P2.5 — Moment cinétique

Objectif du chapitre. Étudier le moment cinétique d'un point matériel : le moment d'une force $\vec{M} = \vec{OM} \times \vec{F}$, le moment cinétique $\vec{L} = \vec{OM} \times m\vec{v}$, le théorème du moment cinétique (TMC) $\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t} = \vec{M}$, et la conservation du moment cinétique quand le moment des forces est nul. L'objectif est de savoir appliquer le théorème du moment cinétique (et la conservation) : c'est l'exercice type du chapitre, et l'outil clé pour les champs de force centrale (chapitres P2.1 et P2.6).

Le produit vectoriel $\vec{u} \times \vec{v}$ est défini dans l'annexe Outils mathématiques.

Notions

1. Moment d'une force

Le moment d'une force $\vec{F}$ appliquée en $M$ par rapport à un point $O$ est

$$\vec{M}_O = \vec{OM} \times \vec{F}.$$

Module. $|\vec{M}_O| = OM \cdot F \cdot \sin\alpha = F \cdot d$, où $d$ est le bras de levier (distance du point $O$ à la droite d'action de la force). L'unité est le newton-mètre (N·m).

Sens. Le sens de $\vec{M}_O$ est donné par la règle de la main droite (perpendiculaire au plan $(\vec{OM}, \vec{F})$) ; il correspond au sens de rotation que la force tend à produire autour de $O$.

Propriétés.

• Si la force passe par $O$ (bras de levier nul), son moment est nul : elle ne fait pas tourner autour de $O$.
• Le moment est additif : le moment de la somme des forces est la somme des moments.
• Pour un couple pur (deux forces égales et opposées, décalées), le moment est indépendant de l'origine $O$.

Exemple. Une force de $F = 10\,\text{N}$ appliquée à l'extrémité d'une clé de longueur $d = 0{,}5\,\text{m}$ (perpendiculaire) : le moment est $M = F \cdot d = 5\,\mathrm{N·m}$ (couple de serrage).

2. Moment cinétique d'un point

Le moment cinétique (ou impulsion angulaire) d'un point matériel $M$ de masse $m$ par rapport à $O$ est

$$\vec{L}_O = \vec{OM} \times m\vec{v}.$$

Module. $|\vec{L}_O| = m \cdot v \cdot r \cdot \sin\alpha = m v_\perp r$, où $v_\perp$ est la composante de la vitesse perpendiculaire à $\vec{OM}$. L'unité est le kg·m²/s.

Cas particuliers.

• Mouvement rectiligne passant par $O$ : $\vec{L} = 0$ (vitesse parallèle au rayon).
• Mouvement circulaire de rayon $r$ autour de $O$ : $L = m v r = m \omega r^2 = I\omega$, où $I = mr^2$ est le moment d'inertie (pour un point) ; c'est la forme rotationnelle du moment cinétique.

(le moment d'inertie $I$ d'un solide est défini en §5 de ce chapitre).

3. Théorème du moment cinétique

Le TMC (par rapport à un point fixe $O$ dans un référentiel galiléen) s'écrit

$$\boxed{\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} = \vec{M}_O}$$

où $\vec{M}_O$ est le moment de la somme des forces extérieures par rapport à $O$. C'est l'analogue rotationnel du PFD $\dfrac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} = \vec{F}$.

Démonstration (2 lignes — à savoir refaire). $\vec{L}_O = \vec{OM} \times m\vec{v}$. En dérivant (point fixe $O$, référentiel galiléen) : $\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} = \vec{v} \times m\vec{v} + \vec{OM} \times m\vec{a} = \vec{0} + \vec{OM} \times \vec{F}$ (le premier terme est nul car $\vec{v}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires ; le PFD donne $m\vec{a} = \vec{F}$). D'où $\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} = \vec{M}_O$.

Conservation. Si $\vec{M}_O = 0$ (moment des forces nul par rapport à $O$), alors $\vec{L}_O$ est constant : le moment cinétique est conservé. C'est le théorème de conservation du moment cinétique.

Cas de conservation fréquent.

• Force centrale (dirigée vers $O$) : $\vec{OM} \times \vec{F} = 0$ (force parallèle au rayon) → $\vec{L}_O$ conservé (c'est le cas des orbites planétaires, chapitre P2.6).
• Système isolé (pas de force extérieure) : le moment cinétique total est conservé.

4. Conservation du moment cinétique : exemples

Patineuse. Une patineuse qui récupère ses bras (diminue son moment d'inertie $I$) augmente sa vitesse de rotation $\omega$ pour conserver $L = I\omega$ : si $I$ est divisé par 2, $\omega$ est doublé. C'est l'effet « patineuse » (conservation du moment cinétique).

Satellite (2e loi de Kepler). Pour un satellite en orbite (force centrale gravitationnelle), $L = m r^2 \dot{\theta}$ est constant : quand le satellite est proche du centre ($r$ petit), $\dot{\theta}$ est grand (il « balaie » des aires vite) ; quand il est loin ($r$ grand), $\dot{\theta}$ est petit. C'est la 2e loi de Kepler (aires égales en temps égaux).

Exemple numérique. Satellite à $r_1 = 10^{11}\,\text{m}$ avec $v_{t1} = 3 \times 10^4\,\text{m/s}$ (composante tangentielle) ; à $r_2 = 1{,}5 \times 10^{11}\,\text{m}$ : la conservation $r_1 v_{t1} = r_2 v_{t2}$ donne $v_{t2} = \dfrac{r_1}{r_2} v_{t1} = \dfrac{1}{1{,}5} \times 3 \times 10^4 = 2 \times 10^4\,\text{m/s}$ (le satellite est plus lent au point le plus éloigné).

