P1.4 — Introduction au monde quantique

Objectif du chapitre. Introduire la dualité onde-corpuscule : la lumière se comporte parfois comme un corpuscule (photon), les particules matérielles (électrons, atomes) se comportent parfois comme des ondes (relation de de Broglie). L'objectif est de savoir estimer une longueur d'onde de de Broglie et en déduire si un traitement quantique est nécessaire : c'est l'exercice type du chapitre. On étudie aussi l'effet photoélectrique, les interférences de particules, l'inégalité de Heisenberg (ordre de grandeur) et la quantification de l'énergie (puits infini, niveaux atomiques).

Notions

1. Dualité onde-corpuscule

Le photon. La lumière est à la fois une onde (diffraction, interférences — chapitre P1.2) et un flux de quanta d'énergie appelés photons. L'énergie d'un photon de fréquence $\nu$ est

$$E = h\nu = \frac{hc}{\lambda},$$

où $h = 6{,}626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J·s}$ est la constante de Planck. Le photon a aussi une quantité de mouvement

$$p = \frac{h}{\lambda}.$$

La relation de de Broglie. En 1924, de Broglie a généralisé : toute particule de quantité de mouvement $p$ est associée à une onde de longueur d'onde de de Broglie

$$\boxed{\lambda_{\text{dB}} = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}}$$

(pour une particule de masse $m$ et de vitesse $v$, non relativiste). Plus la particule est lourde ou rapide, plus $\lambda_{\text{dB}}$ est petite.

Deux grandeurs utilisées ici. La quantité de mouvement (impulsion) d'une particule de masse $m$ et de vitesse $v$ est $p = m v$ (en kg·m/s) — c'est la même grandeur que la quantité de mouvement de la mécanique (chapitre P2.2). L'électron-volt ($\text{eV}$) est une unité d'énergie : $1\,\text{eV}$ est l'énergie gagnée par une charge $e$ (la charge de l'électron) traversant une différence de potentiel de $1\,\text{V}$ ; $1\,\text{eV} = 1{,}602 \times 10^{-19}\,\text{J}$ (pratique en physique atomique, où les énergies sont de l'ordre de l'eV).

Ordres de grandeur.

• Électron ($m_e = 9{,}109 \times 10^{-31}\,\text{kg}$) à $v = 10^5\,\text{m/s}$ : $\lambda_{\text{dB}} = \dfrac{6{,}626 \times 10^{-34}}{9{,}109 \times 10^{-31} \times 10^5} \approx 7{,}3 \times 10^{-9}\,\text{m} = 7{,}3\,\text{nm}$.
• Balle de tennis ($m = 60\,\text{g}$, $v = 30\,\text{m/s}$) : $p = 1{,}8\,\mathrm{kg·m/s}$, $\lambda_{\text{dB}} \approx 3{,}7 \times 10^{-34}\,\text{m}$, infinitésimale devant toute dimension macroscopique.

C'est le critère de traitement quantique : si $\lambda_{\text{dB}}$ est comparable à la dimension caractéristique du phénomène (fente, boîte, taille d'atome $\sim 10^{-10}\,\text{m}$), les effets quantiques sont observables ; si $\lambda_{\text{dB}} \ll$ cette dimension, le traitement classique est suffisant.

2. Effet photoélectrique

L'effet photoélectrique (Hertz, 1887 ; expliqué par Einstein, 1905) : quand une lumière de fréquence $\nu$ éclaire une plaque métallique, des électrons sont arrachés, seulement si $\nu$ dépasse une fréquence seuil $\nu_0$ ; l'énergie cinétique des électrons éjectés est indépendante de l'intensité de la lumière, mais dépend de $\nu$.

Modèle du photon. Un photon transfère toute son énergie $h\nu$ à un électron ; une partie $W$ (le travail d'extraction) sert à libérer l'électron du métal, le reste devient énergie cinétique :

$$h\nu = W + E_c, \qquad E_c = \frac{1}{2}mv^2.$$

• Fréquence seuil : $\nu_0 = \dfrac{W}{h}$ (en dessous, aucun électron n'est éjecté, quelle que soit l'intensité).
• Tension de seuil : pour stopper les électrons, on applique une tension $U_0$ telle que $eU_0 = E_{c,\max} = h\nu - W$.

Cet effet est à l'origine des photomultiplicateurs, des capteurs CCD/CMOS et des cellules photovoltaïques.

