P3.2 — Énergie échangée par un système au cours d'une transformation

Objectif du chapitre. Calculer l'énergie échangée par un système thermodynamique au cours d'une transformation : le travail des forces de pression $W = -\int P_{\text{ext}}\,\mathrm{d}V$, les transferts thermiques $Q$, les transformations usuelles (isotherme, isobare, isochore, adiabatique, monotherme), le premier principe $\Delta U = W + Q$, l'enthalpie $H = U + PV$, les capacités thermiques $C_V$ et $C_P$, et les lois de Laplace pour l'adiabatique réversible d'un gaz parfait. L'objectif est de savoir calculer $W$ et $Q$ pour chaque transformation d'un cycle : c'est l'exercice type du chapitre.

(la notion de réversible est définie en ch18).

Notions

1. Travail des forces de pression

Le travail reçu par le système des forces de pression (travail des parois) est

$$W = -\int_{V_1}^{V_2} P_{\text{ext}}\,\mathrm{d}V.$$

Convention : $W > 0$ si le système reçoit du travail (compression, $\mathrm{d}V < 0$) ; $W < 0$ si le système fournit du travail (détente, $\mathrm{d}V > 0$).

Cas particulier (transformation quasi statique). Si la transformation est quasi statique (le système passe par une succession d'états d'équilibre) et réversible, $P_{\text{ext}} = P_{\text{sys}}$ : $W = -\int P\,\mathrm{d}V$ (l'intégrale se fait le long de la courbe du diagramme $(P, V)$). L'aire sous la courbe $(P, V)$ donne $|W|$ (le signe dépend du sens).

Exemple (isotherme). Détente isotherme réversible de $1\,\text{mol}$ de gaz parfait de $V_1 = 10\,\text{L}$ à $V_2 = 20\,\text{L}$ à $T = 300\,\text{K}$ : $W = -nRT\ln(V_2/V_1) = -8{,}314 \times 300 \times \ln 2 = -1729\,\text{J}$ (le système fournit $1729\,\text{J}$ de travail).

2. Transformations usuelles

Pour un gaz parfait ($PV = nRT$), les transformations usuelles sont :

Transformation	Contrainte	Travail $W$	Chaleur $Q$
Isochore	$V = \text{cste}$	$W = 0$	$Q = nC_V\Delta T$
Isobare	$P = \text{cste}$	$W = -P\Delta V = -nR\Delta T$	$Q = nC_P\Delta T$
Isotherme	$T = \text{cste}$	$W = -nRT\ln(V_2/V_1)$	$Q = -W$ (car $\Delta U = 0$)
Adiabatique	$Q = 0$	$W = +\Delta U = +nC_V\Delta T$	$Q = 0$

Monotherme : transformation effectuée en contact avec une seule source de température $T_0$ (ex. isotherme à la température $T_0$ : le gaz échange de la chaleur avec un seul thermostat).

Exemple (isobare). Chauffage isobare de $1\,\text{mol}$ de gaz diatomique ($C_P = 29{,}1\,\mathrm{J/(mol·K)}$) de $\Delta T = 10\,\text{K}$ : $Q = nC_P\Delta T = 291\,\text{J}$ ; $W = -nR\Delta T = -83{,}1\,\text{J}$ (le gaz fournit du travail) ; $\Delta U = Q + W = 208\,\text{J}$ (vérification : $\Delta U = nC_V\Delta T = 20{,}8 \times 10 = 208\,\text{J}$).

3. Premier principe

Le premier principe de la thermodynamique (bilan énergétique) s'écrit

$$\boxed{\Delta U = W + Q}$$

où $\Delta U$ est la variation d'énergie interne (fonction d'état), $W$ le travail reçu et $Q$ la chaleur reçue. C'est la conservation de l'énergie appliquée à un système thermodynamique.

Notation $\mathrm{d}$ vs $\delta$. L'énergie interne $U$ est une fonction d'état : sa variation ne dépend que des états initial et final, pas du chemin — on note $\mathrm{d}U$ (différentielle exacte). En revanche, la chaleur $Q$ et le travail $W$ sont des transferts qui dépendent du chemin (deux transformations entre les mêmes états peuvent échanger des chaleurs différentes) : ce ne sont pas des fonctions d'état, et on note $\delta Q$ et $\delta W$ (différentielles non exactes). Le premier principe s'écrit alors $\delta Q = \mathrm{d}U + \delta W$ (ou $\mathrm{d}U = \delta Q + \delta W$ selon la convention de signe du travail). C'est pour cela qu'on écrit $\delta Q$ et non $\mathrm{d}Q$.

