P1.8 — Régime sinusoïdal forcé et filtrage

Objectif du chapitre. Étudier les circuits en régime sinusoïdal forcé (RSF) : l'usage des impédances complexes, la résonance (intensité et tension) du circuit RLC, les fonctions de transfert $H(j\omega)$, les diagrammes de Bode (gain en dB et phase), les filtres du 1er et 2e ordre (passe-bas, passe-haut, passe-bande), et le filtrage d'un signal périodique (série de Fourier, lecture du spectre). L'objectif est de savoir établir $H(j\omega)$, en déduire le comportement asymptotique et tracer le Bode : c'est l'exercice type du chapitre.

Notions

0. Représentation complexe (prérequis)

Prérequis

Cette section rappelle l'outil indispensable au RSF. Elle s'appuie sur M3 (nombres complexes et trigonométrie : forme exponentielle $e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$, formule de Moivre) et sur M4 (équations différentielles). Si ces notions sont floues, relire ces chapitres avant de poursuivre.

L'unité imaginaire. On note $j$ l'unité imaginaire, définie par $j^2 = -1$ (en physique, on écrit $j$ plutôt que $i$ pour ne pas la confondre avec l'intensité du courant). Un nombre complexe s'écrit $\underline{z} = a + jb$ (forme algébrique) ou $\underline{z} = \rho\, e^{j\varphi}$ (forme exponentielle), où $\rho = |\underline{z}| = \sqrt{a^2+b^2}$ est le module et $\varphi = \arg(\underline{z})$ l'argument (cf. M3).

La forme complexe d'un sinus. Une grandeur sinusoïdale $u(t) = U_{\max}\cos(\omega t + \varphi)$ est le partie réelle d'un complexe tournant :

$$u(t) = \operatorname{Re}\!\left[ \underbrace{U_{\max} e^{j\varphi}}_{\displaystyle \text{phaseur } \underline{U}} \; e^{j\omega t} \right].$$

Le phaseur $\underline{U} = U_{\max} e^{j\varphi}$ « fige » la sinusoïde : il contient l'amplitude $U_{\max}$ et la phase $\varphi$, et le facteur $e^{j\omega t}$ (commun à toutes les grandeurs de même pulsation) porte la dépendance au temps. On retrouve la grandeur réelle par $u(t) = \operatorname{Re}[\underline{U}\, e^{j\omega t}]$.

La règle $\mathrm{d}/\mathrm{d}t \leftrightarrow \times j\omega$. C'est le cœur de la méthode. La dérivée temporelle d'un sinus devient, en complexe, une multiplication par $j\omega$ :

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\, e^{j\omega t} = j\omega\, e^{j\omega t} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \;\longleftrightarrow\; \times\, j\omega\;}$$

Démonstration (courte). Comme $\mathrm{d}e^{j\omega t}/\mathrm{d}t = j\omega\, e^{j\omega t}$, dériver la grandeur $\underline{U}\,e^{j\omega t}$ donne $j\omega\,\underline{U}\,e^{j\omega t}$ : la dérivée temporelle est remplacée par la multiplication du phaseur par $j\omega$. Géométriquement, $\times j$ fait tourner le phaseur de $+\pi/2$ (avance de phase de $\pi/2$) et $\times \omega$ change l'échelle : dériver un sinus le fait avancer de $\pi/2$ et le multiplier par $\omega$ — exactement ce qu'on observe sur $\cos \to -\sin$.

Conséquence pour les circuits. En RSF, toutes les grandeurs oscillent à la même pulsation $\omega$, donc le facteur $e^{j\omega t}$ est commun et se factorise. Les équations différentielles du circuit (issues de M4) deviennent des équations algébriques sur les phaseurs : la dérivée $\mathrm{d}/\mathrm{d}t$ devient $\times j\omega$, l'intégrale $\int \mathrm{d}t$ devient $\div j\omega$. C'est ce qui permet d'écrire les impédances de la section 1 (bobine $j\omega L$, condensateur $1/(j\omega C)$) et de résoudre un circuit AC comme un circuit continu, mais avec des complexes.