3. Interférences de particules

Les fentes de Young (chapitre P1.2) fonctionnent aussi avec des électrons : un faisceau d'électrons traversant deux fentes fines produit un motif de franges d'interférence dont l'écart est

$$\Delta y = \frac{\lambda_{\text{dB}} D}{a},$$

avec $D$ la distance fentes/écran et $a$ l'écartement des fentes. Exemple d'école. Électrons de $\lambda_{\text{dB}} = 7{,}3\,\text{nm}$, $a = 1\,\mu\text{m}$, $D = 1\,\text{m}$ : $\Delta y = \dfrac{7{,}3 \times 10^{-9} \times 1}{10^{-6}} \approx 7{,}3\,\text{mm}$ — des franges macroscopiques. (L'expérience historique de C. Jönsson, 1961, utilisait des électrons d'environ $50\,\text{keV}$, $\lambda \approx 5\,\text{pm}$, et des fentes microscopiques : le calcul ci-dessus est un exemple d'école, pas la configuration réelle.)

Point essentiel. Chaque électron arrive sur l'écran comme un point (corpuscule), mais l'ensemble des impacts forme le motif d'interférence (onde) : la probabilité de détection est régie par l'onde de de Broglie. C'est le cœur de l'interprétation probabiliste.

4. Inégalité de Heisenberg (ordre de grandeur)

On ne peut pas connaître simultanément la position et la quantité de mouvement d'une particule avec une précision arbitraire :

$$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi} \approx 5{,}3 \times 10^{-35}\,\mathrm{J·s}.$$

Ordre de grandeur. Si on localise un électron dans une boîte de $L = 10^{-10}\,\text{m}$ ($\Delta x \sim L$), alors $\Delta p \gtrsim \dfrac{h}{4\pi L} \approx 5 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg·m/s}$, soit une vitesse $\Delta v \sim \Delta p/m_e \sim 6 \times 10^5\,\text{m/s}$ : l'électron est forcément très mobile dans la boîte. C'est ce qui empêche un électron de « s'asseoir » au repos sur le noyau et qui est à l'origine de la stabilité de l'atome. Pour une balle de tennis localisée à $\pm 1\,\text{mm}$ près, $\Delta v \sim 10^{-31}\,\text{m/s}$ : négligeable (le monde macroscopique échappe à Heisenberg).

5. Quantification de l'énergie

Puits de potentiel infini. Une particule de masse $m$ confinée dans un puits de largeur $L$ ne peut avoir que des niveaux d'énergie discrets :

$$E_n = \frac{n^2 h^2}{8 m L^2}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots$$

Exemple. Électron dans un puits de $L = 1\,\text{nm}$ : $E_1 = \dfrac{(6{,}626 \times 10^{-34})^2}{8 \times 9{,}109 \times 10^{-31} \times 10^{-18}} \approx 6{,}0 \times 10^{-20}\,\text{J} \approx 0{,}38\,\text{eV}$, $E_2 = 4E_1$ (les niveaux sont en $n^2$). Pour une balle de tennis dans une boîte de $1\,\text{m}$, $E_1 \sim 10^{-64}\,\text{J}$ : les niveaux sont si serrés qu'ils paraissent continus (retour au monde classique).

Niveaux atomiques. Dans l'atome d'hydrogène (modèle de Bohr), les niveaux sont $E_n = -\dfrac{13{,}6}{n^2}\,\text{eV}$ ; la transition $n=1 \to n=2$ vaut $10{,}2\,\text{eV}$, la transition $n=2 \to n=1$ émet un photon ultraviolet ($\lambda \approx 121\,\text{nm}$). Les raies spectrales sont la signature de la quantification.

6. Synthèse : quand faut-il la mécanique quantique ?

Situation	$\lambda_{\text{dB}}$	Traitement
Électron dans un atome ($v \sim 10^6\,\text{m/s}$)	$\sim 10^{-10}\,\text{m}$ (taille de l'atome)	Quantique
Électron dans un microscope	$\sim 10^{-11}$ à $10^{-9}\,\text{m}$	Quantique
Balle de tennis	$\sim 10^{-34}\,\text{m}$	Classique

Méthode : calculer $\lambda_{\text{dB}} = h/(mv)$, comparer à la dimension caractéristique du problème ; si $\lambda_{\text{dB}} \lesssim$ dimension, effets quantiques négligeables.

7. Applications et prolongements

Microscopie électronique. Un microscope optique est limité par la diffraction : la résolution est de l'ordre de $\lambda/2$, soit $\sim 200\,\text{nm}$ pour la lumière visible. En utilisant des électrons (dont $\lambda_{\text{dB}}$ est $\sim 10^5$ fois plus petit que la lumière visible à énergie comparable), on atteint une résolution de l'ordre de $0{,}1\,\text{nm}$ : c'est la microscopie électronique en transmission (MET), qui permet d'imager des atomes individuels.

