P2.7 — Mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe

Objectif du chapitre. Étudier le mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : le moment d'inertie $J$, le moment cinétique du solide $\vec{L} = J\vec{\omega}$, le théorème du moment cinétique scalaire $J\dot{\omega} = M$, l'énergie cinétique de rotation $E_c = \dfrac{1}{2}J\omega^2$, le pendule pesant, et le couplage avec l'induction (préparation à l'électromécanique). L'objectif est de savoir appliquer le théorème du moment cinétique scalaire : c'est l'exercice type du chapitre.

Le produit vectoriel $\vec{u} \times \vec{v}$ est défini dans l'annexe Outils mathématiques.

Notions

1. Moment d'inertie

Le moment d'inertie $J$ d'un solide par rapport à un axe est la somme (ou l'intégrale) des contributions $m_i r_i^2$ de chaque élément de masse $m_i$ à distance $r_i$ de l'axe :

$$J = \sum_i m_i r_i^2 \quad \text{(discrète)}, \qquad J = \int r^2\,\mathrm{d}m \quad \text{(continue)}.$$

L'unité est le kg·m². Le moment d'inertie mesure la résistance du solide à la rotation (analogie avec la masse pour la translation).

Moments d'inertie usuels.

Solide	Axe	$J$
Point de masse $m$	à distance $r$	$mr^2$
Anneau (rayon $R$)	axe central	$mR^2$
Disque (rayon $R$)	axe central	$\dfrac{1}{2}mR^2$
Sphère (rayon $R$)	axe central	$\dfrac{2}{5}mR^2$
Tige (longueur $L$)	axe central	$\dfrac{1}{12}mL^2$
Tige (longueur $L$)	axe extrémité	$\dfrac{1}{3}mL^2$

Théorème de Steiner (axe parallèle — complément, non exigible en PCSI ; nom usuel : théorème de Huygens). Le moment d'inertie par rapport à un axe parallèle à l'axe du centre de masse, à distance $d$, est

$$J = J_{\text{cm}} + m d^2.$$

Exemple. Tige de masse $m$, longueur $L$ : $J_{\text{cm}} = \dfrac{1}{12}mL^2$ ; par rapport à l'extrémité ($d = L/2$) : $J = \dfrac{1}{12}mL^2 + m(L/2)^2 = \dfrac{1}{3}mL^2$ (cohérent avec le tableau).

Exemple numérique. Anneau de $m = 2\,\text{kg}$, $R = 0{,}5\,\text{m}$ : $J = mR^2 = 2 \times 0{,}25 = 0{,}5\,\mathrm{kg·m}^2$.

2. Moment cinétique d'un solide

Pour un solide en rotation autour d'un axe fixe de moment d'inertie $J$ et de vitesse angulaire $\omega$, le moment cinétique (par rapport à l'axe) est

$$L = J\omega.$$

C'est l'analogue rotationnel de la quantité de mouvement $\vec{p} = m\vec{v}$.

3. Théorème du moment cinétique scalaire

Le TMC scalaire (par rapport à l'axe de rotation) s'écrit

$$\boxed{J\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} = M}$$

où $M$ est le moment de la somme des forces extérieures par rapport à l'axe (en N·m). C'est l'analogue rotationnel du PFD $m a = F$ (avec $J \leftrightarrow m$, $\omega \leftrightarrow v$, $M \leftrightarrow F$).

Cas $J$ constant (solide rigide) : $J\ddot{\theta} = M$ (avec $\omega = \dot{\theta}$). Cas $J$ variable (système avec masse mobile) : $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(J\omega) = M$ (il faut dériver le produit).

Conservation. Si $M = 0$ (pas de moment extérieur), alors $J\omega = \text{cste}$ : le moment cinétique est conservé (effet « patineuse », chapitre P2.5).

4. Énergie cinétique de rotation

L'énergie cinétique de rotation d'un solide autour d'un axe fixe est

$$E_c = \frac{1}{2}J\omega^2.$$

C'est l'analogue rotationnel de $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$.

Puissance. La puissance des forces est $P = M\omega$ (analogue de $P = Fv$). Le travail d'un moment $M$ sur une rotation d'angle $\Delta\theta$ est $W = M\Delta\theta$ (si $M$ constant).

Exemple numérique. Solide de $J = 0{,}5\,\mathrm{kg·m}^2$ tournant à $\omega = 4\,\text{rad/s}$ : $E_c = \dfrac{1}{2} \times 0{,}5 \times 16 = 4{,}0\,\text{J}$ ; moment cinétique $L = J\omega = 0{,}5 \times 4 = 2{,}0\,\mathrm{kg·m}^2/\text{s}$.

