P4.4 — Circuit fixe dans un champ magnétique variable

Objectif du chapitre. Étudier un circuit fixe dans un champ magnétique variable : l'auto-induction (un circuit crée son propre champ, qui induit une fem dans le circuit), l'inductance propre $L$, l'énergie magnétique $E_m = \dfrac{1}{2}LI^2$, l'inductance mutuelle $M$ (couplage de deux circuits), le transformateur (principe) et le couplage de deux circuits. L'objectif est de savoir calculer l'inductance propre d'un circuit : c'est l'exercice type du chapitre.

Notions

1. Auto-induction

L'auto-induction est le phénomène par lequel un circuit, parcouru par un courant variable $i(t)$, crée un champ magnétique variable qui induit une fem dans le même circuit (loi de Faraday, chapitre P4.3). La fem d'auto-induction est

$$e_{\text{auto}} = -L\,\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t},$$

où $L$ est l'inductance propre (ou self-inductance) du circuit (en henrys, H).

Interprétation. Le courant variable crée un flux $\Phi = L i$ proportionnel au courant (linéarité de la magnétostatique) ; la variation du flux induit une fem opposée à la variation du courant (loi de Lenz) : l'auto-induction freine toujours la variation du courant (c'est le rôle de la bobine dans les circuits du 1er ordre, chapitre P1.6).

L'intégrale de surface (flux) $\iint$ est définie dans l'annexe Outils mathématiques.

Signe (loi de Lenz). Le signe moins donne le sens de la fem : si le courant augmente ($\mathrm{d}i/\mathrm{d}t > 0$), la fem s'oppose (tend à diminuer le courant) ; si le courant diminue, la fem s'oppose (tend à maintenir le courant). C'est pourquoi une bobine s'oppose à toute variation de courant.

2. Inductance propre

L'inductance propre $L$ d'un circuit est le coefficient qui relie le flux $\Phi$ à travers le circuit au courant $i$ qui le parcourt :

$$\Phi = L\,i \quad \Longrightarrow \quad L = \frac{\Phi}{i}.$$

L'unité est le henry ($1\,\text{H} = 1\,\text{Wb/A} = 1\,\mathrm{V·s/A}$). L'inductance est une propriété géométrique du circuit (dépend de la forme, du nombre de spires et du magnétisme du milieu, pas du courant).

Solénoïde. Pour un solénoïde de $N$ spires, de section $S$, de longueur $l$, rempli d'un matériau de perméabilité $\mu = \mu_0 \mu_r$ :

$$L = \frac{\mu N^2 S}{l}.$$

Démonstration (3 lignes — à savoir refaire). Le champ à l'intérieur d'un solénoïde long est $B = \mu\, n I = \mu\, \dfrac{N}{l}\, i$ (ch21). Le flux à travers une spire est $\Phi_1 = B\,S = \mu\, \dfrac{N}{l}\, i\, S$ ; le flux total (liaison) à travers les $N$ spires est $\Phi = N\,\Phi_1 = \mu\, \dfrac{N^2}{l}\, S\, i$. Par définition $L = \Phi/i$ : $L = \dfrac{\mu\, N^2\, S}{l}$.

Exemple. Solénoïde de $N = 1000$ spires, $S = 10^{-4}\,\text{m}^2$, $l = 10\,\text{cm}$, noyau air ($\mu_r = 1$) : $L = \dfrac{\mu_0 N^2 S}{l} = \dfrac{4\pi \times 10^{-7} \times 10^6 \times 10^{-4}}{0{,}1} = 1{,}26\,\text{mH}$. Avec un noyau ferromagnétique ($\mu_r \sim 1000$), $L$ est 1000 fois plus grande ($\sim 1{,}26\,\text{H}$) : c'est le rôle du noyau (concentrer le flux).

Bobine en série/parallèle. Des bobines en série (même courant) ont une inductance additive : $L_{\text{eq}} = L_1 + L_2$ (si découplées) ; en parallèle, $\dfrac{1}{L_{\text{eq}}} = \dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_2}$ (comme les résistances en parallèle, si découplées $M = 0$).

