P2.4 — Mouvement de particules chargées

Objectif du chapitre. Étudier le mouvement d'une particule chargée (électron, proton, ion) dans un champ électrique et un champ magnétique : la force de Lorentz $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$, le mouvement dans un champ électrique uniforme (accélération, déviation), dans un champ magnétique uniforme (mouvement circulaire, rayon, pulsation cyclotron), et les applications (accélérateur, spectromètre de masse). L'objectif est de savoir décrire le mouvement d'une particule chargée : c'est l'exercice type du chapitre.

Le produit vectoriel $\vec{u} \times \vec{v}$ est défini dans l'annexe Outils mathématiques.

Notions

Champs électrique et magnétique (rappel). Le champ électrique $\vec{E}$ (en V/m) est créé par des charges (loi de Coulomb) ; il exerce une force $\vec{F} = q\vec{E}$ sur une charge $q$. Dans un condensateur plan, le champ est uniforme et lié à la tension par $E = U/d$ ($U$ la tension, $d$ l'écartement des armatures). Le champ magnétique $\vec{B}$ (en tesla) est créé par des courants ou des aimants (chapitre ch21) ; il n'exerce de force que sur une charge en mouvement. (Ces deux champs sont introduits en ch21–ch22 ; ici on les utilise pour décrire le mouvement d'une particule chargée.)

1. Force de Lorentz

La force de Lorentz sur une particule de charge $q$ et de vitesse $\vec{v}$ dans un champ électromagnétique est

$$\boxed{\vec{F} = q\left(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}\right)}$$

• Terme électrique $q\vec{E}$ : parallèle à $\vec{E}$, quel que soit $\vec{v}$ ; il travaille (modifie l'énergie cinétique).
• Terme magnétique $q(\vec{v} \times \vec{B})$ : perpendiculaire à $\vec{v}$ et à $\vec{B}$ ; il ne travaille pas (le produit scalaire $\vec{F}_B \cdot \vec{v} = 0$) : il ne modifie pas l'énergie cinétique, seulement la direction de la vitesse.

Sens de la force magnétique. La direction de $\vec{v} \times \vec{B}$ est donnée par la règle de la main droite (pour $q > 0$) ; pour une charge négative (électron), le sens est inversé.

2. Mouvement dans un champ électrique uniforme

Dans un champ électrique uniforme $\vec{E}$ (sans champ magnétique), la force est $\vec{F} = q\vec{E}$ (constante) : l'accélération est constante $\vec{a} = \dfrac{q}{m}\vec{E}$.

Mouvement rectiligne ($\vec{v}_0$ parallèle à $\vec{E}$) : mouvement uniformément varié : $v(t) = v_0 + \dfrac{qE}{m}t$.

Mouvement parabolique ($\vec{v}_0$ perpendiculaire à $\vec{E}$) : analogie avec la chute parabolique (le champ électrique joue le rôle de $\vec{g}$) :

• $x(t) = v_0 t$ (uniforme).
• $y(t) = \dfrac{1}{2}\dfrac{qE}{m}t^2$ (uniformément accéléré).

Déviation. Une particule traversant des plaques parallèles de longueur $L$ et de champ $E$ (perpendiculaire à $\vec{v}_0$) subit une déviation

$$\Delta y = \frac{1}{2}\frac{qE}{m}\left(\frac{L}{v_0}\right)^2$$

et sort avec un angle $\alpha = \arctan\left(\dfrac{qEL}{m v_0^2}\right)$.

Exemple. Électron ($q = -e$, $m_e = 9{,}109 \times 10^{-31}\,\text{kg}$) traversant des plaques de $L = 5\,\text{cm}$, $E = 100\,\text{V/m}$, à $v_0 = 10^6\,\text{m/s}$ : $\Delta y = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{e \cdot 100}{m_e} \cdot (5 \times 10^{-8})^2 \approx 22\,\text{mm}$, angle $\alpha \approx 41^\circ$ (déviation vers le bas pour un électron, car $q < 0$) — attention : $\alpha \approx 41^\circ$ sort du cadre des petits angles des plaques, c'est un ordre de grandeur. C'est le principe du tube cathodique (déflexion électrostatique).