5. Pendule pesant (solide)

Un pendule pesant est un solide qui oscille autour d'un axe fixe sous l'effet de la gravité. Soit $J$ son moment d'inertie par rapport à l'axe, $m$ sa masse, $d$ la distance de l'axe au centre de masse, et $\theta$ l'angle avec la verticale.

Moment du poids. Le poids a pour moment $M = -mgd\sin\theta$ (ramène vers $\theta = 0$). Le TMC scalaire donne

$$J\ddot{\theta} = -mgd\sin\theta \quad \Longrightarrow \quad \ddot{\theta} + \frac{mgd}{J}\sin\theta = 0.$$

Petits angles : $\ddot{\theta} + \dfrac{mgd}{J}\theta = 0$ → oscillateur harmonique de pulsation $\omega_0 = \sqrt{mgd/J}$ et de période

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{J}{mgd}}.$$

Exemple (tige). Tige de longueur $L = 1{,}0\,\text{m}$, pivotée par une extrémité : $J = \dfrac{1}{3}mL^2$, $d = L/2$ : $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L^2/3}{gL/2}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{2L}{3g}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{2}{3 \times 9{,}81}} = 1{,}64\,\text{s}$.

Pendule simple vs pendule pesant. Le pendule simple (bille, fil sans masse) a $J = mL^2$, $d = L$ : $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ (chapitre P2.2). Le pendule pesant (tige) a $T = 2\pi\sqrt{2L/(3g)}$ : il oscille plus vite (période plus courte) que le pendule simple de même longueur (le centre de masse de la tige est à $L/2$, pas à $L$).

6. Couplage avec l'induction (préparation à l'électromécanique)

Un solide conducteur (ou portant un enroulement) en rotation dans un champ magnétique génère une force électromotrice (induction, chapitre P4.3) : c'est le générateur. Réciproquement, un courant dans un enroulement soumis à un champ magnétique subit un moment (force de Laplace, chapitre P4.2) : c'est le moteur.

Équation couplée. Pour un moteur (enroulement de $N$ spires, flux $\Phi$, courant $I$) : le moment électromagnétique est $M_{\text{em}} = N I \dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}\theta}$ (ou $M = K I$ avec $K$ constante de couple) ; le TMC scalaire donne $J\dot{\omega} = M_{\text{em}} - M_{\text{frot}}$ ; la force contre-électromotrice (induction) est $e = K\omega$ (proportionnelle à la vitesse, opposée à la tension appliquée : la loi des mailles s'écrit $U = R I + K\omega$). Le couplage mécanique/électrique est le cœur de l'électromécanique (moteurs, générateurs, freins à induction).

Exemple (frein à induction). Un disque conducteur en rotation dans un champ magnétique radial subit un moment de freinage $M_{\text{frot}} \propto -\omega$ (forces de Lorentz sur les courants de Foucault) : le TMC scalaire $J\dot{\omega} = -k\omega$ donne $\omega(t) = \omega_0 e^{-kt/J}$ (décroissance exponentielle, amortissement visqueux). C'est le principe des freins à induction (montagnes russes, machines-outils).

7. Applications : treuil, poulie et système couplé

Treuil. Un treuil (manivelle de rayon $r$, moment d'inertie $J$) soulève une masse $m$ attachée à une corde enroulée. Le TMC scalaire du treuil : $J\dot{\omega} = M_{\text{mot}} - Tr$ (le moment de la tension $T$ est $Tr$). Le PFD de la masse : $T - mg = ma$ (avec $a = r\dot{\omega}$, la corde ne glisse pas). En éliminant $T$ ($T = m(g + a)$), on obtient l'équation du mouvement du système (couplage translation/rotation) : $a = \dfrac{M_{\text{mot}}/r - mg}{m + J/r^2}$ (le couple moteur $M_{\text{mot}}$ se convertit en une force équivalente $M_{\text{mot}}/r$ au bord de la manivelle). Exemple : $J = 0{,}1\,\mathrm{kg·m}^2$, $r = 0{,}1\,\text{m}$, $m = 1\,\text{kg}$, $M_{\text{mot}} = 5\,\mathrm{N·m}$ : $a = \dfrac{5/0{,}1 - 9{,}81}{1 + 0{,}1/0{,}01} = \dfrac{50 - 9{,}81}{11} \approx 3{,}65\,\text{m/s}^2$ (la masse monte : la force équivalente $M_{\text{mot}}/r = 50\,\text{N}$ dépasse le poids $mg = 9{,}81\,\text{N}$). En régime permanent ($\dot{\omega} = 0$ donc $a = 0$), le couple moteur doit équilibrer le poids : $M_{\text{mot}} = r\,mg$ (ici $0{,}98\,\mathrm{N·m}$) et $T = mg$.