3. Énergie magnétique

L'énergie magnétique stockée dans une bobine parcourue par un courant $i$ est

$$E_m = \frac{1}{2}L i^2.$$

Interprétation. Cette énergie est stockée dans le champ magnétique (pas dans la bobine) ; elle est proportionnelle au carré du courant. C'est l'analogue de l'énergie cinétique $\tfrac{1}{2}mv^2$ (la bobine « résiste » aux variations de courant, comme la masse résiste aux variations de vitesse).

Puissance. La puissance reçue par la bobine est $P = u i = L i \dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{1}{2}Li^2\right)$ : la puissance va dans l'énergie magnétique (si le courant augmente, la bobine reçoit de l'énergie ; si le courant diminue, la bobine restitue de l'énergie).

Exemple. Bobine de $L = 1{,}26\,\text{mH}$ parcourue par $i = 2\,\text{A}$ : $E_m = \dfrac{1}{2} \times 1{,}26 \times 10^{-3} \times 4 = 2{,}51\,\text{mJ}$ (énergie stockée dans le champ).

Constante de temps RL. Pour un circuit RL (bobine $L$, résistance $R$), la constante de temps est $\tau = L/R$ (chapitre P1.6) : c'est le temps de montée du courant (établissement) et de décroissance (extinction). Exemple : $L = 1{,}26\,\text{mH}$, $R = 10\,\Omega$ : $\tau = 0{,}126\,\text{ms}$.

4. Inductance mutuelle

L'inductance mutuelle $M$ relie le flux $\Phi_2$ à travers un second circuit au courant $i_1$ qui parcourt un premier circuit :

$$\Phi_2 = M\,i_1 \quad \Longrightarrow \quad e_2 = -M\,\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}.$$

L'inductance mutuelle est symétrique ($M_{12} = M_{21} = M$) et proportionnelle au couplage entre les deux circuits (plus les circuits sont proches et bien couplés, plus $M$ est grande).

Couplage. Pour deux bobines découplées (pas de champ commun), $M = 0$ ; pour deux bobines parfaitement couplées (tout le flux de l'une traverse l'autre), $M = \sqrt{L_1 L_2}$ ; en général, $M = k\sqrt{L_1 L_2}$ avec $0 \leq k \leq 1$ le coefficient de couplage.

Exemple. Deux bobines de $L_1 = 10\,\text{mH}$ et $L_2 = 40\,\text{mH}$, couplage $k = 0{,}5$ : $M = 0{,}5 \times \sqrt{10 \times 40}\,\text{mH} = 0{,}5 \times 20\,\text{mH} = 10\,\text{mH}$.

5. Transformateur (principe)

Un transformateur est constitué de deux bobines (primaire, $N_1$ spires ; secondaire, $N_2$ spires) couplées par un noyau ferromagnétique (concentrer le flux). Le principe est l'induction mutuelle : le courant variable du primaire crée un flux variable qui induit une fem dans le secondaire.

Rapport des tensions. Pour un transformateur idéal (pertes nulles, couplage parfait) :

$$\frac{U_2}{U_1} = \frac{N_2}{N_1}, \qquad \frac{I_2}{I_1} = \frac{N_1}{N_2}.$$

• Transformateur élévateur ($N_2 > N_1$) : $U_2 > U_1$ (tension élevée, courant abaissé) : utilisé pour la distribution (transport de l'électricité à haute tension, faible courant, pertes faibles).
• Transformateur abaisseur ($N_2 < N_1$) : $U_2 < U_1$ (tension abaissée, courant élevé) : utilisé pour l'utilisation (abaisser la tension à $230\,\text{V}$).

Point crucial. Le transformateur ne fonctionne qu'avec un courant variable (alternatif) : avec un courant continu (constant), le flux est constant et il n'y a pas de fem induite (pas de transformation). C'est pourquoi la distribution utilise le courant alternatif (CA).

