1. Cinématique

Objectif du chapitre. Décrire le mouvement d'un point sans chercher ses causes : position, vitesse, accélération. C'est la première étape de la mécanique — la cinématique décrit comment un corps se déplace, la dynamique expliquera pourquoi.

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1.1 Repère et trajectoire

Repère

Pour décrire un mouvement, on fixe :

• un repère spatial (origine $O$, axes) ;
• un repère temporel (origine $t = 0$, unité de temps).

On choisit un repère galiléen (inertiel) pour que les lois de la mécanique soient simples.

Position

La position du point $M$ à l'instant $t$ est le vecteur :

$$\overrightarrow{OM}(t) = x(t)\,\vec{i} + y(t)\,\vec{j} + z(t)\,\vec{k}.$$

La trajectoire est l'ensemble des positions successives de $M$.

1.2 Vitesse

Vitesse instantanée

La vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps :

$$\vec{v}(t) = \frac{\mathrm{d}\,\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t} = x'(t)\,\vec{i} + y'(t)\,\vec{j} + z'(t)\,\vec{k}.$$

Sa norme est la vitesse (scalaire) $v = \|\vec{v}(t)\|$.

Interprétation géométrique. Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire au point $M$.

Vitesse moyenne

Sur un intervalle $[t, t + \Delta t]$, la vitesse moyenne est :

$$\vec{v}_{\text{moy}} = \frac{\Delta\,\overrightarrow{OM}}{\Delta t}.$$

La vitesse instantanée est la limite de la vitesse moyenne quand $\Delta t \to 0$.

1.3 Accélération

L'accélération est la dérivée de la vitesse :

$$\vec{a}(t) = \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2\,\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t^2}.$$

Elle mesure la variation de la vitesse (en norme, en direction, ou les deux).

Point clé. Une accélération non nulle peut correspondre à :

• une variation de la norme de la vitesse (mouvement accéléré/freiné) ;
• une variation de la direction de la vitesse (mouvement courbe) ;
• les deux.

1.4 Mouvement rectiligne

Mouvement rectiligne uniforme (MRU)

• Trajectoire : une droite.
• Vitesse : constante ($a = 0$).
• Position : $x(t) = x_0 + v\,t$ (fonction linéaire de $t$).

Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV)

• Accélération : constante $a$.
• Vitesse : $v(t) = v_0 + a\,t$ (linéaire).
• Position : $x(t) = x_0 + v_0\,t + \dfrac{1}{2}\,a\,t^2$ (quadratique).

Cas particulier : la chute libre. Un corps en chute libre (sans frottement) est en MRUV d'accélération $a = -g$ (vers le bas), avec $g \approx 9{,}81\,\text{m·s}^{-2}$.

1.5 Mouvement circulaire

Mouvement circulaire uniforme (MCU)

• Trajectoire : un cercle de rayon $R$.
• Vitesse : norme constante $v$, direction tangente au cercle.
• Accélération : dirigée vers le centre du cercle (accélération centripète), de norme :

$$a_c = \frac{v^2}{R}.$$

Point clé. Même si la vitesse est constante en norme, l'accélération est non nulle : la direction de la vitesse change en permanence. C'est l'accélération centripète.

Mouvement circulaire non uniforme

Si la vitesse varie en norme, l'accélération se décompose en :

• une composante centripète $a_c = v^2/R$ (perpendiculaire à $\vec{v}$, change la direction) ;
• une composante tangentielle $a_t = \mathrm{d}v/\mathrm{d}t$ (parallèle à $\vec{v}$, change la norme).

1.6 Vitesse angulaire

Pour un mouvement circulaire, on introduit la vitesse angulaire :

$$\omega = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t},$$

où $\theta$ est l'angle parcouru. On a alors :

$$v = \omega R, \qquad a_c = \omega^2 R.$$

La vitesse angulaire s'exprime en radians par seconde (rad·s⁻¹).

Capacités citées

Cette page legacy (niveau 3) renvoie vers le chapitre de niveau 2 P2.1 — Cinématique en coordonnées polaires pour la capacité exigible P2.1.cinetique-polaires (vitesse et accélération en coordonnées polaires, MCU, spirale). Les mouvements rectilignes et circulaires ci-dessus en sont le cas particulier.

Exercices

1. Un mobile se déplace selon $x(t) = 3t^2 - 2t + 1$ (en mètres). Déterminer la vitesse et l'accélération.
2. Un satellite orbite à $R = 7\,000\,\text{km}$ avec une vitesse $v = 7{,}5\,\text{km/s}$. Calculer son accélération centripète.
3. Un disque tourne à $\omega = 2\pi\,\text{rad/s}$. Quelle est la vitesse linéaire d'un point à $R = 0{,}1\,\text{m}$ du centre ?
4. Un corps est lâché du repos d'une hauteur $h = 45\,\text{m}$. Calculer la durée de chute et la vitesse à l'impact (sans frottement).