La valeur efficace. La valeur efficace (RMS) d'une grandeur sinusoïdale est la racine carrée de la moyenne du carré sur une période :

$$U_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T u^2(t)\,\mathrm{d}t} = \frac{U_{\max}}{\sqrt{2}} \qquad (\text{pour un sinus}).$$

Démonstration (courte). $u^2(t) = U_{\max}^2\cos^2(\omega t + \varphi) = \tfrac{U_{\max}^2}{2}\big(1 + \cos(2\omega t + 2\varphi)\big)$ ; la moyenne de $\cos(2\omega t + 2\varphi)$ sur une période est nulle, donc $\langle u^2\rangle = U_{\max}^2/2$ et $U_{\text{eff}} = U_{\max}/\sqrt{2}$. La valeur efficace est la valeur « équivalente en continu » qui délivre la même puissance moyenne : c'est elle que lisent les voltmètres et que donnent les fiches (ex. $230\,\text{V}$ en France = valeur efficace).

Phaseur vs valeur efficace

On peut choisir de représenter la sinusoïde par son amplitude $U_{\max}$ (phaseur $\underline{U} = U_{\max}e^{j\varphi}$) ou par sa valeur efficace $U_{\text{eff}} = U_{\max}/\sqrt{2}$ (phaseur $\underline{U}_{\text{eff}} = U_{\text{eff}}e^{j\varphi}$). Les deux sont équivalents : les rapports (fonctions de transfert, impédances) ne dépendent pas du choix. On précisera toujours la convention utilisée.

1. Impédances complexes

En RSF, les grandeurs sinusoïdales $u(t) = U_{\max}\cos(\omega t + \varphi)$ sont représentées par des complexes (phaseurs) $\underline{u} = U_{\max} e^{j\varphi}$ (ou $U_{\text{eff}} = U_{\max}/\sqrt{2}$). La loi d'Ohm généralisée s'écrit $\underline{u} = \underline{Z}\,\underline{i}$, où $\underline{Z}$ est l'impédance complexe :

• Résistor : $\underline{Z}_R = R$ (réelle, $u$ et $i$ en phase).
• Bobine : $\underline{Z}_L = j\omega L$ (imaginaire positive, $u$ en avance de $\pi/2$ sur $i$).
• Condensateur : $\underline{Z}_C = \dfrac{1}{j\omega C} = -j\dfrac{1}{\omega C}$ (imaginaire négative, $u$ en retard de $\pi/2$ sur $i$).

Associations. En série, les impédances s'additionnent : $\underline{Z} = R + j\omega L + \dfrac{1}{j\omega C}$ ; en parallèle, les admittances s'additionnent : $\dfrac{1}{\underline{Z}} = \sum \dfrac{1}{\underline{Z}_k}$.

Exemple. Circuit RC série ($R$, $C$) : $\underline{Z} = R + \dfrac{1}{j\omega C} = \dfrac{1 + j\omega RC}{j\omega C}$. Le module est $|\underline{Z}| = \sqrt{R^2 + \dfrac{1}{\omega^2 C^2}}$ et l'argument $\arg(\underline{Z}) = \arctan\left(\dfrac{1}{\omega RC}\right)$.

2. Résonance du circuit RLC série

Circuit RLC série alimenté par une source de tension $\underline{U}$ de pulsation $\omega$ : l'impédance est $\underline{Z} = R + j\left(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}\right)$, de module

$$|\underline{Z}| = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}.$$

Résonance en intensité. L'intensité efficace est $I = U/|\underline{Z}|$ ; elle est maximale quand $|\underline{Z}|$ est minimale, c'est-à-dire quand $\omega L = 1/(\omega C)$, soit à la pulsation de résonance

$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}.$$

À la résonance, $|\underline{Z}| = R$ (le circuit est purement résistif) et $I_{\max} = U/R$.

