P4.1 — Champ magnétique

Objectif du chapitre. Étudier le champ magnétique $\vec{B}$ : ses sources (courants, aimants), ses lignes de champ et cartes de champ, les ordres de grandeur, le moment magnétique, le champ créé par un aimant et par une bobine (qualitativement), et les symétries. L'objectif est de savoir décrire le champ magnétique d'une bobine : c'est l'exercice type du chapitre.

Notions

1. Sources du champ magnétique

Le champ magnétique $\vec{B}$ (en tesla, $1\,\text{T} = 1\,\mathrm{N/(A·m)}$) est créé par :

• Les courants électriques (charges en mouvement) : c'est la source fondamentale (loi de Biot-Savart-Ampère). Un fil parcouru par un courant crée un champ circulaire autour du fil ; une bobine crée un champ axial (le long de l'axe).
• Les aimants permanents (matériaux ferromagnétiques) : le champ est dû aux courants microscopiques (spin des électrons, moments magnétiques alignés).

Point crucial. Le champ magnétique est un champ vectoriel $\vec{B}$ ; il est perpendiculaire à la vitesse d'une charge en mouvement (force de Lorentz, chapitre P2.4) et n'exerce pas de travail sur une charge (il ne modifie que la direction de la vitesse). Le produit vectoriel $\vec{u} \times \vec{v}$ utilisé dans ces formules est défini dans l'annexe Outils mathématiques.

2. Lignes de champ et cartes de champ

Les lignes de champ sont les courbes tangentes en chaque point au vecteur $\vec{B}$ ; leur densité est proportionnelle à l'intensité $|\vec{B}|$ (plus de lignes = champ plus fort).

Propriétés des lignes de champ magnétique.

• Les lignes de champ sont des courbes fermées (elles partent du pôle Nord et reviennent au pôle Sud d'un aimant, à l'extérieur) ; il n'y a pas de monopôle magnétique (pas de « charge magnétique » isolée) : le flux de $\vec{B}$ à travers toute surface fermée est nul (pas de source ni de puits).

(le flux magnétique $Phi$ est défini en ch23).

• Les lignes de champ ne se coupent jamais (un point a un seul vecteur $\vec{B}$).
• Les lignes de champ sont plus denses près des pôles (champ fort) et plus espacées loin (champ faible).

Carte de champ. Une carte de champ est la représentation graphique des lignes de champ (sur un plan) ; elle permet de visualiser la direction et l'intensité du champ.

Exemples de cartes.

• Aimant droit (barre) : lignes fermées partant du Nord au Sud (à l'extérieur), plus denses aux pôles.
• Bobine (solénoïde) : lignes axiales à l'intérieur (champ uniforme le long de l'axe), retour à l'extérieur (lignes fermées).
• Terre : champ dipolaire (comme un aimant incliné), plus fort aux pôles magnétiques ($\sim 60\,\mu\text{T}$) que à l'équateur ($\sim 30\,\mu\text{T}$).

3. Ordres de grandeur

Champ	Intensité
Champ terrestre	$\sim 50\,\mu\text{T}$ ($5 \times 10^{-5}\,\text{T}$)
Aimant de réfrigérateur	$\sim 1\,\text{mT}$ ($10^{-3}\,\text{T}$)
Aimant permanent (néodyme)	$\sim 0{,}1$ à $1\,\text{T}$ (en surface)
Bobine de laboratoire	$\sim 1\,\text{mT}$ à $1\,\text{T}$ (selon le courant)
IRM (imagerie médicale)	$1{,}5$ à $3\,\text{T}$
Tokamak (fusion)	$\sim 10$ à $20\,\text{T}$
Record continu (laboratoire)	$\sim 45\,\text{T}$
Record pulsé (laboratoire)	$\sim 1000\,\text{T}$ (microsecondes)

Exemple (solénoïde). Bobine solénoïde de $n = 1000\,\text{spires/m}$, parcourue par $I = 1\,\text{A}$ : $B = \mu_0 n I = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 1 = 1{,}26\,\text{mT}$ (champ uniforme à l'intérieur, négligeable à l'extérieur).

