P1.6 — Circuit linéaire du premier ordre

Objectif du chapitre. Étudier les circuits linéaires du premier ordre : la charge et la décharge d'un condensateur (circuit RC), l'établissement du courant dans une bobine (circuit RL). On y définit la constante de temps $\tau$, on utilise les conditions de continuité de $u_C$ et $i_L$, on distingue régime transitoire et régime permanent, et on fait un bilan énergétique. L'objectif est de savoir établir $\tau$, tracer l'allure de la grandeur étudiée et résoudre l'ED avec conditions initiales : c'est l'exercice type du chapitre.

Notions

1. Circuit RC : charge et décharge d'un condensateur

Charge. Un condensateur de capacité $C$, initialement déchargé ($u_C(0) = 0$), est branché en série avec une résistance $R$ et une source de tension $E$ (commutateur fermé à $t = 0$).

Loi des mailles (sens de parcours choisi) : $E - Ri - u_C = 0$. Avec $i = C \dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$ :

$$RC \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E.$$

Solution (ED du premier ordre, condition initiale $u_C(0) = 0$) :

$$u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = RC,$$

Statut — Admis (résolution d'ED). La solution $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$ est la solution de l'ED du 1er ordre $RC\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = E$ avec $u_C(0) = 0$ (cf. M4, ED du 1er ordre) ; elle est admise (résultat standard, à connaître et à exploiter — tracer l'allure, lire $\tau$) sans re-démonstration.

où $\tau = RC$ est la constante de temps (en secondes). L'intensité vaut $i(t) = \dfrac{E}{R} e^{-t/\tau}$ : elle est maximale à $t = 0$ ($i(0) = E/R$) et décroît exponentiellement vers $0$.

Décharge. Le condensateur chargé à $E$ se décharge à travers $R$ : $u_C(t) = E\, e^{-t/\tau}$ avec la même constante de temps $\tau = RC$.

Régime permanent. Quand $t \gg \tau$ (pratiquement $t \gtrsim 5\tau$), le condensateur est chargé : $u_C = E$ (charge) et $i = 0$ : le condensateur se comporte comme un circuit ouvert.

2. Circuit RL : établissement du courant dans une bobine

Établissement. Une bobine d'inductance $L$ et de résistance propre $r$, en série avec une résistance $R$ et une source $E$ (commutateur fermé à $t = 0$), initialement sans courant ($i(0) = 0$).

Loi des mailles : $E - (R + r)i - L \dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = 0$. En posant $R_{\text{tot}} = R + r$ :

$$L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + R_{\text{tot}} i = E.$$

Solution (condition initiale $i(0) = 0$) :

$$i(t) = \frac{E}{R_{\text{tot}}}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = \frac{L}{R_{\text{tot}}}.$$

L'intensité croît exponentiellement de $0$ vers $E/R_{\text{tot}}$ ; la tension aux bornes de la bobine $u_L = L \dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = E\, e^{-t/\tau}$ décroît de $E$ vers $0$.

Régime permanent. Quand $t \gg \tau$, $i = E/(R + r)$ (constant) et $u_L = 0$ : la bobine se comporte comme un court-circuit (fil de résistance $r$, sa résistance propre).

3. Constante de temps

La constante de temps $\tau$ d'un circuit du premier ordre est le paramètre qui caractérise la vitesse de la transition :

• Circuit RC : $\tau = RC$ (s) — produit de la résistance (vue du condensateur) par la capacité.
• Circuit RL : $\tau = L/R_{\text{tot}}$ (s) — rapport de l'inductance à la résistance totale (vue de la bobine).

Interprétation. $\tau$ est le temps que met la grandeur pour atteindre $1 - e^{-1} \approx 63{,}2\,\%$ de sa valeur finale (charge) ou pour tomber à $e^{-1} \approx 36{,}8\,\%$ de sa valeur initiale (décharge). En pratique, le régime permanent est atteint à $t \approx 5\tau$ ($1 - e^{-5} \approx 99{,}3\,\%$).

Méthode pour établir $\tau$.

1. Identifier l'élément stockeur (condensateur ou bobine).
2. Calculer la résistance équivalente vue par cet élément (sources de tension court-circuitées, sources de courant ouvertes).
3. $\tau = R_{\text{eq}} C$ (RC) ou $\tau = L/R_{\text{eq}}$ (RL).

