P1.1 — Oscillateur harmonique

Objectif du chapitre. Étudier l'oscillateur harmonique mécanique (système masse-ressort) : établir l'équation différentielle à partir de la loi de Newton, en trouver la solution sinusoïdale (amplitude, phase, période), étudier l'énergie mécanique (et sa conservation) et introduire le portrait de phase. L'oscillateur harmonique est le modèle fondamental de la physique : il apparaît en mécanique (ressort, pendule), en électricité (circuit LC) et en optique (interférences).

Notions

1. Le système masse-ressort

Un oscillateur harmonique mécanique est constitué d'une masse $m$ (point matériel) reliée à un ressort de raideur $k$ et de longueur à vide $\ell_0$, dans un référentiel galiléen, sans frottement. On choisit l'axe $Ox$ le long du ressort, $O$ la position d'équilibre (longueur du ressort à l'équilibre, $\ell_0 + mg/k$ si vertical).

Position d'équilibre. À l'équilibre, la force du ressort équilibre le poids (si le système est vertical) : $k\, \ell_{\text{eq}} = mg$ (vertical) ou $k\, \ell_{\text{eq}} = 0$ (horizontal). On note $x$ l'allongement par rapport à l'équilibre.

Cas vertical. Si le ressort est vertical, la longueur du ressort à l'équilibre est $\ell_{\text{eq}} = \ell_0 + \dfrac{mg}{k}$ (l'allongement d'équilibre vaut $\dfrac{mg}{k}$). En choisissant l'origine à l'équilibre, l'équation du mouvement est identique au cas horizontal : $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$ (le poids est absorbé par le choix de l'origine). C'est une propriété importante : la gravité ne modifie pas la pulsation propre, seulement la position d'équilibre.

2. Autres oscillateurs harmoniques

L'équation $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$ apparaît dans de nombreux systèmes :

• Pendule simple (petits angles) : $\ddot{\theta} + \dfrac{g}{\ell}\, \theta = 0$, avec $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$ (période $T_0 = 2\pi\sqrt{\ell/g}$, indépendante de la masse).
• Pendule élastique : $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$ avec $\omega_0 = \sqrt{k/m}$.
• Circuit LC (électricité) : $\ddot{q} + \dfrac{1}{LC}\, q = 0$, avec $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ (oscillations de charge).
• Masse entre deux ressorts : $\ddot{x} + \dfrac{k_1 + k_2}{m}\, x = 0$, avec $\omega_0 = \sqrt{(k_1 + k_2)/m}$ (les raideurs s'additionnent : les deux ressorts sont de part et d'autre de la masse, en parallèle — un déplacement $x$ allonge l'un et comprime l'autre de $x$ ; en série on aurait $\dfrac{1}{k_{\text{eq}}} = \dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2}$).

Propriété commune. Tous ces systèmes ont une pulsation propre $\omega_0$ qui ne dépend que des paramètres du système (masse, raideur, longueur, gravité) et pas de l'amplitude : c'est l'isochronisme de l'oscillateur harmonique.

3. Équation différentielle

Loi de Newton (2ᵉ loi). La force de rappel du ressort est $\vec{F} = -k\, \vec{x}$ (proportionnelle au déplacement, de sens opposé — c'est la force de rappel). La 2ᵉ loi de Newton (définie en P2.2) donne

$$m\, \ddot{x} = -k\, x \qquad\Longleftrightarrow\qquad \ddot{x} + \omega_0^2\, x = 0,$$

où $\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$ est la pulsation propre de l'oscillateur (en rad/s).

Remarque. L'équation $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$ est l'équation de l'oscillateur harmonique ; elle ne dépend que de la masse $m$ et de la raideur $k$ (pas de l'amplitude). C'est une équation linéaire du second ordre à coefficients constants (chapitre M4).

4. Solution sinusoïdale

La solution générale de $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$ est

$$x(t) = A\, \cos(\omega_0 t + \varphi_0),$$

où $A \geq 0$ est l'amplitude et $\varphi_0$ la phase initiale (déterminées par les conditions initiales $x(0) = x_0$ et $\dot{x}(0) = v_0$).