Point crucial. $U$ est une fonction d'état (ne dépend que des états initial et final) ; $W$ et $Q$ sont des grandeurs de chemin (dépendent de la transformation). Pour un cycle ($\Delta U = 0$) : $W_{\text{cycle}} + Q_{\text{cycle}} = 0$, soit $W_{\text{cycle}} = -Q_{\text{cycle}}$ (le travail fourni par le cycle est égal à la chaleur reçue, moins la chaleur cédée).

Exemple (cycle). Cycle composé d'une détente isobare ($W_1 = -100\,\text{J}$, $Q_1 = +250\,\text{J}$) et d'une compression isochore ($W_2 = 0$, $Q_2 = -150\,\text{J}$) : $\Delta U_1 = 250 - 100 = 150\,\text{J}$, $\Delta U_2 = -150\,\text{J}$ ; $\Delta U_{\text{cycle}} = 0$ (vérification) ; $W_{\text{cycle}} = -100\,\text{J}$ (le cycle fournit $100\,\text{J}$), $Q_{\text{cycle}} = +100\,\text{J}$ (le cycle reçoit $100\,\text{J}$ net).

4. Enthalpie

L'enthalpie est $H = U + PV$ (fonction d'état). Sa variation est $\mathrm{d}H = \mathrm{d}U + \mathrm{d}(PV)$. Pour une transformation isobare quasi statique : $\mathrm{d}H = \mathrm{d}U + P\,\mathrm{d}V = \delta Q$ (car $\mathrm{d}U = \delta Q + W = \delta Q - P\,\mathrm{d}V$) : la chaleur reçue à pression constante est égale à la variation d'enthalpie : $Q_P = \Delta H$.

Pour un gaz parfait : $H = U + nRT = nC_P T$ (fonction de $T$ seulement) ; $\Delta H = nC_P\Delta T$.

Utilité. L'enthalpie est la grandeur naturelle pour les transformations isobares (échange de chaleur à pression constante) et pour les machines (turbines, compresseurs) qui travaillent à pression quasi constante.

5. Capacités thermiques

À volume constant : $C_V = \left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V = \dfrac{Q_V}{\Delta T}$ (toute la chaleur va dans l'énergie interne).

À pression constante : $C_P = \left(\dfrac{\partial H}{\partial T}\right)_P = \dfrac{Q_P}{\Delta T}$ (une partie sert au travail d'expansion).

Relation de Mayer (gaz parfait) : $C_P - C_V = R$ ; $\gamma = C_P/C_V$ (coefficient adiabatique). Pour un gaz monatomique : $C_V = \tfrac{3}{2}R$, $C_P = \tfrac{5}{2}R$, $\gamma = 5/3 \approx 1{,}67$ ; pour un gaz diatomique (air) : $C_V = \tfrac{5}{2}R$, $C_P = \tfrac{7}{2}R$, $\gamma = 7/5 = 1{,}4$.

6. Lois de Laplace (adiabatique réversible du gaz parfait)

L'intégration qui mène aux lois de Laplace est une ED séparable résolue en M4 (chapitre 4 des maths).

Pour une adiabatique réversible ($Q = 0$) d'un gaz parfait, le premier principe donne $\mathrm{d}U = W = -P\,\mathrm{d}V$ ; avec $\mathrm{d}U = nC_V\,\mathrm{d}T$ et $PV = nRT$, on obtient les lois de Laplace :

$$PV^\gamma = \text{cste}, \qquad TV^{\gamma-1} = \text{cste}, \qquad TP^{(\gamma-1)/\gamma} = \text{cste}.$$

Travail adiabatique. $W = +\Delta U = +nC_V(T_2 - T_1)$ (pas besoin d'intégrer $P\,\mathrm{d}V$).

Exemple. Compression adiabatique réversible de $1\,\text{mol}$ d'air ($\gamma = 1{,}4$) de $V_1 = 10\,\text{L}$ à $V_2 = 5\,\text{L}$ (rapport de compression $2$) : $T_2 = T_1 (V_1/V_2)^{\gamma-1} = 300 \times 2^{0{,}4} = 396\,\text{K}$ (la température augmente de $96\,\text{K}$) ; $W = +nC_V(T_2 - T_1) = +20{,}8 \times 96 = +1992\,\text{J}$ (le système reçoit $1992\,\text{J}$ de travail de compression, cohérent avec $W > 0$ pour une compression).