Exemple. Transformateur de $N_1 = 1000$ spires (primaire, $230\,\text{V}$) et $N_2 = 100$ spires (secondaire) : $U_2 = U_1 N_2/N_1 = 230 \times 100/1000 = 23\,\text{V}$ (transformateur abaisseur, rapport $10$) ; si $I_1 = 1\,\text{A}$, alors $I_2 = I_1 N_1/N_2 = 10\,\text{A}$ (puissance conservée : $U_1 I_1 = U_2 I_2 = 230\,\text{W}$).

6. Couplage de deux circuits

Deux circuits couplés (par inductance mutuelle) sont décrits par les équations couplées :

$$u_1 = R_1 i_1 + L_1 \frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} + M \frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t}, \qquad u_2 = R_2 i_2 + L_2 \frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} + M \frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}.$$

Le terme $M\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$ est la fem d'induction mutuelle (le courant de l'un influence l'autre). C'est le modèle des circuits couplés (transformateurs, filtres, circuits imprimés où les pistes couplent).

Conséquence. Le couplage mutuel peut être utile (transformateur, filtre) ou parasite (interférences entre pistes, « crosstalk ») ; on le réduit en éloignant les circuits, en blindant (écran) ou en orientant les bobines perpendiculairement (réduire le flux commun).

Capacités exigibles

• P4.4.auto-induction — Calculer l'inductance propre d'un circuit : écrire $\Phi = Li$ (définition) et $e_{\text{auto}} = -L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$ (auto-induction), calculer $L$ pour un solénoïde ($L = \mu N^2 S/l$) et discuter l'énergie magnétique $E_m = \tfrac{1}{2}Li^2$ et la constante de temps $\tau = L/R$.

Pièges classiques

• Inductance : propriété géométrique : $L$ dépend de la géométrie (forme, nombre de spires, perméabilité du milieu), pas du courant ; il ne faut pas confondre $L$ (inductance, constante) et $\Phi$ (flux, proportionnel au courant) ; $L = \Phi/i$ est une définition (pas une formule de calcul générale).
• Solénoïde : $L \propto N^2$ : l'inductance d'un solénoïde est proportionnelle au carré du nombre de spires ($L \propto N^2$) ; doubler $N$ quadruple $L$ ; il ne faut pas oublier le carré (c'est la source n°1 d'erreurs).
• Noyau ferromagnétique : avec un noyau de perméabilité $\mu_r$, $L$ est multipliée par $\mu_r$ (pas par $\mu_0$) ; un noyau de fer ($\mu_r \sim 1000$) augmente $L$ de 1000 fois ; il ne faut pas oublier le noyau (sinon on sous-estime $L$).
• Fem d'auto-induction : signe moins : $e_{\text{auto}} = -L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$ ; le signe moins (loi de Lenz) donne le sens de la fem (opposée à la variation du courant) ; il ne faut pas l'oublier (sinon on prédit une fem qui aide la variation, impossible).
• Transformateur : courant variable seulement : le transformateur ne fonctionne qu'avec un courant variable (alternatif) ; avec un courant continu (constant), pas de fem induite (flux constant) ; il ne faut pas essayer de « transformer » du continu (c'est le rôle des convertisseurs).
• Énergie magnétique $\propto i^2$ : $E_m = \tfrac{1}{2}Li^2$ est proportionnelle au carré du courant ; doubler le courant quadruple l'énergie ; il ne faut pas confondre avec la puissance $P = ui$ (proportionnelle au courant).

Graphe de référence

Énergie magnétique $E_m = \dfrac{1}{2}Li^2$ d'une bobine ($L = 1{,}26\,\text{mH}$) en fonction du courant $i$. La courbe est une parabole ($E_m \propto i^2$) : pour $i = 2\,\text{A}$, $E_m = 2{,}51\,\text{mJ}$ ; pour $i = 4\,\text{A}$, $E_m = 10{,}1\,\text{mJ}$ (quadrupler l'énergie quand on double le courant). L'énergie est stockée dans le champ magnétique (pas dans la bobine).

Pour aller plus loin

Annales utilisables sur ce chapitre (§4 de l'annexe Ressources, exercices et annales) : CCINP PC/PSI Physique 1, e3a Physique — parties « électronique ».

Voir aussi Ressources, exercices et annales pour les manuels recommandés et les banques d'exercices gratuites.