P4.3 — Lois de l'induction

Objectif du chapitre. Étudier les lois de l'induction : le flux magnétique $\Phi$, la loi de Faraday $e = -\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}$, la loi de Lenz (modération, sens de la fem), la force électromotrice induite (fem), et les deux mécanismes d'induction (champ variable et mouvement du circuit). L'objectif est de savoir appliquer la loi de Faraday : c'est l'exercice type du chapitre.

L'intégrale de surface (flux) $\iint$ est définie dans l'annexe Outils mathématiques.

Notions

1. Flux magnétique

Le flux magnétique $\Phi$ à travers une surface $S$ (orientée par le vecteur normal $\vec{n}$) est

$$\Phi = \int_S \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}.$$

Pour un champ uniforme $\vec{B}$ et une surface plane de aire $S$ : $\Phi = \vec{B} \cdot \vec{S} = B S \cos\theta$ (en webers, $\text{Wb} = \mathrm{T·m}^2$), où $\theta$ est l'angle entre $\vec{B}$ et la normale $\vec{n}$ à la surface.

Règle d'orientation (main droite). Le signe du flux (et donc de la fem de Faraday) dépend de l'orientation de la surface : on choisit une normale $\vec{n}$, et le sens positif du contour de la surface est donné par la règle de la main droite (doigts dans le sens du contour, pouce dans le sens de $\vec{n}$). La fem induite $e = -\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}$ est positive si elle circule dans le sens positif du contour (celui associé à $\vec{n}$). C'est ce qui rend le signe de Faraday utilisable : sans cette convention d'orientation, on ne peut pas déterminer le sens du courant induit.

Propriétés.

• $\Phi$ est maximal si $\vec{B} \parallel \vec{n}$ ($\theta = 0$) : $\Phi = BS$.
• $\Phi = 0$ si $\vec{B} \perp \vec{n}$ ($\theta = 90^\circ$) : le champ est dans le plan de la surface (pas de flux).
• Pour une bobine de $N$ spires : le flux total est $N\Phi$ (le flux de chaque spire s'additionne).

Exemple. Bobine de $S = 100\,\text{cm}^2 = 10^{-2}\,\text{m}^2$ dans $B = 0{,}5\,\text{T}$ : pour $\theta = 0$, $\Phi = 0{,}5 \times 10^{-2} = 5 \times 10^{-3}\,\text{Wb}$ ; pour $\theta = 60^\circ$, $\Phi = 5 \times 10^{-3} \times \cos 60^\circ = 2{,}5 \times 10^{-3}\,\text{Wb}$ ; pour $\theta = 90^\circ$, $\Phi = 0$.

2. Loi de Faraday

La loi de Faraday s'écrit : la force électromotrice (fem) induite dans un circuit est

$$\boxed{e = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}}$$

(pour une spire ; pour une bobine de $N$ spires : $e = -N\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}$).

Interprétation. Une variation du flux à travers un circuit crée une fem (et donc un courant induit si le circuit est fermé). La fem est proportionnelle à la vitesse de variation du flux (pas au flux lui-même) : un flux constant (même grand) ne crée pas de fem.

Deux mécanismes d'induction.

1. Champ variable (circuit fixe) : $\vec{B}(t)$ varie → $\Phi$ varie → fem (ex. transformateur, chapitre P4.4).
2. Mouvement du circuit (champ stationnaire) : le circuit se déplace ou tourne dans un champ constant → $\Phi$ varie → fem (ex. générateur, rails de Laplace, chapitre P4.5).

Exemple (champ variable). Bobine de $N = 100$ spires, $S = 10^{-2}\,\text{m}^2$, dans un champ qui passe de $0$ à $0{,}5\,\text{T}$ en $0{,}01\,\text{s}$ (variation linéaire) : $e = -N S \dfrac{\Delta B}{\Delta t} = -100 \times 10^{-2} \times \dfrac{0{,}5}{0{,}01} = -5\,\text{V}$ (fem de $5\,\text{V}$, le signe moins donne le sens de Lenz).

Exemple (mouvement). Barre conductrice de longueur $L = 10\,\text{cm}$ glissant sur des rails dans un champ $B = 0{,}5\,\text{T}$ (perpendiculaire), à la vitesse $v = 2\,\text{m/s}$ : la fem de mouvement (de Lorentz) est $e = B L v = 0{,}5 \times 0{,}1 \times 2 = 0{,}1\,\text{V}$ (le flux varie parce que l'aire du circuit augmente : $\Phi = B L x$, $\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = B L \dot{x} = B L v$).

3. Loi de Lenz (modération)

La loi de Lenz donne le sens de la fem induite (le signe moins de Faraday) : le courant induit s'oppose à la cause qui le produit (la variation de flux).

Formulation. Le courant induit crée un champ magnétique qui s'oppose à la variation du flux initial :

• Si le flux augmente, le courant induit crée un champ opposé (pour ralentir l'augmentation).
• Si le flux diminue, le courant induit crée un champ dans le même sens (pour ralentir la diminution).

Conséquence (modération). L'induction est un phénomène modérateur : elle freine toujours la cause (c'est le principe du frein à induction, du moteur (contre-électromotrice) et du générateur (force de Laplace qui s'oppose au mouvement)). C'est une conséquence de la conservation de l'énergie : si l'induction aidait la cause, on aurait une énergie créée de rien (impossible).

Exemple. Un aimant qui s'approche d'une boucle (flux augmente) : le courant induit crée un champ opposé à l'aimant (la face de la boucle repousse l'aimant) ; si l'aimant s'éloigne (flux diminue), le courant induit crée un champ attirant (la boucle attire l'aimant). Dans les deux cas, la boucle s'oppose au mouvement de l'aimant.