Comparaison isotherme/adiabate. Sur le diagramme $(P, V)$, l'adiabate est plus raide que l'isotherme ($P \propto V^{-\gamma}$ vs $P \propto V^{-1}$, $\gamma > 1$) : pour une détente entre $V_1$ et $V_2$, la pression adiabatique tombe plus vite que la pression isotherme (le gaz se refroidit en se détendant adiabatement), donc le travail fourni par la détente adiabatique est inférieur à celui de la détente isotherme entre les mêmes volumes ; pour une compression entre $V_2$ et $V_1$, c'est l'inverse : le travail reçu est plus grand pour la compression adiabatique (le gaz est « plus pressant »).

Capacités exigibles

• P3.2.premier-principe — Calculer le travail et les transferts d'un cycle : pour chaque transformation, écrire $W = -\int P\,\mathrm{d}V$ (ou la formule usuelle) et $Q$ (via le premier principe $\Delta U = W + Q$ et $\Delta U = nC_V\Delta T$ pour un gaz parfait), puis sommer sur le cycle ($\Delta U_{\text{cycle}} = 0$).

Ce qui tombe en colle et en DS

Calculer $W$ et $Q$ pour chaque transformation d'un cycle : c'est l'exercice type du chapitre (premier principe). Il faut savoir :

• Appliquer $\Delta U = W + Q$ (convention : $W$ le travail reçu par le système) sur chaque transformation.
• Calculer $W$ sur une isobare ($-P\,\Delta V$), une isotherme ($nRT\ln(V_f/V_i)$) et une adiabate ($nC_V\Delta T$).
• Identifier la nature de la transformation (monotherme, isotherme, adiabate, isochore, isobare) à partir du contexte.
• Faire le bilan sur un cycle complet ($\Delta U = 0$ d'où $W + Q = 0$).
• Gérer les signes (reçu/cédé) sans erreur.

Pièges classiques

• Signe du travail : $W = -\int P\,\mathrm{d}V$ ; $W < 0$ pour une détente ($\mathrm{d}V > 0$, le système fournit du travail), $W > 0$ pour une compression ($\mathrm{d}V < 0$, le système reçoit du travail) ; il ne faut pas oublier le signe moins.
• $W$ et $Q$ sont des grandeurs de chemin : elles dépendent de la transformation (pas seulement des états initial et final) ; $U$ est une fonction d'état ; pour un cycle, $\Delta U = 0$ mais $W$ et $Q$ ne sont pas nuls (ils sont opposés).
• Isotherme : $\Delta U = 0$ : pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de $T$ ; donc $\Delta U = 0$ pour une transformation isotherme, et $Q = -W$ (toute la chaleur reçue est convertie en travail) ; il ne faut pas confondre avec l'isobare (où $\Delta U \neq 0$).
• Adiabatique : $Q = 0$ mais $W \neq 0$ : une adiabatique n'est pas une transformation sans travail ; c'est une transformation sans échange de chaleur ; le travail est $W = +\Delta U = +nC_V\Delta T$ (il modifie la température).
• $C_P > C_V$ : la capacité à pression constante est plus grande (il faut fournir de l'énergie supplémentaire pour le travail d'expansion) ; $C_P - C_V = R$ (gaz parfait) ; il ne faut pas les confondre (utiliser $C_V$ pour $\Delta U$, $C_P$ pour $\Delta H$).
• Lois de Laplace : $PV^\gamma = \text{cste}$ (pas $PV = \text{cste}$) ; l'adiabate est plus raide que l'isotherme ; il ne faut pas utiliser $PV = \text{cste}$ pour une adiabatique (c'est l'isotherme).

Graphe de référence

Comparaison isotherme ($P = nRT/V$, $T = 300\,\text{K}$) et adiabate ($P = P_1 V_1^\gamma/V^\gamma$, $\gamma = 1{,}4$, passant par le même point $V_1 = 10\,\text{L}$, $P_1 = 1\,\text{atm}$) sur le diagramme $(P, V)$. L'adiabate est plus raide : pour une même détente, la pression adiabatique est plus basse que la pression isotherme (le gaz se refroidit en se détendant adiabatement).

Pour aller plus loin

Annales utilisables sur ce chapitre (§4 de l'annexe Ressources, exercices et annales) : CCINP Physique 2, Mines PSI Physique 1 (premières questions).

Voir aussi Ressources, exercices et annales pour les manuels recommandés et les banques d'exercices gratuites.