P1.2 — Propagation d'un signal

Objectif du chapitre. Étudier la propagation des ondes : l'onde progressive, le signal sinusoïdal $s(x, t) = A\cos(\omega t - kx + \varphi)$ (célérité, période, longueur d'onde, double périodicité, déphasage), les interférences entre deux ondes de même fréquence (conditions constructives/destructives), les ondes stationnaires (nœuds et ventres) et la diffraction. L'objectif est de savoir exprimer un signal sous la forme $s(x, t) = A\cos(\omega t - kx + \varphi)$ et interpréter chaque terme.

Notions

1. Onde progressive et célérité

Une onde est la propagation d'une perturbation dans l'espace et dans le temps, sans transport de matière (seule l'énergie se propage). Une onde progressive est une onde qui se propage dans un sens donné (elle se déplace) ; c'est le cas opposé à l'onde stationnaire (les nœuds sont fixes). L'amortissement est une notion indépendante : une onde progressive peut être amortie.

Célérité. La célérité $c$ d'une onde est la vitesse de propagation de la perturbation (en m/s). Le retard entre l'émission (à $O$) et la réception (à $M$, à la distance $d = OM$) est

$$\tau = \frac{d}{c}.$$

Signal reçu. Si le signal émis en $O$ est $s_O(t)$, le signal reçu en $M$ est $s_M(t) = s_O(t - \tau) = s_O\!\left(t - \dfrac{d}{c}\right)$ (le signal est retardé de $\tau$).

Exemples de célérités. Lumière dans le vide : $c_0 \approx 3 \times 10^8\,\text{m/s}$ ; son dans l'air (à $20^\circ\text{C}$) : $\approx 343\,\text{m/s}$ ; ondes sur une corde : $c = \sqrt{T/\mu}$ (tension $T$, masse linéique $\mu$).

2. Signal sinusoïdal

Un signal sinusoïdal (ou harmonique) émis en $O$ est $s_O(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0)$, où $A$ est l'amplitude, $\omega$ la pulsation et $\varphi_0$ la phase initiale (les relations trigonométriques utilisées — addition de phases, $\cos$ — sont celles du chapitre M3). Le signal reçu en $M$ (distance $d$) est

$$s(x, t) = A\cos(\omega t - kx + \varphi_0),$$

où $x$ est la distance à la source et $k$ le nombre d'onde (ou vecteur d'onde scalaire), défini par $k = \dfrac{\omega}{c} = \dfrac{2\pi}{\lambda}$.

Interprétation des termes.

• $A$ : amplitude (valeur maximale du signal).
• $\omega$ : pulsation (rad/s) ; période temporelle $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$, fréquence $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi}$.
• $k$ : nombre d'onde (rad/m) ; longueur d'onde $\lambda = \dfrac{2\pi}{k} = \dfrac{c}{f}$ (distance parcourue par l'onde en une période).
• $\varphi_0$ : phase initiale (déphasage à $t = 0$, $x = 0$).
• $\omega t - kx + \varphi_0$ : phase du signal au point $x$ et au temps $t$.

Double périodicité. Le signal est périodique dans le temps (période $T = 2\pi/\omega$) et dans l'espace (période $\lambda = 2\pi/k$) : $s(x + \lambda, t) = s(x, t)$ et $s(x, t + T) = s(x, t)$.

Déphasage. Le déphasage entre deux signaux de même pulsation est la différence de phase : $\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1$. Deux signaux sont en phase si $\Delta\varphi = 0$ (mod $2\pi$), en opposition de phase si $\Delta\varphi = \pi$ (mod $2\pi$).

Relation fondamentale. $c = \lambda f = \dfrac{\lambda \omega}{2\pi}$ ; la célérité est le produit de la longueur d'onde par la fréquence.

3. Interférences entre deux ondes de même fréquence

Soient deux ondes de même pulsation $\omega$ et de même amplitude $A$ arrivant en un point $M$ avec un déphasage $\Delta\varphi$ (différence de marche $\delta$ : $\Delta\varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda}\, \delta$). La somme est

$$s_M(t) = A\cos(\omega t) + A\cos(\omega t + \Delta\varphi) = 2A\cos\!\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right) \cos\!\left(\omega t + \frac{\Delta\varphi}{2}\right).$$

L'amplitude résultante est $A_{\text{rés}} = 2A\left|\cos\!\left(\dfrac{\Delta\varphi}{2}\right)\right|$.

Conditions d'interférences.

• Interférences constructives (renforcement) : $\Delta\varphi = 2k\pi$ (mod $2\pi$), c'est-à-dire $\delta = k\lambda$ (différence de marche multiple de $\lambda$) ; amplitude maximale $2A$.
• Interférences destructives (extinction) : $\Delta\varphi = (2k + 1)\pi$ (mod $2\pi$), c'est-à-dire $\delta = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$ (différence de marche demi-multiple de $\lambda$) ; amplitude nulle.

Exemple (fentes de Young). Deux fentes éclairées par une même onde (sources cohérentes) : sur un écran, la différence de marche $\delta$ entre les deux chemins détermine la position des franges. Les franges brillantes (constructives) sont à $\delta = k\lambda$ ; les franges sombres (destructives) à $\delta = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$. L'espacement des franges est $\Delta x = \dfrac{\lambda D}{a}$ ($D$ distance fentes-écran, $a$ écartement des fentes).

