P3.5 — Statique des fluides

Objectif du chapitre. Étudier la statique des fluides (fluides au repos) : la pression $P$ (force par unité de surface), la relation fondamentale de la statique des fluides $\mathrm{d}P = -\rho g\,\mathrm{d}z$ (variation de pression avec la profondeur), l'atmosphère isotherme (pression exponentielle en altitude), la poussée d'Archimède (force sur un corps immergé) et les forces pressantes sur une paroi. L'objectif est de savoir appliquer la poussée d'Archimède : c'est l'exercice type du chapitre.

Notions

1. Pression

La pression $P$ est la force normale exercée par un fluide par unité de surface : $P = F/A$ (en pascals, $1\,\text{Pa} = 1\,\text{N/m}^2$). C'est une grandeur scalaire (pas un vecteur) : elle agit dans toutes les directions (isotrope) et perpendiculairement aux parois.

Ordres de grandeur. La pression atmosphérique au niveau de la mer est $P_0 \approx 1{,}013 \times 10^5\,\text{Pa} = 1\,\text{atm}$ ; à $10\,\text{m}$ de profondeur dans l'eau, $P \approx 2\,\text{atm}$ (la pression augmente d'environ 1 atm par 10 m : 2 atm à 10 m, 3 atm à 20 m…).

Principe de Pascal. Dans un fluide incompressible au repos, une variation de pression appliquée en un point se transmet intégralement à tous les points du fluide ($\Delta P$ constant) : c'est le principe de la presse hydraulique (une petite force sur une petite surface produit une grande force sur une grande surface : $F_2 = F_1 A_2/A_1$).

2. Relation fondamentale de la statique des fluides

Pour un fluide au repos dans un champ de gravité, la pression augmente avec la profondeur : la relation fondamentale est

$$\mathrm{d}P = -\rho\, g\, \mathrm{d}z,$$

où $\rho$ est la masse volumique du fluide et $z$ l'altitude (vers le haut).

Démonstration (3 lignes — à savoir refaire). On isole une tranche de fluide de section $S$ et d'épaisseur $\mathrm{d}z$ (de $z$ à $z+\mathrm{d}z$). Équilibre vertical de la tranche (au repos) : la force pressante vers le haut sur la face inférieure $P(z)\,S$, moins la force pressante vers le bas sur la face supérieure $P(z+\mathrm{d}z)\,S$, moins le poids $\rho\, S\, \mathrm{d}z\, g$ est nulle : $P(z)\,S - P(z+\mathrm{d}z)\,S - \rho\, S\, \mathrm{d}z\, g = 0$. En divisant par $S$ et en remarquant que $P(z+\mathrm{d}z) - P(z) = \mathrm{d}P$ : $\mathrm{d}P = -\rho\, g\, \mathrm{d}z$.

Intégrant (fluide incompressible, $\rho$ constant) :

L'intégration de $\mathrm{d}P = -\rho g\,\mathrm{d}z$ est une ED séparable traitée en M4 (chapitre 4 des maths).

$$P(z) = P_0 + \rho g (z_0 - z) = P_{\text{surface}} + \rho g\, h,$$

où $h$ est la profondeur sous la surface. La pression est la même à une profondeur donnée (indépendante de la forme du récipient) : c'est le paradoxe hydrostatique.

Exemple. À $h = 10\,\text{m}$ de profondeur dans l'eau ($\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$) : $P = P_0 + \rho g h = 1{,}013 \times 10^5 + 1000 \times 9{,}81 \times 10 = 1{,}994 \times 10^5\,\text{Pa} \approx 2\,\text{atm}$.

Fluide compressible (gaz). Pour un gaz (compressible), $\rho$ dépend de $P$ ; la relation fondamentale s'écrit $\mathrm{d}P = -\rho(P) g\,\mathrm{d}z$ (à intégrer avec l'équation d'état du gaz).