Résonance en tension (aux bornes du condensateur). La tension aux bornes du condensateur a pour fonction de transfert $H_C(j\omega) = \dfrac{1}{j\omega C}\Big/\underline{Z} = \dfrac{1}{1 - \omega^2 LC + j\omega RC}$. Son module est maximale à la pulsation $\omega_r = \omega_0\sqrt{1 - \dfrac{1}{2Q^2}}$, qui est réelle si et seulement si $Q > \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ; la surtension vaut $U_C(\omega_0) = Q \cdot U$ (le condensateur peut délivrer une tension $Q$ fois supérieure à la source : c'est l'exigible du programme). Le « pic de $Q$ » concerne la sortie condensateur, pas la bande passante du circuit.

Bande passante. La bande passante (écart entre les deux pulsations où $I = I_{\max}/\sqrt{2}$) est $\Delta\omega = \dfrac{\omega_0}{Q} = \dfrac{R}{L}$ (RLC série). Plus $Q$ est grand, plus la résonance est pointue.

Exemple. $L = 10\,\text{mH}$, $C = 10\,\mu\text{F}$, $R = 10\,\Omega$ : $\omega_0 = 3162\,\text{rad/s}$ ($f_0 = 503\,\text{Hz}$), $Q = 3{,}16$, bande passante $\Delta\omega = 1000\,\text{rad/s}$ ($\Delta f = 159\,\text{Hz}$).

3. Fonctions de transfert

La fonction de transfert $H(j\omega)$ est le rapport du complexe en sortie sur le complexe en entrée (en RSF) :

$$H(j\omega) = \frac{\underline{u}_{\text{sortie}}}{\underline{u}_{\text{entrée}}} = \frac{1}{1 + j\omega/\omega_c} \quad \text{(passe-bas RC)}.$$

Exemples.

• Passe-bas RC (sortie aux bornes de $C$) : $H(j\omega) = \dfrac{1}{1 + j\omega RC}$, $\omega_c = 1/(RC)$.
• Passe-haut RC (sortie aux bornes de $R$) : $H(j\omega) = \dfrac{j\omega RC}{1 + j\omega RC}$.
• Passe-bande RLC série (sortie aux bornes de $R$) : $H(j\omega) = \dfrac{R}{R + j(\omega L - 1/\omega C)}$.

Module et phase. Pour $H(j\omega) = \dfrac{1}{1 + j\omega/\omega_c}$ : $|H| = \dfrac{1}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_c)^2}}$ et $\varphi = -\arctan(\omega/\omega_c)$.

4. Diagrammes de Bode

Le diagramme de Bode est la représentation graphique de $|H|$ (en dB) et de $\varphi$ (en degrés) en fonction de $\omega$ (échelle logarithmique en abscisse).

Gain en dB. $G(\omega) = 20\,\log_{10}|H(j\omega)|$ (en dB).

Passe-bas du 1er ordre ($H = 1/(1 + j\omega/\omega_c)$) :

• Gain : $G = 20\log_{10}\dfrac{1}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_c)^2}}$.
  • Pour $\omega \ll \omega_c$ : $G \approx 0\,\text{dB}$ (plateau, $|H| \approx 1$).
  • Pour $\omega \gg \omega_c$ : $G \approx -20\log_{10}(\omega/\omega_c)$ (pente $-20\,\text{dB/décade}$).
  • À $\omega = \omega_c$ : $G = -3\,\text{dB}$ (le gain est divisé par $\sqrt{2}$).
• Phase : $\varphi = -\arctan(\omega/\omega_c)$, de $0$ à $-90^\circ$ ; à $\omega = \omega_c$, $\varphi = -45^\circ$.