Statut — Admis (M4). La solution $x(t) = A\cos(\omega_0 t + \varphi_0)$ est admise en PCSI : sa dérivation complète utilise la résolution des équations différentielles linéaires du second ordre (chapitre M4). Il faut savoir la vérifier en la réinjectant dans l'ED et déterminer $A$ et $\varphi_0$ à partir des conditions initiales.

Conditions initiales.

• $x(0) = x_0$ donne $A\cos\varphi_0 = x_0$.
• $\dot{x}(0) = v_0$ donne $-A\omega_0 \sin\varphi_0 = v_0$.

Donc $A = \sqrt{x_0^2 + \dfrac{v_0^2}{\omega_0^2}}$ et $\tan\varphi_0 = -\dfrac{v_0}{\omega_0 x_0}$ (avec le quadrant correct).

Vitesse et accélération.

$$\dot{x}(t) = -A\omega_0\, \sin(\omega_0 t + \varphi_0), \qquad \ddot{x}(t) = -A\omega_0^2\, \cos(\omega_0 t + \varphi_0) = -\omega_0^2\, x(t).$$

L'accélération est proportionnelle au déplacement (de sens opposé) : c'est la signature de l'oscillateur harmonique.

Période. La période propre est $T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ ; elle ne dépend pas de l'amplitude (isochronisme).

5. Énergie mécanique

L'énergie cinétique est $E_c = \dfrac{1}{2} m\, \dot{x}^2$ et l'énergie potentielle élastique est $E_p = \dfrac{1}{2} k\, x^2$ (choix de référence $x = 0$). L'énergie mécanique est

$$E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2} m\, \dot{x}^2 + \frac{1}{2} k\, x^2.$$

Conservation. En l'absence de frottement, $E_m$ est constante :

$$\frac{dE_m}{dt} = m\, \dot{x}\, \ddot{x} + k\, x\, \dot{x} = \dot{x}\, (m\, \ddot{x} + k\, x) = 0$$

(par l'équation différentielle $m\, \ddot{x} + k\, x = 0$). La valeur de $E_m$ est $E_m = \dfrac{1}{2} k\, A^2$ (en utilisant $\dot{x} = -A\omega_0 \sin(\cdot)$ et $x = A\cos(\cdot)$).

Échanges d'énergie. L'énergie oscille entre cinétique (maximale en $x = 0$, $E_c = E_m$) et potentielle (maximale en $x = \pm A$, $E_p = E_m$) ; la somme est constante.

6. Portrait de phase

Le portrait de phase est la courbe $(x(t), \dot{x}(t))$ dans le plan $(x, \dot{x})$. Pour l'oscillateur harmonique, c'est une ellipse :

$$\frac{x^2}{A^2} + \frac{\dot{x}^2}{A^2 \omega_0^2} = 1.$$

Le sens de parcours est horaire (pour $x(0) > 0$, $\dot{x}(0) < 0$). Le portrait de phase est l'outil de base pour étudier les oscillateurs (amortis, forcés) : il visualise l'évolution temporelle sans le temps (le temps est « replié »).

Exemple (conditions initiales). Soit $x(0) = 1\,\text{m}$, $\dot{x}(0) = 0$, $m = 1\,\text{kg}$, $k = 4\,\text{N/m}$. On a $\omega_0 = \sqrt{4/1} = 2\,\text{rad/s}$, $T_0 = 2\pi/2 = \pi\,\text{s}$. Les conditions initiales donnent $A = 1\,\text{m}$, $\varphi_0 = 0$ ; donc $x(t) = \cos(2t)$, $\dot{x}(t) = -2\sin(2t)$. L'énergie mécanique est $E_m = \dfrac{1}{2} k A^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2\,\text{J}$.

7. Superposition et battements (introduction)

L'équation de l'oscillateur harmonique étant linéaire, la superposition de deux solutions est solution : si $x_1(t)$ et $x_2(t)$ sont solutions, alors $x_1(t) + x_2(t)$ est solution. Cette propriété est à la base des battements (superposition de deux oscillations de pulsations proches).