3. Atmosphère isotherme

Pour l'atmosphère (gaz parfait) à température constante $T$ (isotherme), la masse volumique est $\rho = PM/(RT)$ (avec $M$ la masse molaire de l'air). La relation fondamentale donne

$$\frac{\mathrm{d}P}{P} = -\frac{Mg}{RT}\,\mathrm{d}z,$$

dont la solution (à $z = 0$, $P = P_0$) est

$$P(z) = P_0\, e^{-z/H}, \qquad H = \frac{RT}{Mg}.$$

Statut — Admis (intégration). L'intégration de $\dfrac{\mathrm{d}P}{P} = -\dfrac{Mg}{RT}\,\mathrm{d}z$ (ED séparable, cf. M4) donne $P(z) = P_0\,e^{-Mgz/(RT)}$ ; la hauteur d'échelle $H = RT/(Mg)$ est admise (résultat standard de l'atmosphère isotherme, à connaître sans re-démonstration).

Hauteur d'échelle. $H = RT/(Mg)$ est la hauteur d'échelle (altitude où la pression est divisée par $e$) : pour l'air ($M = 29\,\text{g/mol}$, $T = 288\,\text{K}$), $H = 8{,}314 \times 288/(0{,}029 \times 9{,}81) = 8{,}4\,\text{km}$.

Exemple. À $z = 5\,\text{km}$ : $P = P_0 e^{-5/8{,}4} = 1{,}013 \times 10^5 \times e^{-0{,}595} = 55{,}9\,\text{kPa}$ (environ la moitié de la pression au niveau de la mer). C'est pourquoi on respire difficilement en haute montagne (pression basse, moins d'oxygène par volume d'air).

4. Poussée d'Archimède

Un corps immergé dans un fluide subit une poussée d'Archimède $\vec{F}_A$ verticale et vers le haut, égale au poids du fluide déplacé :

$$\vec{F}_A = -\rho_{\text{fluide}}\, g\, V_{\text{immergée}}\, \vec{e}_z, \qquad F_A = \rho_{\text{fluide}}\, g\, V_{\text{immergée}}.$$

Démonstration. La poussée est la résultante des forces pressantes du fluide sur la surface du corps ; comme la pression augmente avec la profondeur, la force vers le haut (sur la face inférieure) est plus grande que la force vers le bas (sur la face supérieure) : la résultante est vers le haut et égale au poids du fluide déplacé.

Flottaison. Un corps flotte (partiellement immergé) si sa masse volumique moyenne est inférieure à celle du fluide : $\rho_{\text{corps}} < \rho_{\text{fluide}}$ ; la fraction immergée est $V_{\text{imm}}/V_{\text{tot}} = \rho_{\text{corps}}/\rho_{\text{fluide}}$. Un corps coule si $\rho_{\text{corps}} > \rho_{\text{fluide}}$ (la poussée d'Archimède est inférieure au poids).

Exemple. Un cube de $V = 10\,\text{L} = 10^{-2}\,\text{m}^3$ totalement immergé dans l'eau : $F_A = \rho g V = 1000 \times 9{,}81 \times 10^{-2} = 98{,}1\,\text{N}$ (la poussée vaut $98{,}1\,\text{N}$, soit le poids de $10\,\text{L}$ d'eau). Un bouchon de liège ($\rho = 240\,\text{kg/m}^3$) flotte avec $24\,\%$ de son volume immergé ($\rho_{\text{liège}}/\rho_{\text{eau}} = 240/1000 = 0{,}24$).

Application (baromètre, manomètre). La différence de pression entre deux points d'un fluide est $\Delta P = \rho g \Delta h$ ; c'est le principe du manomètre (mesure de pression par la hauteur d'une colonne de fluide) et du baromètre (mesure de la pression atmosphérique par la hauteur d'une colonne de mercure : $P_0 = \rho_{\text{Hg}} g h$, avec $h \approx 76\,\text{cm}$ pour le mercure).

5. Forces pressantes sur une paroi

La force pressante d'un fluide sur une paroi plane est la résultante des pressions locales ; elle est perpendiculaire à la paroi et appliquée au centre de poussée (plus bas que le centre géométrique, car la pression augmente avec la profondeur).

Paroi verticale rectangulaire. Pour une paroi verticale de hauteur $h$ et de largeur $L$, immergée dans un fluide de masse volumique $\rho$ (surface libre en haut), la force est

$$F = \frac{1}{2}\, \rho g h^2 L,$$

(résultante de la pression triangulaire : nulle en surface, $\rho g h$ en bas). Le centre de poussée est à $\dfrac{2}{3}h$ de la surface (à $\dfrac{1}{3}h$ du fond).

