P1.5 — Circuits électriques dans l'ARQS

Objectif du chapitre. Étudier les circuits électriques dans l'approximation du régime quasi-stationnaire (ARQS) : les grandeurs (charge, intensité, tension), les lois de Kirchhoff (nœuds et mailles), les dipôles (résistor, condensateur, bobine, sources idéales), les associations série/parallèle, les diviseurs de tension et de courant, la puissance et le point de fonctionnement. L'objectif est de savoir simplifier un circuit (résistance équivalente) et écrire une loi des mailles sans erreur de signe : c'est l'exercice type du chapitre.

Notions

1. L'approximation du régime quasi-stationnaire (ARQS)

L'ARQS est l'approximation qui suppose que les grandeurs électriques (intensité, tension) sont uniformes dans chaque conducteur et indépendantes de la position le long d'un fil, à condition que la taille caractéristique $L$ du circuit soit très petite devant la distance parcourue par une perturbation en une période $T$ du signal :

$$L \ll c T = \lambda \quad \text{(en pratique } L \ll \lambda\text{)}.$$

Pour un signal de fréquence $f = 50\,\text{Hz}$, $\lambda = c/f \approx 6 \times 10^6\,\text{m}$ : n'importe quel circuit domestique est en ARQS. Pour un signal de $f = 1\,\text{GHz}$, $\lambda = 30\,\text{cm}$ : un circuit de $10\,\text{cm}$ n'est plus en ARQS (il faut la théorie des lignes). L'ARQS est valable en prépa pour tous les circuits étudiés (sauf mention contraire).

2. Grandeurs électriques

Charge et intensité. L'intensité $i(t)$ est le débit de charge à travers une section : $i = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$ (en ampères). La convention de signe (CPP, récepteur/générateur) est définie au paragraphe Tension ci-dessous.

Tension. La tension entre deux points $A$ et $B$ est la différence de potentiel $u_{AB} = V_A - V_B$ (en volts). Le potentiel $V$ (en volts) d'un point est l'énergie potentielle électrique par unité de charge ($V = E_p/q$) ; c'est une fonction d'état (sa valeur en un point ne dépend pas du chemin). La tension est donc la différence de potentiel entre deux points (seule la différence a un sens physique, pas la valeur absolue). La convention de puissance passive (CPP) : la puissance reçue par un dipôle est $p = u \cdot i$ quand $i$ entre par la borne positive ; la puissance donnée est $p = -u \cdot i$ quand $i$ sort par la borne positive.

3. Lois de Kirchhoff

Loi des nœuds (1re loi). En ARQS, la charge est conservée : la somme algébrique des intensités entrant dans un nœud est nulle :

$$\sum_k i_k = 0 \quad \text{(nœud)}.$$

Loi des mailles (2e loi). La somme algébrique des tensions le long d'une maille fermée est nulle (le potentiel est une fonction d'état) :

$$\sum_k u_k = 0 \quad \text{(maille)}.$$

Règle des signes (cruciale). Pour écrire une loi des mailles sans erreur de signe :

1. Choisir un sens de parcours de la maille (arbitraire).
2. Pour chaque dipôle traversé dans le sens de parcours, ajouter la tension si on entre par la borne $+$ et soustraire si on entre par la borne $-$.
3. Les sources sont traitées comme des dipôles : on ajoute $E$ si on passe du $-$ au $+$ (source qui délivre), on soustrait si on passe du $+$ au $-$.

Exemple. Maille avec une source $E = 12\,\text{V}$ et une résistance $R = 4\,\Omega$ : parcours dans le sens du courant, on passe du $-$ au $+$ de la source (on ajoute $+E$), puis on traverse $R$ dans le sens du courant (on soustrait $-iR$) : $E - iR = 0$, donc $i = E/R = 3\,\text{A}$.

4. Dipôles

Résistor (loi d'Ohm). $u = Ri$ ($R$ en ohms). La résistance est indépendante du courant (dipôle linéaire). Puissance dissipée : $p = Ri^2 = u^2/R$.

Condensateur. $q = C u$ ($C$ en farads), $i = C \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$. En régime permanent continu (tensions constantes), le condensateur est chargé et $i = 0$ : il se comporte comme un circuit ouvert (le régime permanent est étudié en détail en P1.6). L'énergie stockée est $E_c = \dfrac{1}{2}Cu^2$.

Bobine. $u = L \dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ ($L$ en henrys). En régime permanent continu, $i$ est constant et $u = 0$ : la bobine se comporte comme un court-circuit (fil parfait). L'énergie stockée est $E_m = \dfrac{1}{2}Li^2$.

Sources idéales. Une source de tension idéale impose une tension $E$ indépendante du courant (résistance interne nulle) ; une source de courant idéale impose un courant $I$ indépendant de la tension (résistance interne infinie). En pratique, on modélise une source réelle par une source idéale en série avec une résistance interne $r$ (tension) ou en parallèle avec une résistance interne $R$ (courant).

5. Associations série et parallèle

Série. Deux dipôles en série portent la même intensité ; leurs tensions s'additionnent : $u = u_1 + u_2$. La résistance équivalente de deux résistances en série est $R_{\text{eq}} = R_1 + R_2$.

Parallèle. Deux dipôles en parallèle ont la même tension ; leurs intensités s'additionnent : $i = i_1 + i_2$. La résistance équivalente de deux résistances en parallèle est $\dfrac{1}{R_{\text{eq}}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$, soit $R_{\text{eq}} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$.

