P3.4 — Machines thermiques

Objectif du chapitre. Étudier les machines thermiques (moteurs, pompes à chaleur, réfrigérateurs) : la machine ditherme (deux réservoirs à $T_h$ et $T_c$), l'inégalité de Clausius, le rendement du moteur, l'efficacité (COP) de la pompe à chaleur et du réfrigérateur, le rendement de Carnot (majorant), et les cycles (Carnot, et exemples industriels sur diagrammes). L'objectif est de savoir appliquer les deux principes sur un cycle pour majorer le rendement : c'est l'exercice type du chapitre.

Notions

1. Machine ditherme

Une machine thermique est un système qui transforme de la chaleur en travail (moteur) ou inversement (pompe à chaleur, réfrigérateur), en échangeant de l'énergie avec deux réservoirs thermiques : un chaud ($T_h$) et un froid ($T_c$), avec $T_h > T_c$.

Conventions.

• $Q_h$ : chaleur reçue du réservoir chaud ($> 0$ si reçue).
• $Q_c$ : chaleur cédée au réservoir froid ($< 0$ si cédée, ou on note $|Q_c|$ la chaleur cédée).
• $W$ : travail fourni par la machine ($> 0$ si fourni).

Attention — convention de signe de $W$ (différente de ch17). En ch17 (premier principe), $W$ est le travail reçu par le système ($W > 0$ si compression) et $\Delta U = W + Q$. Ici, en ch19 (machines thermiques), $W$ est le travail fourni par la machine ($W > 0$ si la machine travaille), d'où $W = Q_h - |Q_c|$. Les deux conventions sont opposées : ne pas mélanger les signes.

Bilan énergétique (premier principe) sur un cycle ($\Delta U = 0$) :

$$W = Q_h + Q_c \quad \text{(avec } Q_c < 0\text{)}, \qquad \text{ou} \qquad W = Q_h - |Q_c|.$$

2. Inégalité de Clausius

L'inégalité de Clausius (conséquence du second principe) s'écrit, pour une machine ditherme fonctionnant entre $T_h$ et $T_c$ :

$$\frac{Q_h}{T_h} + \frac{Q_c}{T_c} \leq 0,$$

où $Q_h$ et $Q_c$ sont les chaleurs reçues par la machine (donc $Q_c < 0$). L'égalité correspond à une machine réversible (Carnot) ; l'inégalité à une machine irréversible.

Démonstration (second principe). Le bilan entropique de l'univers (les deux réservoirs) est $\Delta S_{\text{univers}} = -\dfrac{Q_h}{T_h} - \dfrac{Q_c}{T_c} \geq 0$ (l'entropie de l'univers augmente), d'où $\dfrac{Q_h}{T_h} + \dfrac{Q_c}{T_c} \leq 0$.

Exemple (Carnot réversible). $T_h = 500\,\text{K}$, $T_c = 300\,\text{K}$, $Q_h = 1000\,\text{J}$ : pour une machine réversible, $Q_c = -Q_h \cdot T_c/T_h = -600\,\text{J}$ ; $W = Q_h - |Q_c| = 400\,\text{J}$ ; vérification Clausius : $1000/500 + (-600)/300 = 2 - 2 = 0$ (égalité, réversible).

3. Rendement du moteur

Le rendement $\eta$ d'un moteur thermique (machine qui fournit du travail) est le rapport du travail fourni à la chaleur reçue :

$$\eta = \frac{W}{Q_h} = 1 - \frac{|Q_c|}{Q_h}.$$

Rendement de Carnot. Pour une machine réversible (Carnot), $|Q_c|/Q_h = T_c/T_h$, donc le rendement de Carnot est

$$\boxed{\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_c}{T_h}}.$$

C'est le rendement maximal atteignable entre deux réservoirs à $T_h$ et $T_c$ : aucun moteur réel ne peut dépasser $\eta_{\text{Carnot}}$ (second principe).

Exemple. $T_h = 500\,\text{K}$, $T_c = 300\,\text{K}$ : $\eta_{\text{Carnot}} = 1 - 300/500 = 0{,}4 = 40\,\%$ (le rendement maximal est 40 % ; un moteur réel aura un rendement inférieur).

Point crucial. Le rendement de Carnot augmente avec $T_h$ et diminue avec $T_c$ ; il est toujours $< 1$ (sauf $T_c = 0\,\text{K}$ ou $T_h \to \infty$) : il est impossible de convertir toute la chaleur en travail (il faut toujours rejeter de la chaleur vers le froid).