Exemple (toroïde). Bobine torique de $N = 500$ spires, rayon $r = 10\,\text{cm}$, $I = 1\,\text{A}$ : $B = \mu_0 N I/(2\pi r) = 1{,}0\,\text{mT}$ (champ confiné à l'intérieur du tore, nul à l'extérieur).

4. Moment magnétique

Le moment magnétique $\vec{m}$ (ou dipôle magnétique) d'une bobine de $N$ spires de surface $S$ parcourue par un courant $I$ est

$$\vec{m} = N I S\, \vec{n},$$

où $\vec{n}$ est le vecteur normal à la bobine (sens donné par la règle de la main droite : doigts dans le sens du courant, pouce dans le sens de $\vec{m}$). L'unité est l'A·m².

Interprétation. Le moment magnétique caractérise la force du dipôle magnétique (comme la charge caractérise un dipôle électrique) ; un aimant permanent a un moment magnétique dû aux courants microscopiques (spin des électrons). Le couple subi par une bobine dans un champ $\vec{B}$ est $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ (c'est le principe du moteur et du galvanomètre).

5. Champ créé par un aimant et une bobine (qualitatif)

Aimant. Un aimant est un dipôle magnétique : il a un pôle Nord et un pôle Sud ; le champ est plus fort aux pôles et diminue avec la distance (en $1/r^3$ à grande distance, comme un dipôle). On ne peut pas séparer les pôles (couper un aimant donne deux aimants, chacun avec un Nord et un Sud).

Constante de perméabilité magnétique du vide. Les formules de champ ci-dessous font intervenir $\mu_0$, la perméabilité magnétique du vide, qui est une constante physique fondamentale (comme $c$ ou $k$) : $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\text{N/A}^2$ (en SI). Elle joue le même rôle que $\varepsilon_0$ en électrostatique.

Bobine (solénoïde). Une bobine parcourue par un courant crée un champ axial (le long de l'axe) ; à l'intérieur, le champ est uniforme et parallèle à l'axe ; à l'extérieur, les lignes de champ retournent (lignes fermées). Le champ est proportionnel au courant $I$ et au nombre de spires $n$ : $B = \mu_0 n I$ (solénoïde long).

Symétries.

• Bobine solénoïde : symétrie cylindrique (invariant par rotation autour de l'axe) → le champ est axial et ne dépend que du rayon $r$ (pas de l'angle $\theta$ ni de la position $z$ le long de l'axe, pour un solénoïde infini).
• Fil infini : symétrie cylindrique → le champ est circulaire (perpendiculaire au fil et au rayon), $B = \mu_0 I/(2\pi r)$.
• Aimant droit : symétrie axiale (plan de symétrie) → le champ est axial (parallèle à l'axe de l'aimant) sur l'axe ; au centre de l'aimant, il est perpendiculaire à l'axe (dans le plan médiateur).

Utilité des symétries. Les symétries permettent de déduire la direction du champ (sans calcul) et de simplifier les calculs (le champ ne dépend que d'une seule variable) : c'est l'outil clé pour décrire le champ d'une bobine ou d'un fil.

Statut des formules de champ — Admis (Ampère, 2ᵉ année). Les trois formules de champ (solénoïde $B = \mu_0 n I$, fil infini $B = \mu_0 I/(2\pi r)$, toroïde $B = \mu_0 N I/(2\pi r)$) sont admises en PCSI : leur démonstration complète utilise le théorème d'Ampère (2ᵉ année). Il faut savoir les appliquer et justifier la direction par la symétrie ; la démonstration par le théorème d'Ampère est un complément de 2ᵉ année.

6. Champ de la Terre et applications

Le champ magnétique terrestre est un dipôle (comme un aimant incliné de $\sim 11^\circ$ par rapport à l'axe de rotation) : il est plus fort aux pôles magnétiques ($\sim 60\,\mu\text{T}$) que à l'équateur ($\sim 30\,\mu\text{T}$). Le pôle Sud magnétique de la Terre (c'est-à-dire la région où le champ terrestre est vertical et vers le bas) est près du pôle Nord géographique (au Canada) ; le pôle Nord magnétique est près de l'Antarctique.

