilibre stable) et maximale à $\theta = \pi$ (équilibre instable).

Pour aller plus loin

Ce chapitre n'a pas de renvoi spécifique dans la table du §4 de l'annexe Ressources, exercices et annales (programme non explicitement couvert par les thèmes recensés) — voir la page générale pour les manuels recommandés, les banques d'exercices gratuites et les annales par matière.