4. Pompe à chaleur et réfrigérateur

Une pompe à chaleur (PAC) et un réfrigérateur sont des machines qui transfèrent de la chaleur du froid vers le chaud (en consommant du travail $W$). Leurs coefficients de performance (COP) sont :

• Pompe à chaleur (on veut chauffer le chaud) : $\text{COP}_{\text{PAC}} = \dfrac{Q_h}{W} = \dfrac{Q_h}{Q_h - |Q_c|}$.
• Réfrigérateur (on veut refroidir le froid) : $\text{COP}_{\text{frigo}} = \dfrac{|Q_c|}{W} = \dfrac{|Q_c|}{Q_h - |Q_c|}$.

COP de Carnot. Pour une machine réversible : $\text{COP}_{\text{PAC}}^{\text{Carnot}} = \dfrac{T_h}{T_h - T_c}$ et $\text{COP}_{\text{frigo}}^{\text{Carnot}} = \dfrac{T_c}{T_h - T_c}$. Ce sont les COP maximaux ; les machines réelles ont un COP inférieur.

Exemple. $T_h = 300\,\text{K}$ (intérieur), $T_c = 270\,\text{K}$ (extérieur) : $\text{COP}_{\text{PAC}}^{\text{Carnot}} = 300/30 = 10$ ; $\text{COP}_{\text{frigo}}^{\text{Carnot}} = 270/30 = 9$ (une PAC réversible pompe $10\,\text{J}$ de chaleur vers l'intérieur pour chaque $1\,\text{J}$ de travail fourni — c'est pourquoi la PAC est plus efficace qu'une résistance électrique, $\text{COP} = 1$).

Lien PAC/frigo. $\text{COP}_{\text{PAC}} = \text{COP}_{\text{frigo}} + 1$ (la PAC pompe la chaleur extraite par le frigo plus le travail fourni).

5. Cycles

Cycle de Carnot. Le cycle de Carnot est le cycle réversible entre $T_h$ et $T_c$, composé de :

1. Détente isotherme à $T_h$ (absorption de $Q_h$).
2. Détente adiabatique (descente de $T_h$ à $T_c$).
3. Compression isotherme à $T_c$ (rejet de $|Q_c|$).
4. Compression adiabatique (remontée de $T_c$ à $T_h$).

Sur le diagramme $(T, s)$, c'est un rectangle ; sur le diagramme $(P, V)$, deux isothermes et deux adiabates. Le rendement est $\eta_{\text{Carnot}} = 1 - T_c/T_h$.

Cycles industriels.

• Cycle de Rankine (centrales thermiques, nucléaires) : cycle humide (vapeur d'eau) avec condensation et vaporisation ; rendement typique $\sim 35\,\%$ à $45\,\%$ (limité par la température de la vapeur, $\sim 500\,\text{K}$ à $600\,\text{K}$ pour le nucléaire (REP), $\sim 800\,\text{K}$ pour le charbon — selon la filière).
• Cycle de Brayton (turbines à gaz, aviation) : cycle sec (air) avec compression et détente isentropiques ; rendement typique $\sim 30\,\%$ à $40\,\%$ (amélioré par préchauffage et double combustion).
• Cycle Otto (moteurs essence) et Diesel (moteurs diesel) : cycles alternatifs (piston) ; rendements typiques $\sim 25\,\%$ à $40\,\%$.

Majoration du rendement. Pour majorer le rendement d'une machine réelle, on utilise le rendement de Carnot (avec les températures des réservoirs) : $\eta \leq \eta_{\text{Carnot}} = 1 - T_c/T_h$. C'est la borne supérieure du second principe.

6. Méthode : appliquer les deux principes sur un cycle

Méthode générale pour majorer le rendement d'une machine thermique :

1. Identifier les deux réservoirs ($T_h$, $T_c$) et les chaleurs $Q_h$ (reçue du chaud) et $Q_c$ (cédée au froid).
2. Premier principe (cycle) : $W = Q_h + Q_c$ (avec $Q_c < 0$), soit $W = Q_h - |Q_c|$.
3. Second principe (inégalité de Clausius) : $Q_h/T_h + Q_c/T_c \leq 0$, soit $|Q_c|/Q_h \geq T_c/T_h$.
4. Rendement : $\eta = W/Q_h = 1 - |Q_c|/Q_h \leq 1 - T_c/T_h = \eta_{\text{Carnot}}$.

Exemple (moteur réel). Moteur fonctionnant entre $T_h = 600\,\text{K}$ et $T_c = 300\,\text{K}$, qui reçoit $Q_h = 2000\,\text{J}$ et cède $|Q_c| = 1200\,\text{J}$ : $W = 800\,\text{J}$, $\eta = 800/2000 = 40\,\%$ ; $\eta_{\text{Carnot}} = 1 - 300/600 = 50\,\%$ ; vérification : $40\,\% \leq 50\,\%$ (cohérent, le moteur est irréversible : $Q_h/T_h + Q_c/T_c = 2000/600 - 1200/300 = 3{,}33 - 4 = -0{,}67 < 0$).