Poulie. Une poulie de moment d'inertie $J$ porte une corde sans masse reliant deux masses $m_1$ et $m_2$ ($m_1 > m_2$). Le TMC scalaire de la poulie : $J\dot{\omega} = (T_1 - T_2)r$ ; les PFD des masses : $m_1 g - T_1 = m_1 a$, $T_2 - m_2 g = m_2 a$ (avec $a = r\dot{\omega}$). En éliminant $T_1$ et $T_2$, on obtient $a = \dfrac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2 + J/r^2}$ (le terme $J/r^2$ joue le rôle d'une masse équivalente de la poulie). Exemple : $m_1 = 2\,\text{kg}$, $m_2 = 1\,\text{kg}$, $J = 0{,}05\,\mathrm{kg·m}^2$, $r = 0{,}1\,\text{m}$ : $a = \dfrac{g}{3 + 5} = 1{,}23\,\text{m/s}^2$ (la poulie ralentit le système par rapport au cas $J = 0$, $a = g/3 = 3{,}27\,\text{m/s}^2$).

Système couplé (translation + rotation — complément, traité en PSI). Quand un solide roule sans glisser (roue, cylindre) sur un plan, le point de contact est instantanément au repos : la vitesse du centre de masse est $v = \omega r$ (liaison cinématique). Le TMC scalaire (par rapport au point de contact) donne $J_{\text{contact}}\dot{\omega} = M_{\text{contact}}$ ; le PFD du centre de masse donne $ma = F_{\text{tang}}$. Les deux équations, combinées avec $v = \omega r$, donnent l'accélération (ex. roue sur plan incliné : $a = g\sin\alpha/(1 + J/(mr^2))$).

Capacités exigibles

• P2.7.rotation-axe — Appliquer le théorème du moment cinétique scalaire : écrire $J\dot{\omega} = M$ (ou $\mathrm{d}(J\omega)/\mathrm{d}t = M$ si $J$ variable), calculer le moment d'inertie $J$ (tableau + Steiner), établir le moment $M$ des forces, et en déduire l'équation du mouvement (et l'énergie cinétique $E_c = \tfrac{1}{2}J\omega^2$).

Pièges classiques

• Moment d'inertie dépend de l'axe : $J$ n'est pas une propriété intrinsèque du solide ; il dépend de l'axe de rotation (ex. tige : $J_{\text{cm}} = \tfrac{1}{12}mL^2$ mais $J_{\text{extrémité}} = \tfrac{1}{3}mL^2$) ; il faut toujours préciser l'axe.
• Théorème de Steiner : $J = J_{\text{cm}} + md^2$ (pas $J_{\text{cm}} - md^2$) ; il ne s'applique que pour des axes parallèles (pas pour des axes perpendiculaires).
• TMC scalaire : $J$ constant ou variable : si $J$ est constant, $J\ddot{\theta} = M$ ; si $J$ est variable (masse mobile), il faut dériver le produit : $\mathrm{d}(J\omega)/\mathrm{d}t = \dot{J}\omega + J\dot{\omega} = M$ (le terme $\dot{J}\omega$ ne doit pas être oublié).
• Énergie cinétique de rotation : $E_c = \tfrac{1}{2}J\omega^2$ (pas $\tfrac{1}{2}Jv^2$) ; $\omega$ est la vitesse angulaire (rad/s), pas la vitesse linéaire.
• Pendule pesant vs pendule simple : le pendule pesant (tige) a $T = 2\pi\sqrt{2L/(3g)}$ (plus court) ; le pendule simple (bille) a $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ ; il ne faut pas confondre les deux (le centre de masse de la tige est à $L/2$).
• Couplage induction : la force contre-électromotrice $e = K\omega$ est opposée à la tension appliquée (loi de Lenz) ; elle freine le moteur (c'est pour ça qu'un moteur sous charge consomme plus de courant) ; il ne faut pas l'oublier dans le bilan.

Graphe de référence

Énergie cinétique de rotation $E_c = \dfrac{1}{2}J\omega^2$ d'un solide ($J = 0{,}5\,\mathrm{kg·m}^2$) en fonction de la vitesse angulaire $\omega$. La courbe est une parabole ($E_c \propto \omega^2$) : pour $\omega = 4\,\text{rad/s}$, $E_c = 4{,}0\,\text{J}$ ; pour $\omega = 8\,\text{rad/s}$, $E_c = 16\,\text{J}$ (quadrupler $\omega$ quadruple $E_c$).

Pour aller plus loin

Annales utilisables sur ce chapitre (§4 de l'annexe Ressources, exercices et annales) : e3a, CCINP Physique — parties « mécanique ».

Voir aussi Ressources, exercices et annales pour les manuels recommandés et les banques d'exercices gratuites.