3. Mouvement dans un champ magnétique uniforme

Dans un champ magnétique uniforme $\vec{B}$ (sans champ électrique), la force est $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ : perpendiculaire à $\vec{v}$, donc normale à la trajectoire (force centripète).

Cas $\vec{v} \perp \vec{B}$. La force est centripète : la particule effectue un mouvement circulaire uniforme de rayon $r$ et de pulsation cyclotron $\omega_c$ :

$$|q| v B = \frac{m v^2}{r} \quad \Longrightarrow \quad r = \frac{mv}{|q|B}, \qquad \omega_c = \frac{|q|B}{m}.$$

Période cyclotron : $T_c = \dfrac{2\pi m}{|q|B}$ (indépendante de la vitesse et du rayon — propriété clé des accélérateurs).

Cas $\vec{v}$ quelconque. On décompose $\vec{v} = \vec{v}_\perp + \vec{v}_\parallel$ (perpendiculaire et parallèle à $\vec{B}$) : la composante $\vec{v}_\parallel$ est inchangée (pas de force dans cette direction), la composante $\vec{v}_\perp$ tourne : la trajectoire est une hélice d'axe $\vec{B}$, de rayon $r = \dfrac{m v_\perp}{|q|B}$ et de pas $h = v_\parallel T_c$.

Cas $\vec{v} \parallel \vec{B}$. $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ : pas de force, mouvement rectiligne uniforme (la particule « suit » les lignes de champ).

Exemple (proton). Proton ($q = +e$, $m_p = 1{,}67 \times 10^{-27}\,\text{kg}$) dans $B = 0{,}5\,\text{T}$, $v = 10^6\,\text{m/s}$ (perpendiculaire) : $\omega_c = \dfrac{eB}{m_p} = 4{,}79 \times 10^7\,\text{rad/s}$ ($T_c = 131\,\text{ns}$), rayon $r = \dfrac{m_p v}{eB} = 2{,}09\,\text{cm}$.

Exemple (électron). Électron dans les mêmes conditions : $r = \dfrac{m_e v}{eB} = 11\,\mu\text{m}$ (rayon ≈ 1800 fois plus petit, car $m_e \ll m_p$) : la trajectoire est très courbée.

4. Applications

Accélérateur cyclotron. Un cyclotron accélère des ions en leur faisant parcourir des demi-cercles dans un champ magnétique, avec un champ électrique alternatif qui les accélère à chaque passage par l'intervalle accélérateur (entre les deux « dees »). La période cyclotron étant indépendante de la vitesse, le champ alternatif est synchronisé (fréquence $\omega_c$) ; l'ion gagne de l'énergie à chaque passage et son rayon augmente (spirale) jusqu'à la vitesse maximale (limite relativiste).

Spectromètre de masse. Un spectromètre de masse sépare des ions par leur rapport masse/charge $m/q$ : les ions, accélérés par une tension $U$ (énergie cinétique $\tfrac{1}{2}mv^2 = qU$, soit $v = \sqrt{2qU/m}$), traversent un champ magnétique et décrivent un cercle de rayon

$$r = \frac{mv}{qB} = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}.$$

Les ions de différents $m/q$ tombent sur des positions différentes (détecteur) : on identifie les isotopes (rapport $m/q$). Exemple. Proton ($m_p$) et deuton ($2m_p$, même charge) accélérés par la même tension : le deuton a un rayon $\sqrt{2}$ fois plus grand (il est plus lourd). La résolution du spectromètre (capacité à séparer deux masses proches) dépend de la précision de $B$ et de la longueur du trajet ; les spectromètres de masse modernes (TOF, FT-ICR) atteignent des résolutions de l'ordre de $10^5$ à $10^6$.

Tube cathodique / oscilloscope. La déflexion électrostatique (section 2) déplace le faisceau d'électrons sur l'écran ; la déflexion magnétique (section 3) est utilisée dans les tubes à rayons cathodiques anciens (aimants de déflexion).