5. Pendule pesant traité par le TMC

Un pendule pesant (bille de masse $m$, fil de longueur $L$) est soumis au poids $\vec{P}$ et à la tension $\vec{T}$. Par rapport au point de suspension $O$ :

• La tension passe par $O$ : son moment est nul.
• Le poids a pour moment $M_O = -mgL\sin\theta$ (signe : le poids ramène le pendule vers $\theta = 0$).

Le moment cinétique par rapport à $O$ est $L_O = m L^2 \dot{\theta}$ (mouvement circulaire de rayon $L$). Le TMC donne

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(m L^2 \dot{\theta}\right) = -mgL\sin\theta \quad \Longrightarrow \quad \ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0.$$

Petits angles : $\ddot{\theta} + \dfrac{g}{L}\theta = 0$ → oscillateur harmonique de pulsation $\omega_0 = \sqrt{g/L}$ et de période $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ (cohérent avec le chapitre P2.2). Exemple : $L = 1{,}0\,\text{m}$ : $T = 2{,}01\,\text{s}$.

Avantage du TMC. Le TMC élimine la tension (moment nul) et donne directement l'équation angulaire ; c'est plus simple que le PFD projeté (où il faut gérer la tension et la composante centripète).

6. Moment cinétique d'un solide en rotation

Pour un solide en rotation autour d'un axe fixe de moment d'inertie $I$, le moment cinétique est $\vec{L} = I\vec{\omega}$ (le long de l'axe). Le TMC s'écrit

$$I\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t} = \vec{M}$$

(analogie avec $m\vec{a} = \vec{F}$). C'est la rotationnelle du PFD, utilisée dans le chapitre P2.7 (rotation autour d'un axe fixe).

7. Application : toupie et précession (complément hors programme — Culture)

Hors programme PCSI : la précession d'une toupie relève de la 2ᵉ année ; ce bloc est donné pour la culture.

Une toupie en rotation rapide autour de son axe, soumise au poids (moment non nul par rapport au point de contact), précède : son axe de rotation tourne lentement autour de la verticale au lieu de tomber. Le TMC explique : le moment du poids $\vec{M} = \vec{OG} \times m\vec{P}$ est perpendiculaire au moment cinétique $\vec{L}$, donc il modifie la direction de $\vec{L}$ (pas son module) : l'axe précède avec une vitesse angulaire $\Omega = \dfrac{mgd}{I\omega}$ ($d$ : distance du point d'appui au centre de masse $G$ ; $I\omega$ : moment cinétique de rotation) — proportionnelle au poids, inversement proportionnelle à la vitesse de rotation. Plus la toupie tourne vite, moins elle précède (et plus elle reste droite) : c'est le principe de la stabilisation gyroscopique (gyroscopes, bicyclette, navires).

Capacités exigibles

• P2.5.moment-cinetique — Appliquer le théorème du moment cinétique : écrire $\vec{L}_O = \vec{OM} \times m\vec{v}$ et $\vec{M}_O = \vec{OM} \times \vec{F}$, établir le TMC $\mathrm{d}\vec{L}/\mathrm{d}t = \vec{M}$, et utiliser la conservation ($\vec{M} = 0$) pour les forces centrales (orbites) et le pendule pesant.

Pièges classiques

• Moment de la tension nul : la tension du fil passe par le point de suspension $O$, donc son moment est nul ; elle ne figure pas dans le TMC (mais elle figure dans le PFD).
• Force centrale → conservation : si la force est dirigée vers $O$ (gravitation, électrostatique), le moment est nul et le moment cinétique est conservé ; c'est la base des lois de Kepler (chapitre P2.6).
• Conservation : $I\omega$ constant : si le moment d'inertie $I$ diminue (patineuse qui récupère les bras), la vitesse de rotation $\omega$ augmente (et inversement) ; il ne faut pas confondre avec la conservation de l'énergie (qui n'est pas conservée si des forces internes travaillent).
• 2e loi de Kepler : le satellite balaie des aires égales en temps égaux ; il est plus vite au périhélie ($r$ petit) et plus lent à l'aphélie ($r$ grand) ; la conservation est $r^2 \dot{\theta} = \text{cste}$ (pas $r \dot{\theta}$).
• TMC vs PFD : le TMC donne l'équation angulaire (élimine les forces « radiales » comme la tension) ; le PFD donne l'équation vectorielle complète ; les deux sont complémentaires (le TMC est la projection « rotationnelle » du PFD).
• Moment d'inertie d'un point : $I = mr^2$ (pour un point à distance $r$ de l'axe) ; pour un solide, $I$ dépend de la distribution de la masse (ex. disque $I = \tfrac{1}{2}mR^2$, anneau $I = mR^2$).

Graphe de référence

Moment cinétique $L = m r^2 \dot{\theta}$ d'un satellite en orbite (conservé) : la vitesse angulaire $\dot{\theta} = L/(m r^2)$ en fonction du rayon $r$ (hyperbole en $1/r^2$). Pour $L/(m) = 3 \times 10^{15}\,\text{m}^2/\text{s}$ : à $r = 10^{11}\,\text{m}$, $\dot{\theta} = 3 \times 10^{-7}\,\text{rad/s}$ ; à $r = 1{,}5 \times 10^{11}\,\text{m}$, $\dot{\theta} = 1{,}33 \times 10^{-7}\,\text{rad/s}$ (le satellite est plus lent quand il est plus loin).

Pour aller plus loin

Annales utilisables sur ce chapitre (§4 de l'annexe Ressources, exercices et annales) : e3a, CCINP Physique — parties « mécanique ».

Voir aussi Ressources, exercices et annales pour les manuels recommandés et les banques d'exercices gratuites.