4. Conditions de continuité

• La tension aux bornes d'un condensateur est continue : $u_C(0^+) = u_C(0^-)$ (la charge stockée ne peut pas varier brutalement).
• L'intensité dans une bobine est continue : $i_L(0^+) = i_L(0^-)$. Justification par l'énergie : l'énergie stockée dans la bobine est $E = \dfrac{1}{2} L\, i_L^2$ ; un saut de $i_L$ impliquerait une puissance infinie ($P = \mathrm{d}E/\mathrm{d}t$), ce qui est impossible pour un circuit de résistance finie. (La formulation « le flux ne peut pas varier brutalement » est équivalente, cf. ch23.)

Conséquence. Pour résoudre l'ED avec conditions initiales, on calcule $u_C(0^-)$ ou $i_L(0^-)$ (état avant la commutation, en régime permanent), puis on impose $u_C(0^+) = u_C(0^-)$ ou $i_L(0^+) = i_L(0^-)$ comme condition initiale.

Exemple. Condensateur initialement déchargé, commuté à $t = 0$ sur $E = 10\,\text{V}$ : $u_C(0^-) = 0$, donc $u_C(0^+) = 0$ (condition initiale). Bobine initialement sans courant : $i_L(0^-) = 0$, donc $i_L(0^+) = 0$.

5. Régime transitoire et régime permanent

Régime transitoire. C'est la phase qui suit une perturbation (commutation, changement de tension) pendant laquelle la grandeur varie exponentiellement (caractérisée par $\tau$). Il dure environ $5\tau$.

Régime permanent. C'est l'état stationnaire atteint après le transitoire : les grandeurs sont constantes (en continu) ; le condensateur est chargé ($i_C = 0$), la bobine est en court-circuit ($u_L = 0$).

Allure à tracer. Pour tracer $u_C(t)$ ou $i_L(t)$ :

1. Calculer la valeur initiale ($t = 0^+$, continuité).
2. Calculer la valeur finale ($t \to \infty$, régime permanent).
3. Tracer une exponentielle reliant les deux, avec la constante de temps $\tau$ (à $t = \tau$, la grandeur a parcouru $63{,}2\,\%$ du chemin).

6. Bilan énergétique

Circuit RC (charge). L'énergie délivrée par la source est $E_{\text{source}} = E \cdot q = E^2 C$ (charge totale $q = CE$). L'énergie stockée dans le condensateur est $E_C = \dfrac{1}{2}CE^2$. L'énergie dissipée dans la résistance est $E_R = \dfrac{1}{2}CE^2$. Bilan : $E_{\text{source}} = E_C + E_R$ (la moitié de l'énergie est dissipée, quel que soit $R$).

Circuit RL (établissement). L'énergie délivrée par la source est $E_{\text{source}} = E \cdot \int i\,\mathrm{d}t$. L'énergie stockée dans la bobine est $E_L = \dfrac{1}{2}L i_{\infty}^2$ ; l'énergie dissipée dans la résistance est $E_R = \int R_{\text{tot}} i^2\,\mathrm{d}t$. Bilan : $E_{\text{source}} = E_L + E_R$.

Exemple numérique. Circuit RC : $R = 10\,\text{k}\Omega$, $C = 10\,\mu\text{F}$, $E = 12\,\text{V}$. Constante de temps : $\tau = RC = 10^4 \times 10^{-5} = 0{,}1\,\text{s}$. À $t = \tau = 0{,}1\,\text{s}$ : $u_C = 12(1 - e^{-1}) = 12 \times 0{,}632 = 7{,}59\,\text{V}$ et $i = \dfrac{12}{10^4} e^{-1} = 0{,}441\,\text{mA}$. À $t = 5\tau = 0{,}5\,\text{s}$ : $u_C = 12(1 - e^{-5}) = 11{,}92\,\text{V}$ (régime permanent pratiquement atteint). Énergie stockée en régime permanent : $E_C = \dfrac{1}{2} C E^2 = \dfrac{1}{2} \times 10^{-5} \times 144 = 0{,}72\,\text{mJ}$ ; énergie dissipée dans $R$ : $E_R = 0{,}72\,\text{mJ}$ (la moitié).