5. Cas combinés : champs croisés (filtre de vitesse)

Quand $\vec{E}$ et $\vec{B}$ sont perpendiculaires l'un à l'autre (et à $\vec{v}_0$), la force totale est $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$. Pour une vitesse spéciale $v_0 = E/B$, les deux termes s'annulent ($E = v_0 B$) : la particule traverse le champ sans déviation (mouvement rectiligne). C'est le principe du filtre de vitesse (ou sélecteur de vitesse) : seules les particules de vitesse $v_0 = E/B$ passent ; les autres sont déviées. Ce dispositif est utilisé en amont d'un spectromètre de masse pour sélectionner une vitesse unique avant la séparation par $m/q$.

Exemple. $E = 1000\,\text{V/m}$, $B = 0{,}1\,\text{T}$ : la vitesse sélectionnée est $v_0 = E/B = 10^4\,\text{m/s}$ ; une particule à $2 \times 10^4\,\text{m/s}$ subit une force magnétique double de la force électrique (déviation), une particule à $5 \times 10^3\,\text{m/s}$ une force électrique dominante (déviation opposée).

6. Limites relativistes

Les formules ci-dessus sont newtoniennes ($m$ constant). Pour des vitesses proches de $c$ (accélérateurs), la quantité de mouvement relativiste est $p = \gamma m_0 v$ ($\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$) ; la période cyclotron n'est plus indépendante de la vitesse, et le cyclotron classique ne fonctionne plus (il faut un synchrocyclotron ou un synchrotron). La limite pratique d'un cyclotron est $v \lesssim 0{,}1c$ ($\gamma \approx 1{,}005$) ; au-delà, la synchronisation est perdue.

Capacités exigibles

• P2.4.lorentz — Décrire le mouvement d'une particule chargée : écrire la force de Lorentz $q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$, distinguer le rôle du terme électrique (travaille, modifie l'énergie) et du terme magnétique (perpendiculaire, ne travaille pas, courbe la trajectoire), et déduire le mouvement (rectiligne, parabolique, circulaire, hélice) selon l'orientation de $\vec{v}$ par rapport à $\vec{E}$ et $\vec{B}$.

Pièges classiques

• Force magnétique ne travaille pas : $\vec{F}_B \perp \vec{v}$, donc $\vec{F}_B \cdot \vec{v} = 0$ : le champ magnétique ne modifie pas l'énergie cinétique (pas la vitesse, seulement la direction) ; seul le champ électrique accélère (modifie $v$).
• Sens de la force pour $q < 0$ : pour un électron ($q = -e$), la force est opposée à celle d'une charge positive ; il ne faut pas oublier le signe de $q$.
• Période cyclotron indépendante de $v$ : $T_c = 2\pi m/(|q|B)$ ne dépend pas de la vitesse (ni du rayon) ; c'est la propriété clé du cyclotron (synchronisation du champ alternatif).
• Rayon du cercle : $r = mv/(|q|B)$ est proportionnel à $v$ et inversement proportionnel à $B$ et $|q|$ ; une particule lourde (proton) a un rayon plus grand qu'une particule légère (électron) à même vitesse.
• Hélice : si $\vec{v}$ a une composante parallèle à $\vec{B}$, la trajectoire est une hélice (pas un cercle) ; le rayon dépend de $v_\perp$ (pas de $v_\parallel$), le pas de $v_\parallel$.
• Spectromètre de masse : le rayon est $r \propto \sqrt{m/q}$ (pas $m/q$) ; deux ions de même charge mais de masses différentes ont des rayons différents (séparation par isotope).

Graphe de référence

Rayon $r = mv/(|q|B)$ de la trajectoire d'un proton dans un champ magnétique ($B = 0{,}5\,\text{T}$) en fonction de la vitesse $v$. La courbe est linéaire (pente $m_p/(eB)$) : plus la vitesse est grande, plus le rayon est grand. Pour $v = 10^6\,\text{m/s}$ : $r = 2{,}09\,\text{cm}$ ; pour $v = 10^7\,\text{m/s}$ : $r = 20{,}9\,\text{cm}$.

Pour aller plus loin

Annales utilisables sur ce chapitre (§4 de l'annexe Ressources, exercices et annales) : e3a, CCINP Physique — parties « mécanique ».

Voir aussi Ressources, exercices et annales pour les manuels recommandés et les banques d'exercices gratuites.