Exemple (PAC réelle). PAC fonctionnant entre $T_h = 300\,\text{K}$ (intérieur) et $T_c = 270\,\text{K}$ (extérieur), qui consomme $W = 100\,\text{J}$ de travail et pompe $Q_c = 200\,\text{J}$ de chaleur de l'extérieur : $Q_h = W + Q_c = 300\,\text{J}$ (chaleur livrée à l'intérieur) ; $\text{COP}_{\text{PAC}} = Q_h/W = 3$ ; $\text{COP}_{\text{PAC}}^{\text{Carnot}} = 300/30 = 10$ ; vérification : $3 \leq 10$ (cohérent, la PAC est irréversible).

Point crucial. La majoration par Carnot est universelle (valable pour toute machine ditherme, réversible ou irréversible) ; c'est la conséquence directe du second principe. Un rendement supérieur à Carnot violerait le second principe (impossible).

Capacités exigibles

• P3.4.carnot — Majorer le rendement d'une machine thermique : appliquer le premier principe ($W = Q_h - |Q_c|$) et le second principe (inégalité de Clausius $Q_h/T_h + Q_c/T_c \leq 0$) sur le cycle pour montrer que $\eta \leq 1 - T_c/T_h$ (rendement de Carnot), et calculer le COP de la PAC / du frigo.

Ce qui tombe en colle et en DS

Appliquer les deux principes sur un cycle pour majorer le rendement : c'est l'exercice type du chapitre (machine thermique). Il faut savoir :

• Appliquer le premier principe sur le cycle complet ($\Delta U = 0$ d'où $W + Q = 0$).
• Identifier la source chaude $T_c$ et la source froide $T_f$ et les chaleurs $Q_c$ (reçue) et $Q_f$ (cédée).
• Calculer le rendement $\eta = -W/Q_c = 1 - Q_f/Q_c$.
• Appliquer le second principe ($\Delta S \geq 0$ sur le cycle) pour obtenir $\eta \leq 1 - T_f/T_c$ (Carnot).
• Reconnaître les transformations d'un cycle de Carnot (2 isothermes + 2 adiabates).

Pièges classiques

• Rendement $< 1$ toujours : le rendement d'un moteur thermique est toujours $< 1$ (il faut rejeter de la chaleur vers le froid) ; il ne faut pas confondre avec le COP (qui peut être $> 1$ pour une PAC ou un frigo).
• COP $> 1$ : le COP d'une PAC ou d'un frigo peut être supérieur à 1 (la machine pompe plus de chaleur qu'elle ne consomme de travail) ; ce n'est pas une violation du premier principe (la chaleur pompée vient du réservoir froid, pas du travail).
• Températures en kelvin : le rendement de Carnot $1 - T_c/T_h$ utilise les températures absolues (en K, pas en $^\circ\text{C}$) ; il ne faut pas utiliser les températures en degrés Celsius (le rapport $T_c/T_h$ serait faux).
• Inégalité de Clausius : $Q_h/T_h + Q_c/T_c \leq 0$ (avec $Q_c < 0$) ; l'égalité est pour une machine réversible (Carnot) ; l'inégalité (strictement négatif) pour une machine irréversible ; il ne faut pas oublier le signe de $Q_c$.
• PAC vs résistance : une PAC a un COP $> 1$ (elle pompe de la chaleur) ; une résistance électrique a un $\text{COP} = 1$ (elle convertit toute l'énergie électrique en chaleur) ; la PAC est plus efficace (elle déplace de la chaleur, pas seulement la produit).
• Cycle de Carnot : c'est le cycle réversible (rendement maximal) ; les cycles réels (Rankine, Brayton, Otto, Diesel) ont un rendement inférieur (irréversibilités : frottement, écart de température, turbulence).

Graphe de référence

Rendement de Carnot $\eta = 1 - T_c/T_h$ en fonction de la température chaude $T_h$ (avec $T_c = 300\,\text{K}$ fixé). La courbe augmente avec $T_h$ et tend vers 1 quand $T_h \to \infty$ ; pour $T_h = 500\,\text{K}$ : $\eta = 40\,\%$ ; pour $T_h = 1000\,\text{K}$ : $\eta = 70\,\%$ ; pour $T_h = 300\,\text{K}$ : $\eta = 0\,\%$ (pas de différence de température, pas de travail).

Pour aller plus loin

Annales utilisables sur ce chapitre (§4 de l'annexe Ressources, exercices et annales) : CCINP Physique 2, Mines PSI Physique 1 (premières questions).

Voir aussi Ressources, exercices et annales pour les manuels recommandés et les banques d'exercices gratuites.