Exemple. Paroi verticale de $h = 2\,\text{m}$, $L = 1\,\text{m}$, immergée dans l'eau : $F = \dfrac{1}{2} \times 1000 \times 9{,}81 \times 4 \times 1 = 19\,620\,\text{N}$ (la force pressante vaut $\approx 20\,\text{kN}$, appliquée à $4/3\,\text{m}$ de la surface). C'est le calcul de dimensionnement des barrages et des coques de navires (la force pressante augmente avec le carré de la profondeur).

Paroi inclinée. Pour une paroi inclinée d'angle $\alpha$ avec l'horizontale, la force est $F = \rho g h_c A$ (avec $h_c$ la profondeur du centre de gravité de la paroi et $A$ sa surface) ; la force est perpendiculaire à la paroi (pas verticale).

Capacités exigibles

• P3.5.archimede — Appliquer la poussée d'Archimède : écrire $F_A = \rho_{\text{fluide}} g V_{\text{immergée}}$ (verticale, vers le haut), la combiner avec le poids $\vec{P}$ et les autres forces (tension, réaction) pour l'équilibre (flottaison, immersion totale), et déterminer la fraction immergée $V_{\text{imm}}/V_{\text{tot}} = \rho_{\text{corps}}/\rho_{\text{fluide}}$.

Pièges classiques

• Poussée d'Archimède : volume immergé : $F_A = \rho_{\text{fluide}} g V_{\text{immergée}}$ utilise le volume immergé (pas le volume total) ; pour un corps flottant (partiellement immergé), $V_{\text{immergée}} < V_{\text{total}}$ ; il ne faut pas utiliser le volume total.
• Flottaison : fraction immergée : $V_{\text{imm}}/V_{\text{tot}} = \rho_{\text{corps}}/\rho_{\text{fluide}}$ (rapport des masses volumiques) ; un corps plus dense que le fluide coule (fraction $> 1$, impossible) ; un corps moins dense flotte (fraction $< 1$) ; il ne faut pas confondre avec le poids (la poussée dépend du volume, pas du poids du corps).
• Pression : profondeur, pas forme : la pression à une profondeur $h$ est $P = P_0 + \rho g h$ indépendamment de la forme du récipient (paradoxe hydrostatique) ; il ne faut pas penser qu'un récipient étroit a une pression plus grande (c'est la hauteur de colonne qui compte, pas la quantité de fluide).
• Force pressante sur une paroi : la force est perpendiculaire à la paroi (pas verticale) et appliquée au centre de poussée (plus bas que le centre géométrique) ; pour une paroi verticale rectangulaire, $F = \tfrac{1}{2}\rho g h^2 L$ (pas $\rho g h L$, qui serait la force si la pression était uniforme) ; il ne faut pas oublier le facteur $1/2$ (pression triangulaire).
• Atmosphère isotherme : la pression décroît exponentiellement avec l'altitude ($P = P_0 e^{-z/H}$) ; l'hauteur d'échelle $H = RT/(Mg)$ est $\approx 8{,}4\,\text{km}$ pour l'air ; il ne faut pas confondre avec la pression linéaire (fluide incompressible) ; l'air est compressible (pression exponentielle), l'eau est incompressible (pression linéaire).
• Poussée d'Archimède dans un fluide compressible : la poussée dépend de la masse volumique locale du fluide (qui varie avec la profondeur pour un gaz) ; pour un liquide (incompressible), $\rho$ est constant ; il ne faut pas utiliser $\rho$ constant pour un gaz (sauf à faible profondeur).

Graphe de référence

Pression atmosphérique $P(z) = P_0 e^{-z/H}$ (atmosphère isotherme, $H = 8{,}4\,\text{km}$) en fonction de l'altitude $z$. La courbe est une exponentielle décroissante : à $z = 0$, $P = P_0 = 101{,}3\,\text{kPa}$ ; à $z = H = 8{,}4\,\text{km}$, $P = P_0/e = 37{,}4\,\text{kPa}$ ; à $z = 5\,\text{km}$, $P = 55{,}9\,\text{kPa}$ (environ la moitié de la pression au niveau de la mer).

Pour aller plus loin

Annales utilisables sur ce chapitre (§4 de l'annexe Ressources, exercices et annales) : CCINP Physique 2, Mines PSI Physique 1 (premières questions).

Voir aussi Ressources, exercices et annales pour les manuels recommandés et les banques d'exercices gratuites.