Passe-haut du 1er ordre : symétrique (pente $+20\,\text{dB/décade}$ à haute fréquence, plateau à $0\,\text{dB}$).

Passe-bande du 2e ordre : plateau à $0\,\text{dB}$ autour de $\omega_0$ ($|H|_{\max} = 1$), pentes $\mp 20\,\text{dB/décade}$ de part et d'autre ; il n'y a pas de pic de hauteur $Q$ (le pic de $Q$ est celui de la tension du condensateur, pas de la bande passante).

Méthode de tracé.

1. Identifier les pulsations caractéristiques (coupure $\omega_c$, résonance $\omega_0$).
2. Écrire les asymptotes (plateaux et pentes) de part et d'autre.
3. Placer le point à $-3\,\text{dB}$ (à $\omega_c$) et les phases ($0$, $\pm 45^\circ$, $\pm 90^\circ$).
4. Tracer les asymptotes (droites) et la courbe exacte (légèrement au-dessous des asymptotes pour un passe-bas).

5. Filtres

Un filtre est un circuit qui atténue sélectivement certaines fréquences. On le caractérise par sa fonction de transfert $H(j\omega)$, sa pulsation de coupure $\omega_c$ (à $-3\,\text{dB}$) et son ordre $n$ (nombre de pôles ; pente asymptotique $\mp 20n\,\text{dB/décade}$).

Types.

• Passe-bas : laisse passer les basses fréquences ($\omega < \omega_c$), atténue les hautes.
• Passe-haut : laisse passer les hautes fréquences, atténue les basses.
• Passe-bande : laisse passer une bande de fréquences autour de $\omega_0$.
• Coupe-bande (réjecteur) : atténue une bande de fréquences.

Ordre. Un filtre du 1er ordre a une pente de $20\,\text{dB/décade}$ ; un filtre du 2e ordre a une pente de $40\,\text{dB/décade}$ ; etc. Plus l'ordre est grand, plus le filtre est sélectif (transitions plus raides).

6. Filtrage d'un signal périodique (série de Fourier)

Un signal périodique $s(t)$ de période $T$ s'écrit en série de Fourier :

$$s(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t)\right), \qquad \omega_0 = \frac{2\pi}{T}.$$

Coefficients. Les coefficients se calculent par projection sur les sinus et cosinus (orthogonalité sur une période, cf. M16) :

$$a_0 = \frac{1}{T}\int_0^T s(t)\,\mathrm{d}t, \qquad a_n = \frac{2}{T}\int_0^T s(t)\cos(n\omega_0 t)\,\mathrm{d}t, \qquad b_n = \frac{2}{T}\int_0^T s(t)\sin(n\omega_0 t)\,\mathrm{d}t.$$

L'amplitude de la $n$-ième harmonique est $c_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$ et sa phase $\varphi_n = -\arctan(b_n/a_n)$. On peut aussi écrire $s(t) = a_0 + \sum_{n\ge 1} c_n \cos(n\omega_0 t + \varphi_n)$.

Le spectre de $s$ est l'ensemble des harmoniques $n\omega_0$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) et de leurs amplitudes $c_n$.

Filtrage. Si on fait passer $s(t)$ par un filtre, chaque harmonique est multipliée par $H(j n\omega_0)$ : les harmoniques atténuées disparaissent, celles laissées passer subsistent. Exemple. Un signal carré (harmoniques impaires $1, 3, 5, \dots$) passe par un passe-bas de coupure $\omega_c = 3\omega_0$ : seules les harmoniques $1$ et $3$ passent ; le signal de sortie est une sinusoïde déformée (plus « lisse » que le carré).

Lecture du spectre. Le spectre (barres d'amplitude en fonction de la fréquence) permet de prévoir l'effet d'un filtre : on « coupe » les barres au-delà de $\omega_c$ (passe-bas) ou en dessous (passe-haut).