4. Ondes stationnaires

Une onde stationnaire est la superposition de deux ondes progressives de même amplitude et de même pulsation se propageant en sens opposés (réflexion). La somme est

$$s(x, t) = A\cos(\omega t - kx) + A\cos(\omega t + kx) = 2A\cos(kx)\cos(\omega t).$$

L'onde stationnaire a une amplitude spatiale $2A|\cos(kx)|$ qui dépend de $x$ (pas du temps) : elle ne se propage pas.

Nœuds et ventres.

• Nœuds : points d'amplitude nulle ($\cos(kx) = 0$, soit $kx = (p + \tfrac{1}{2})\pi$ avec $p \in \mathbb{Z}$) ; les nœuds sont espacés de $\lambda/2$.
• Ventres : points d'amplitude maximale ($|\cos(kx)| = 1$, soit $kx = p\pi$ avec $p \in \mathbb{Z}$) ; les ventres sont espacés de $\lambda/2$.

Modes propres (corde de Melde). Une corde de longueur $L$ fixée aux deux extrémités (nœuds aux bords) admet des modes propres de longueur d'onde $\lambda_n = \dfrac{2L}{n}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) ; la fréquence du mode $n$ est $f_n = \dfrac{n\, c}{2L}$. Le mode fondamental ($n = 1$) a $\lambda_1 = 2L$ ; les harmoniques sont $n$ fois la fréquence fondamentale.

5. Diffraction

La diffraction est la déviation d'une onde en contournant un obstacle ou en traversant une ouverture. L'angle de diffraction $\theta$ (demi-angle du cône de diffraction) est de l'ordre de

$$\theta \sim \frac{\lambda}{a},$$

où $a$ est la taille de l'ouverture (ou de l'obstacle). La diffraction est marquée (visible) si $\lambda \gtrsim a$ (la longueur d'onde est comparable ou supérieure à la taille de l'ouverture) ; elle est négligeable si $\lambda \ll a$.

Exemple. La diffraction du son (longueur d'onde de l'ordre du mètre) est marquée par les obstacles domestiques (portes, murs) ; la diffraction de la lumière visible ($\lambda \sim 500\,\text{nm}$) est négligeable devant les objets macroscopiques (d'où l'optique géométrique).

Capacités exigibles

• P1.2.interferences — Déterminer les conditions d'interférences : calculer la différence de marche $\delta$ (ou le déphasage $\Delta\varphi$) entre deux ondes de même fréquence, et déterminer si les interférences sont constructives ($\delta = k\lambda$) ou destructives ($\delta = (k + \tfrac{1}{2})\lambda$).

Ce qui tombe en colle et en DS

Exprimer un signal sous la forme $s(x, t) = A\cos(\omega t - kx + \varphi)$ et interpréter chaque terme : c'est l'exercice type de la propagation des ondes. Il faut savoir :

• Identifier l'amplitude $A$, la pulsation $\omega$, le nombre d'onde $k$ et la phase $\varphi$.
• Calculer la célérité $c = \omega/k$, la période $T = 2\pi/\omega$ et la longueur d'onde $\lambda = 2\pi/k = c/f$.
• Déterminer le retard $\tau = d/c$ et le déphasage $\Delta\varphi = k\, \delta$.
• Appliquer les conditions d'interférences (constructives/destructives).

Pièges classiques

• Le signe de $kx$ dans $s(x, t) = A\cos(\omega t - kx + \varphi)$ : le signe « $- kx$ » correspond à une onde qui se propage vers $x > 0$ ; une onde qui se propage vers $x < 0$ a le signe « $+ kx$ ». Il ne faut pas confondre les deux.
• Le retard est $t - \tau$, pas $t + \tau$ : le signal reçu est retardé (on évalue le signal émis à l'instant $t - \tau$, plus tôt) ; écrire $s_O(t + \tau)$ serait un signal avancé (inphysique).
• Interférences : les deux ondes doivent être de même fréquence : les interférences stables (constructives/destructives) supposent deux ondes de même pulsation ; si les pulsations diffèrent, on a des battements (amplitude modulée), pas des interférences fixes.
• Différence de marche vs déphasage : $\Delta\varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda}\, \delta$ ; il ne faut pas confondre la différence de marche $\delta$ (en mètres) avec le déphasage $\Delta\varphi$ (en radians).
• Onde stationnaire : les nœuds sont fixes : dans une onde stationnaire, les nœuds et les ventres sont à des positions fixes (ils ne se propagent pas) ; c'est la différence fondamentale avec une onde progressive.
• Diffraction : $\theta \sim \lambda/a$ : la diffraction est marquée si $\lambda \gtrsim a$ ; il ne faut pas confondre la taille de l'ouverture $a$ avec la longueur d'onde $\lambda$.

Graphe de référence

L'onde stationnaire $s(x, t) = 2A\cos(kx)\cos(\omega t)$ (mode fondamental, $n = 1$) : l'enveloppe spatiale $2A|\cos(kx)|$ (en trait épais) et l'onde à $t = 0$ (en trait fin) ; les nœuds sont en $x = 0$ et $x = L$ (extrémités), le ventre en $x = L/2$. La longueur d'onde du mode fondamental est $\lambda_1 = 2L$.

Pour aller plus loin

Ce chapitre n'a pas de renvoi spécifique dans la table du §4 de l'annexe Ressources, exercices et annales (programme non explicitement couvert par les thèmes recensés) — voir la page générale pour les manuels recommandés, les banques d'exercices gratuites et les annales par matière.