4. Force électromotrice induite (fem)

La fem $e$ est la tension créée par l'induction (en volts). Si le circuit est fermé (résistance $R$), le courant induit est $i = e/R = -\dfrac{1}{R}\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}$.

Puissance. La puissance induite est $P = e i = -i \dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}$ ; elle est négative (le circuit reçoit de l'énergie mécanique pour fournir de l'énergie électrique, ou l'inverse) : c'est le bilan énergétique de l'induction (conservation de l'énergie).

Exemple (générateur). Bobine de $N = 100$ spires, $S = 10^{-2}\,\text{m}^2$, tournant à $\omega = 100\,\text{rad/s}$ dans $B = 0{,}5\,\text{T}$ : le flux est $\Phi(t) = N B S \cos(\omega t)$ ; la fem est $e(t) = -\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = N B S \omega \sin(\omega t) = 100 \times 0{,}5 \times 10^{-2} \times 100 \sin(100t) = 50 \sin(100t)\,\text{V}$ (fem sinusoïdale de valeur crête $50\,\text{V}$ et de fréquence $f = \omega/(2\pi) = 15{,}9\,\text{Hz}$). C'est le principe du générateur alternatif (dynamo, alternateur).

5. Applications

Transformateur. Un transformateur (deux bobines couplées par un noyau ferromagnétique) transforme la tension : $U_2/U_1 = N_2/N_1$ (rapport des tensions = rapport du nombre de spires) ; c'est le principe de la distribution d'électricité (tension élevée pour la transmission, abaissée pour l'utilisation). Le transformateur est traité en détail dans le chapitre P4.4 (circuit fixe dans un champ variable).

Frein à induction. Un disque conducteur en rotation dans un champ magnétique radial subit des courants de Foucault (induction) qui créent une force de Laplace opposée au mouvement (frein) : c'est le principe des freins à induction (montagnes russes, machines-outils, ascenseurs).

Détecteur de métaux. Un détecteur de métaux crée un champ magnétique variable ; si un métal (conducteur) est proche, des courants de Foucault sont induits, qui créent un champ qui modifie le champ initial : la variation est détectée (alarme).

Induction dans les cuisines. La cuisson par induction : un champ magnétique variable (haute fréquence) induit des courants de Foucault dans la poêle (métallique) ; la résistance de la poêle chauffe (effet Joule) : c'est le principe des plaques à induction.

Capacités exigibles

• P4.3.faraday — Appliquer la loi de Faraday : écrire $e = -\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$ (ou $e = -N\,\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$ pour une bobine), calculer le flux $\Phi = BS\cos\theta$ (ou $\Phi = B S_{\text{eff}}$), dériver pour trouver la fem, et utiliser la loi de Lenz pour le sens du courant induit (le courant s'oppose à la variation de flux).

Pièges classiques

• Fem proportionnelle à la variation du flux, pas au flux : $e = -\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$ ; un flux constant (même grand) ne crée pas de fem ; il faut une variation du flux ; il ne faut pas confondre $\Phi$ (flux) et $\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$ (vitesse de variation).
• Signe moins (loi de Lenz) : le signe moins de Faraday donne le sens de la fem (loi de Lenz) ; il ne faut pas l'oublier (il donne le sens du courant induit, qui s'oppose à la cause) ; pour le module de la fem, on prend $|e| = |\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t|$.
• Flux : angle avec la normale : $\Phi = BS\cos\theta$ où $\theta$ est l'angle entre $\vec{B}$ et la normale $\vec{n}$ (pas avec la surface) ; si $\vec{B}$ est parallèle à la surface, $\theta = 90^\circ$ et $\Phi = 0$ ; il ne faut pas confondre l'angle avec la normale et l'angle avec la surface.
• Deux mécanismes d'induction : le flux peut varier par champ variable (circuit fixe) ou par mouvement du circuit (champ stationnaire) ; les deux donnent la même fem (Faraday) ; il ne faut pas oublier le mouvement (ex. barre glissante : $\Phi = B L x$, $\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t = B L v$).
• Loi de Lenz : opposition à la variation : le courant induit s'oppose à la variation du flux (pas au flux) ; si le flux augmente, le courant crée un champ opposé ; si le flux diminue, le courant crée un champ dans le même sens ; il ne faut pas confondre « s'opposer au flux » et « s'opposer à la variation du flux ».
• Fem de mouvement : pour une barre glissante, $e = B L v$ (pas $B L$) ; la fem dépend de la vitesse $v$ (pas seulement de $B$ et $L$) ; si la barre est au repos ($v = 0$), pas de fem (pas de variation de flux).

Graphe de référence

Fem induite $e(t) = E_0 \sin(\omega t)$ d'un générateur (bobine de $N = 100$ spires, $S = 10^{-2}\,\text{m}^2$, tournant à $\omega = 100\,\text{rad/s}$ dans $B = 0{,}5\,\text{T}$) : $E_0 = N B S \omega = 50\,\text{V}$. La courbe est sinusoïdale : la fem est nulle quand la bobine est parallèle au champ ($\Phi$ maximal, $\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t = 0$) et maximale quand la bobine est perpendiculaire au champ ($\Phi = 0$, $\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$ maximal).

Pour aller plus loin

Ce chapitre n'a pas de renvoi spécifique dans la table du §4 de l'annexe Ressources, exercices et annales (programme non explicitement couvert par les thèmes recensés) — voir la page générale pour les manuels recommandés, les banques d'exercices gratuites et les annales par matière.