Applications.

• Boussole : une aiguille aimantée s'oriente selon le champ terrestre ; son extrémité Nord (celle qu'on « peint en rouge ») pointe vers le Nord géographique, c'est-à-dire vers la région du pôle Sud magnétique de la Terre (les pôles opposés s'attirent).
• Effet Hall (complément hors programme) : une plaque conductrice d'épaisseur $e$ parcourue par un courant $I$, placée dans un champ magnétique $B$, développe une tension de Hall $V_H = \dfrac{IB}{nqe}$ (l'épaisseur $e$ est au dénominateur) : c'est le principe des capteurs de champ magnétique (sonde de Hall).
• Spectromètre de masse et accélérateurs : le champ magnétique courbe les trajectoires des particules chargées (chapitre P2.4) ; c'est le principe de la séparation par $m/q$ et du confinement (tokamak).

Capacités exigibles

• P4.1.champ-magnetique — Décrire le champ magnétique d'une bobine : identifier les lignes de champ (axiales à l'intérieur, fermées à l'extérieur), l'intensité ($B = \mu_0 n I$ pour un solénoïde), la direction (axiale, sens donné par la règle de la main droite), et les symétries (cylindrique → champ axial, ne dépend que de $r$).

Pièges classiques

• Lignes de champ fermées : les lignes de champ magnétique sont toujours fermées (pas de monopôle) ; il ne faut pas les confondre avec les lignes de champ électrique (qui partent des charges positives et reviennent aux négatives, pas fermées).
• Champ nul à l'extérieur d'un solénoïde infini : pour un solénoïde infini, le champ est uniforme à l'intérieur et nul à l'extérieur ; pour un solénoïde fini, le champ déborde à l'extérieur (lignes de champ fermées) ; il ne faut pas supposer un champ nul à l'extérieur d'une bobine finie.
• Sens du champ (règle de la main droite) : pour une bobine, le sens du champ est donné par la règle de la main droite (doigts dans le sens du courant, pouce dans le sens de $\vec{B}$) ; il ne faut pas se tromper de sens (le champ entre par le pôle Sud et sort par le pôle Nord, à l'intérieur de la bobine).
• Moment magnétique : $\vec{m} = N I S\, \vec{n}$ (produit du courant, du nombre de spires et de la surface) ; le couple est $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ (nul si $\vec{m} \parallel \vec{B}$, maximal si $\vec{m} \perp \vec{B}$) ; il ne faut pas confondre le moment magnétique avec le flux magnétique.
• Ordres de grandeur : le champ terrestre est $\sim 50\,\mu\text{T}$ (très faible) ; un aimant de laboratoire est $\sim 1\,\text{mT}$ à $1\,\text{T}$ ($10^4$ à $10^7$ fois plus fort) ; une IRM est $\sim 1{,}5$ à $3\,\text{T}$ ; il ne faut pas confondre les unités (T, mT, $\mu$T).
• Symétries : les symétries permettent de déduire la direction du champ (pas l'intensité) ; pour un solénoïde, la symétrie cylindrique donne un champ axial (pas radial) ; pour un fil, elle donne un champ circulaire (pas axial) ; il ne faut pas mélanger les symétries.

Graphe de référence

Champ magnétique $B = \mu_0 n I$ d'un solénoïde ($n = 1000\,\text{spires/m}$) en fonction du courant $I$. La courbe est linéaire (pente $\mu_0 n$) : pour $I = 1\,\text{A}$, $B = 1{,}26\,\text{mT}$ ; pour $I = 5\,\text{A}$, $B = 6{,}28\,\text{mT}$ ; pour $I = 10\,\text{A}$, $B = 12{,}6\,\text{mT}$. Le champ est proportionnel au courant (linéarité de la magnétostatique).

Pour aller plus loin

Ce chapitre n'a pas de renvoi spécifique dans la table du §4 de l'annexe Ressources, exercices et annales (programme non explicitement couvert par les thèmes recensés) — voir la page générale pour les manuels recommandés, les banques d'exercices gratuites et les annales par matière.