Capacités exigibles

• P1.8.fonction-transfert — Établir la fonction de transfert : utiliser les impédances complexes et le diviseur d'impédance pour écrire $H(j\omega) = \underline{u}_{\text{sortie}}/\underline{u}_{\text{entrée}}$, puis en déduire le module $|H|$ et la phase $\varphi$.
• P1.8.diagramme-bode — Tracer un diagramme de Bode : écrire le gain en dB $G = 20\log_{10}|H|$, identifier les asymptotes (plateaux et pentes $\mp 20n\,\text{dB/décade}$), placer le point à $-3\,\text{dB}$ et les phases ($0$, $\pm 45^\circ$, $\pm 90^\circ$).

Ce qui tombe en colle et en DS

Établir $H(j\omega)$, en déduire le comportement asymptotique et tracer le Bode : c'est l'exercice type du chapitre (régime sinusoïdal forcé). Il faut savoir :

• Établir la fonction de transfert $H(j\omega) = S(j\omega)/E(j\omega)$ en régime sinusoïdal forcé.
• Identifier le type de filtre (passe-bas, passe-haut, passe-bande) et la pulsation de coupure $\omega_c$.
• Déduire le comportement asymptotique (basses et hautes fréquences) et la bande passante.
• Tracer le diagramme de Bode (module en dB et phase) avec les asymptotes.
• Relier la qualité $Q$ à la sélectivité et à la surtension en résonance.

Pièges classiques

• Oublier le $j$ dans les impédances : $\underline{Z}_L = j\omega L$ et $\underline{Z}_C = 1/(j\omega C) = -j/(\omega C)$ ; le signe de l'imaginaire détermine l'avance ou le retard de phase.
• Confondre module et gain en dB : $|H|$ est le module (sans dimension) ; $G = 20\log_{10}|H|$ est le gain en dB ; il ne faut pas écrire $G = 20\log_{10}(H)$ (sans module).
• Pente du Bode : la pente est en dB par décade (pas par octave) ; une décade est un facteur $10$ en fréquence. Un filtre du 1er ordre a une pente de $20\,\text{dB/décade}$ ; du 2e ordre, $40\,\text{dB/décade}$.
• Point à $-3\,\text{dB}$ : c'est la pulsation de coupure $\omega_c$ ; à cette fréquence, le puissance est divisée par $2$ (pas le gain, qui est divisé par $\sqrt{2}$).
• Phase à $\omega_c$ : pour un filtre du 1er ordre, la phase à $\omega_c$ est $\pm 45^\circ$ (pas $0$ ni $\pm 90^\circ$) ; elle tend vers $0$ (basses fréquences) ou $\pm 90^\circ$ (hautes fréquences).
• Série de Fourier : le signal carré a des harmoniques impaires seulement ($1, 3, 5, \dots$) ; le signal triangulaire a des harmoniques impaires décroissant en $1/n^2$ (plus « lisse »).
• Résonance RLC : la résonance en intensité est à $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ quel que soit $R$ ; $R$ ne change que l'amplitude et la bande passante (pas la pulsation de résonance).

Graphe de référence

Diagramme de Bode (module) d'un passe-bas du 1er ordre : $G(\omega) = -20\log_{10}\sqrt{1 + (\omega/\omega_c)^2}$ avec $\omega_c = 1\,\text{rad/s}$. Pour $\omega \ll 1$, $G \approx 0\,\text{dB}$ (plateau) ; pour $\omega \gg 1$, $G \approx -20\log_{10}(\omega)$ (pente $-20\,\text{dB/décade}$) ; à $\omega = 1$, $G = -3\,\text{dB}$.

Pour aller plus loin

Annales utilisables sur ce chapitre (§4 de l'annexe Ressources, exercices et annales) : CCINP PC/PSI Physique 1, e3a Physique — parties « électronique ».

Voir aussi Ressources, exercices et annales pour les manuels recommandés et les banques d'exercices gratuites.