Exemple numérique (RL). Circuit RL : $L = 100\,\text{mH}$, $R_{\text{tot}} = 50\,\Omega$, $E = 10\,\text{V}$. Constante de temps : $\tau = L/R_{\text{tot}} = 0{,}1/50 = 2\,\text{ms}$. Intensité finale : $i_\infty = E/R_{\text{tot}} = 0{,}2\,\text{A}$. À $t = \tau = 2\,\text{ms}$ : $i = 0{,}2(1 - e^{-1}) = 0{,}126\,\text{A}$ et $u_L = 10\, e^{-1} = 3{,}68\,\text{V}$. Énergie stockée en régime permanent : $E_L = \dfrac{1}{2} L i_\infty^2 = \dfrac{1}{2} \times 0{,}1 \times 0{,}04 = 2\,\text{mJ}$.

Capacités exigibles

• P1.6.constante-temps — Établir la constante de temps d'un circuit du premier ordre : identifier l'élément stockeur (C ou L), calculer la résistance équivalente vue par cet élément (sources court-circuitées/ouvertes), et écrire $\tau = R_{\text{eq}} C$ (RC) ou $\tau = L/R_{\text{eq}}$ (RL).

Ce qui tombe en colle et en DS

Établir $\tau$, tracer l'allure et résoudre l'ED avec conditions initiales : c'est l'exercice type du chapitre (circuit du 1ᵉʳ ordre). Il faut savoir :

• Identifier la grandeur d'état (tension aux bornes du condensateur ou courant dans la bobine) et écrire l'équation différentielle du 1ᵉʳ ordre.
• Calculer la constante de temps $\tau = RC$ (ou $\tau = L/R$) et l'état final (régime permanent).
• Résoudre l'ED avec la condition initiale (continuité de $u_C$ et $i_L$) et obtenir la solution transitoire.
• Tracer l'allure de la réponse (croissance ou décroissance exponentielle) et lire $\tau$ sur la courbe.
• Distinguer la phase transitoire et le régime permanent.

Pièges classiques

• Confondre charge et décharge : la charge part de $0$ et monte vers $E$ ($1 - e^{-t/\tau}$) ; la décharge part de $E$ et descend vers $0$ ($e^{-t/\tau}$). L'allure est symétrique mais les expressions ne sont pas identiques.
• Oublier la condition initiale : il faut toujours calculer $u_C(0^-)$ ou $i_L(0^-)$ (état avant la commutation) et l'imposer en $t = 0^+$ (continuité). Sans condition initiale, la solution de l'ED n'est pas déterminée.
• Résistance équivalente vue par le condensateur : pour calculer $\tau = R_{\text{eq}} C$, il faut court-circuiter les sources de tension et ouvrir les sources de courant, puis calculer la résistance entre les bornes du condensateur. C'est la source n°1 d'erreurs.
• Régime permanent : en continu, $i_C = 0$ (condensateur ouvert) et $u_L = 0$ (bobine court-circuit) ; il ne faut pas les oublier dans le calcul de la valeur finale.
• Allure à $t = \tau$ : à $t = \tau$, la grandeur a parcouru $63{,}2\,\%$ du chemin (pas $50\,\%$) ; à $t = 5\tau$, elle a parcouru $99{,}3\,\%$ (régime permanent atteint).
• Bilan énergétique RC : la moitié de l'énergie est dissipée dans la résistance, quel que soit $R$ (résultat contre-intuitif mais vrai).

Graphe de référence

Charge d'un condensateur ($u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$) et intensité ($i(t) = \dfrac{E}{R} e^{-t/\tau}$) en fonction de $t/\tau$ (temps réduit). La courbe de $u_C$ part de $0$ et monte vers $1$ (valeur finale normalisée) ; la courbe de $i$ part de $1$ et descend vers $0$. À $t/\tau = 1$, $u_C = 63{,}2\,\%$ et $i = 36{,}8\,\%$ ; à $t/\tau = 5$, $u_C \approx 99{,}3\,\%$ (régime permanent).

Pour aller plus loin

Annales utilisables sur ce chapitre (§4 de l'annexe Ressources, exercices et annales) : CCINP PC/PSI Physique 1, e3a Physique — parties « électronique ».

Voir aussi Ressources, exercices et annales pour les manuels recommandés et les banques d'exercices gratuites.