Exemple (battements). La somme de deux oscillations de même amplitude et de pulsations proches $\omega_1$ et $\omega_2$ est

$$x(t) = \cos(\omega_1 t) + \cos(\omega_2 t) = 2\cos\!\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}\, t\right) \cos\!\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}\, t\right),$$

c'est-à-dire une oscillation de pulsation $\dfrac{\omega_1 + \omega_2}{2}$ modulée par une enveloppe de pulsation $\dfrac{|\omega_1 - \omega_2|}{2}$ : c'est le phénomène de battement (fréquence de battement $f_{\text{bat}} = |f_1 - f_2|$).

Capacités exigibles

• P1.1.oscillateur-harmonique — Établir l'équation de l'oscillateur harmonique : appliquer la loi de Newton (2ᵉ loi) pour obtenir $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$, identifier $\omega_0 = \sqrt{k/m}$, et intégrer avec les conditions initiales pour obtenir $x(t) = A\cos(\omega_0 t + \varphi_0)$.

Ce qui tombe en colle et en DS

Établir l'équation à partir de la loi de Newton et l'intégrer avec conditions initiales : c'est l'exercice type de l'oscillateur harmonique (système masse-ressort horizontal ou vertical, pendule petit angle). Il faut savoir :

• Choisir le bon référentiel et l'axe.
• Écrire la force de rappel ($-kx$) et appliquer la 2ᵉ loi de Newton.
• Identifier $\omega_0$ et la période $T_0 = 2\pi/\omega_0$.
• Déterminer $A$ et $\varphi_0$ à partir des conditions initiales.
• Calculer l'énergie mécanique et vérifier sa conservation.

Pièges classiques

• La pulsation $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ ne dépend pas de l'amplitude : l'oscillateur harmonique est isochrone (la période est indépendante de l'amplitude) ; c'est une propriété spécifique de l'oscillateur harmonique (pas des oscillateurs anharmoniques).
• La phase initiale $\varphi_0$ dépend des conditions initiales : il ne faut pas oublier de la déterminer (à partir de $x(0)$ et $\dot{x}(0)$) ; une solution sans phase est incomplète.
• L'énergie mécanique est constante, pas l'énergie cinétique : $E_c$ et $E_p$ oscillent, mais leur somme $E_m$ est constante ; il ne faut pas confondre les deux.
• Le portrait de phase est une ellipse, pas un cercle : l'ellipse est de demi-axes $A$ (en $x$) et $A\omega_0$ (en $\dot{x}$) ; elle n'est un cercle que si $\omega_0 = 1$.
• Position d'équilibre : allongement du ressort : dans un système vertical, la longueur du ressort à l'équilibre n'est pas la longueur à vide $\ell_0$, mais $\ell_0 + mg/k$ (l'allongement d'équilibre vaut $mg/k$) ; il faut choisir l'origine à l'équilibre pour que l'équation soit $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$.
• Petit angle pour le pendule : l'oscillateur harmonique ne s'applique au pendule que pour les petits angles ($\sin\theta \approx \theta$) ; pour les grands angles, l'oscillateur est anharmonique (la période dépend de l'amplitude).

Graphe de référence

La position $x(t) = A\cos(\omega_0 t)$ (avec $A = 1$, $\omega_0 = 1$) et la vitesse $\dot{x}(t) = -A\omega_0\sin(\omega_0 t)$ : les deux courbes sont déphasées de $\pi/2$ (la vitesse est en avance de phase sur la position). L'énergie cinétique $\propto \sin^2$ et l'énergie potentielle $\propto \cos^2$ sont complémentaires (somme constante).

Pour aller plus loin

Ce chapitre n'a pas de renvoi spécifique dans la table du §4 de l'annexe Ressources, exercices et annales (programme non explicitement couvert par les thèmes recensés) — voir la page générale pour les manuels recommandés, les banques d'exercices gratuites et les annales par matière.