Simplification de circuit. Pour simplifier un circuit : identifier les nœuds (points à même potentiel), remplacer les associations série/parallèle par leurs résistances équivalentes, et itérer jusqu'à obtenir un circuit simple.

6. Diviseurs de tension et de courant

Diviseur de tension. Deux résistances $R_1$ et $R_2$ en série, alimentées par une tension $U$ : la tension aux bornes de $R_2$ est

$$U_2 = U \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2}.$$

Diviseur de courant. Deux résistances $R_1$ et $R_2$ en parallèle, alimentées par un courant $I$ : le courant dans $R_2$ est

$$I_2 = I \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2}.$$

Exemple. $R_1 = 3\,\text{k}\Omega$, $R_2 = 1\,\text{k}\Omega$, $U = 12\,\text{V}$ : $U_2 = 12 \times \dfrac{1}{4} = 3\,\text{V}$ ; $R_{\text{eq}} = 4\,\text{k}\Omega$, $I = 3\,\text{mA}$, $I_2 = 3 \times \dfrac{3}{4} = 2{,}25\,\text{mA}$.

7. Puissance et point de fonctionnement

Puissance. La puissance reçue par un dipôle est $p = ui$ (CPP). Pour un résistor, $p = Ri^2 = u^2/R$ (toujours positive : le résistor dissipe). Pour une source, $p$ peut être positive (source qui reçoit, ex. charge d'une batterie) ou négative (source qui délivre).

Point de fonctionnement. Le point de fonctionnement d'un dipôle est le couple $(u, i)$ qui le caractérise en régime permanent. Pour un dipôle linéaire (résistor), c'est le point d'intersection de sa droite $u = Ri$ avec la droite de charge du circuit (droite d'équation $u = E - iR_{\text{ext}}$). Pour un dipôle non linéaire (diode, lampe), le point de fonctionnement est le point d'intersection de sa caractéristique $i = f(u)$ avec la droite de charge.

Exemple. Une source de $E = 9\,\text{V}$ avec résistance interne $r = 1\,\Omega$ alimente une résistance $R = 2\,\Omega$. La droite de charge est $u = 9 - i \times 1$ ; la caractéristique de $R$ est $u = 2i$. Intersection : $2i = 9 - i$, soit $i = 3\,\text{A}$ et $u = 6\,\text{V}$. La puissance dissipée dans $R$ est $p = u \cdot i = 18\,\text{W}$ ; la puissance dissipée dans $r$ est $pr = ri^2 = 9\,\text{W}$ ; la puissance délivrée par la source est $E \cdot i = 27\,\text{W}$ (vérification : $18 + 9 = 27$).

Capacités exigibles

• P1.5.kirchhoff — Écrire une loi des mailles sans erreur de signe : choisir un sens de parcours, ajouter/soustraire les tensions selon qu'on entre par la borne $+$ ou $-$, et traiter les sources comme des dipôles (ajouter $E$ en passant du $-$ au $+$).

Ce qui tombe en colle et en DS

Simplifier un circuit et écrire une loi des mailles sans erreur de signe : c'est l'exercice type du chapitre (ARQS). Il faut savoir :

• Reconnaître les associations série/parallèle et simplifier le circuit (résistances équivalentes).
• Appliquer les lois de Kirchhoff (loi des nœuds, loi des mailles) avec une convention de signe cohérente.
• Établir l'équation du circuit (en régime permanent sinusoïdal ou continu) et la résoudre.
• Gérer les conventions récepteur/générateur pour les dipôles actifs.
• Calculer les grandeurs (tensions, courants, puissances) et vérifier le bilan de puissance.

Pièges classiques

• Erreur de signe dans la loi des mailles : c'est la source n°1 d'erreurs. La règle : ajouter la tension si on entre par la borne $+$ (dans le sens de parcours), soustraire si on entre par la borne $-$. Pour une source, ajouter $E$ si on passe du $-$ au $+$ (source qui délivre), soustraire si on passe du $+$ au $-$.
• Condensateur en régime permanent : en continu, $i = 0$ (circuit ouvert) ; il ne faut pas l'oublier dans le calcul de la résistance équivalente.
• Bobine en régime permanent : en continu, $u = 0$ (court-circuit) ; il ne faut pas l'oublier non plus.
• Convention de puissance passive : $p = ui$ quand $i$ entre par la borne $+$ ; si $i$ sort par la borne $+$, alors $p = -ui$ (la source délivre).
• Diviseur de courant : le courant dans $R_2$ est proportionnel à $R_1$ (pas $R_2$) : $I_2 = I \cdot R_1/(R_1 + R_2)$. C'est l'inverse du diviseur de tension.
• ARQS : l'approximation est valable si $L \ll \lambda$ ; pour des fréquences élevées (GHz), un circuit de quelques centimètres n'est plus en ARQS.

Graphe de référence

Tension aux bornes de $R_2$ dans un diviseur de tension ($R_1 = 3\,\text{k}\Omega$, $R_2$ variable) en fonction de $R_2$ : $U_2 = 12 \cdot R_2/(3000 + R_2)$. La courbe montre que $U_2$ augmente avec $R_2$ et sature à $12\,\text{V}$ quand $R_2 \gg R_1$ ; pour $R_2 = R_1 = 3\,\text{k}\Omega$, $U_2 = 6\,\text{V}$ (moitié).

Pour aller plus loin

Annales utilisables sur ce chapitre (§4 de l'annexe Ressources, exercices et annales) : CCINP PC/PSI Physique 1, e3a Physique — parties « électronique ».

Voir aussi Ressources, exercices et annales pour les manuels recommandés et les banques d'exercices gratuites.