Diffraction des électrons. La diffraction des électrons sur un cristal (expérience de Davisson-Germer, 1927) a confirmé la nature ondulatoire de la matière : les électrons diffractés par un plan cristallin d'espacement $d$ obéissent à la condition de Bragg $2d \sin \theta = n \lambda_{\text{dB}}$ (le facteur 2 compte l'aller-retour de la pénétration). C'est un outil de caractérisation des matériaux (structure cristalline).

Micro-ondes et photons. À l'autre bout du spectre, les photons de micro-ondes ($\nu \sim 10^{10}\,\text{Hz}$) ont $E = h\nu \sim 10^{-5}\,\text{eV}$, très en dessous de l'énergie thermique $k_B T \approx 2{,}5 \times 10^{-2}\,\text{eV}$ à température ambiante ($\sim 600$ fois plus grande) : le bruit thermique des antennes et des récepteurs est inévitable (limites de Rayleigh-Jeans et de Planck).

Lien avec la chimie. La quantification de l'énergie (section 5) est la base de la structure électronique des atomes et des molécules (chapitres C2.1 et C2.2) : les électrons ne peuvent occuper que des orbitales (états quantiques), et la règle de Pauli (deux électrons maximum par état) explique la classification périodique.

Capacités exigibles

• P1.4.de-broglie — Estimer une longueur d'onde de de Broglie : utiliser $\lambda_{\text{dB}} = h/p = h/(mv)$ avec les ordres de grandeur ($h$, $m_e$), et en déduire si un traitement quantique est nécessaire (comparaison avec la dimension caractéristique du phénomène).

Ce qui tombe en colle et en DS

Estimer une longueur d'onde de de Broglie et en déduire si un traitement quantique est nécessaire : c'est l'exercice type du chapitre (introduction au monde quantique). Il faut savoir :

• Calculer la longueur d'onde de de Broglie $\lambda = h/p$ (et $p = \sqrt{2mE}$ pour une particule non relativiste).
• Comparer $\lambda$ à la taille du système pour décider si un traitement quantique est nécessaire.
• Établir l'énergie d'un photon $E = h\nu$ et sa longueur d'onde $\lambda = c/\nu$.
• Appliquer la relation de Compton $\Delta\lambda = h/(mc)(1-\cos\theta)$.
• Reconnaître les ordres de grandeur (échelle atomique $\sim 10^{-10}$ m, énergie $\sim 1$ eV).

Pièges classiques

• Oublier $p = mv$ : la relation est $\lambda = h/p$ ; pour une particule non relativiste on remplace par $p = mv$, mais il ne faut pas écrire $\lambda = h/(m v^2)$ ni mélanger avec $E = \tfrac{1}{2}mv^2$.
• Unités : $h$ est en J·s ; si on travaille en eV et en nm, utiliser $hc = 1240\,\mathrm{eV·nm}$ (pratique pour les photons) mais pas pour les particules massives (revenir en SI).
• Photon vs particule massive : un photon a $E = h\nu$ et $p = h/\lambda$ sans masse au dénominateur ; la formule $\lambda = h/(mv)$ ne s'applique pas au photon.
• L'effet photoélectrique dépend de la fréquence, pas de l'intensité : sous la fréquence seuil, aucune émission, même avec une lumière intense ; l'intensité ne change que le nombre d'électrons éjectés.
• Heisenberg n'est pas un problème de mesure : ce n'est pas la précision des instruments qui limite, c'est une propriété intrinsèque de la particule (les grandeurs ne sont pas simultanément définies).
• Niveaux du puits en $n^2$ : $E_2 = 4E_1$, pas $2E_1$ ; l'écart entre niveaux augmente avec $n$.

Graphe de référence

Longueur d'onde de de Broglie d'un électron en fonction de sa vitesse : $\lambda_{\text{dB}} = h/(m_e v)$. En unités pratiques ($\lambda$ en nm, $v$ en km/s), $\lambda_{\text{dB}} = 727{,}4 / v$. La courbe (hyperbole) montre que la longueur d'onde décroît avec la vitesse : un électron lent a une onde étendue (effets quantiques marqués), un électron rapide se rapproche du comportement corpusculaire.

Pour aller plus loin

Ce chapitre n'a pas de renvoi spécifique dans la table du §4 de l'annexe Ressources, exercices et annales (programme non explicitement couvert par les thèmes recensés) — voir la page générale pour les manuels recommandés, les banques d'exercices gratuites et les annales par matière.