P1.3 — Optique géométrique

Objectif du chapitre. Étudier l'optique géométrique : le modèle du rayon, les lois de Snell-Descartes (réflexion et réfraction), la réflexion totale (fibre optique), les lentilles minces (foyers, relations de conjugaison de Descartes et de Newton, grandissement), et les instruments optiques (œil, appareil photographique, loupe, lunette astronomique). L'objectif est de savoir construire une image et calculer sa position et sa taille sans se tromper d'origine.

Notions

1. Modèle du rayon et indice

L'optique géométrique décrit la propagation de la lumière par des rayons (trajectoires perpendiculaires aux fronts d'onde). C'est un modèle valable quand les dimensions des obstacles sont grandes devant la longueur d'onde (sinon, il faut l'optique ondulatoire — diffraction, chapitre P1.2).

Indice de réfraction. L'indice $n$ d'un milieu est le rapport $\dfrac{c_0}{c}$ ($c_0$ célérité de la lumière dans le vide, $c$ célérité dans le milieu) ; $n \geq 1$. L'air a $n \approx 1$ ; l'eau $n \approx 1{,}33$ ; le verre $n \approx 1{,}5$. L'indice dépend de la longueur d'onde (dispersion) : $n$ est plus grand pour le bleu que pour le rouge.

2. Lois de Snell-Descartes

Réflexion. À l'interface entre deux milieux, le rayon réfléchi est dans le plan d'incidence, du même côté de la normale que le rayon incident, et l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence : $i_r = i$.

Réfraction (loi de Snell-Descartes). Le rayon réfracté est dans le plan d'incidence, du côté opposé de la normale, et

$$n_1 \sin i = n_2 \sin r,$$

où $i$ est l'angle d'incidence et $r$ l'angle de réfraction (mesurés depuis la normale).

Conséquences.

• Si $n_2 > n_1$ (passage vers un milieu plus réfringent), le rayon réfracté est rapproché de la normale ($r < i$).
• Si $n_2 < n_1$ (passage vers un milieu moins réfringent), le rayon réfracté est éloigné de la normale ($r > i$).
• Angle limite : si $n_2 < n_1$, il existe un angle limite $i_{\text{lim}}$ tel que $\sin i_{\text{lim}} = \dfrac{n_2}{n_1}$ ; pour $i > i_{\text{lim}}$, la réfraction est impossible et il y a réflexion totale.

3. Réflexion totale et fibre optique

La réflexion totale se produit quand la lumière passe d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent ($n_1 > n_2$) avec un angle d'incidence $i > i_{\text{lim}}$ (avec $\sin i_{\text{lim}} = n_2/n_1$) ; le rayon est entièrement réfléchi (pas de transmission).

Fibre optique. Une fibre optique est constituée d'une âme (indice $n_1$) et d'une gaine (indice $n_2 < n_1$) ; la lumière est confinée dans l'âme par réflexion totale à l'interface âme/gaine. La ouverture numérique est $ON = \sin \theta_{\max} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ (angle maximal d'acceptation). C'est le principe de la télécommunication par fibre (faible atténuation, grande bande passante).

4. Lentilles minces

Une lentille mince est un système optique dont l'épaisseur est négligeable devant les distances focales ; elle est caractérisée par sa vergence $V = \dfrac{1}{f'}$ (en dioptries, $f'$ en mètres).

Éléments cardinaux.

• Centre optique $O$ : point de la lentille par lequel passent les rayons non déviés.
• Foyer image $F'$ : image d'un point objet à l'infini (sur l'axe) ; $OF' = f'$ (distance focale image).
• Foyer objet $F$ : objet dont l'image est à l'infini ; $OF = -f'$ (symétrique de $F'$ par $O$, pour une lentille mince).

Lentille convergente ($f' > 0$, $V > 0$) : les rayons parallèles à l'axe convergent en $F'$ ; lentille divergente ($f' < 0$, $V < 0$) : les rayons parallèles divergent comme s'ils venaient de $F'$.

Construction d'images (rayons particuliers). Pour construire l'image $A'$ d'un point $A$ :

1. Le rayon parallèle à l'axe passe par $F'$ après la lentille.
2. Le rayon passant par le centre optique $O$ n'est pas dévié.
3. Le rayon passant par le foyer objet $F$ sort parallèle à l'axe.

L'intersection de deux de ces rayons donne l'image $A'$.

5. Relations de conjugaison

Conditions de Gauss (cadre de validité). Les relations de conjugaison ci-dessous ne sont valables que en approximation de Gauss (ou paraxiale) : les rayons doivent être voisins de l'axe optique et faiblement inclinés par rapport à l'axe (angles petits, $\sin\theta \approx \theta$, $\cos\theta \approx 1$), et les lentilles doivent être minces (épaisseur négligeable devant les distances objet/image). Hors de ce cadre (rayons « marginaux », lentilles épaisses), les relations exactes (Snell-Descartes sans approximation) introduisent des aberrations (sphérique, de champ) : l'image n'est plus un point net.

Relation de Descartes (lentille mince). Soient $A$ un point objet et $A'$ son image, avec $OA = \overline{OA}$ et $OA' = \overline{OA'}$ (coordonnées algébriques, origine au centre optique $O$). Alors

$$\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} = V.$$

Les mesures algébriques (coordonnées $\overline{OA}$, $\overline{OA'}$) portent le signe selon la convention (sens positif = sens du rayon) : c'est ce qui rend la relation de Descartes valable pour toute image (réelle/virtuelle, droite/inversée). Même convention de signe qu'en électricité ($u_{BA} = -u_{AB}$, chapitre P1.5).

Relation de Newton. Avec les origines aux foyers ($\overline{FA}$ et $\overline{F'A'}$ mesurées depuis $F$ et $F'$),

$$\overline{FA} \cdot \overline{F'A'} = -f'^2.$$

Grandissement. Le grandissement transversal (latéral) est

$$\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{f'}{f' + \overline{OA}}.$$

$\gamma > 0$ : image droite (même sens) ; $\gamma < 0$ : image inversée ; $|\gamma| > 1$ : image agrandie ; $|\gamma| < 1$ : image diminuée.

Nature de l'image.

• Image réelle : $\overline{OA'} > 0$ (image de même côté que la lumière transmise) ; elle peut être projetée sur un écran.
• Image virtuelle : $\overline{OA'} < 0$ (image du côté de l'objet) ; elle ne peut pas être projetée (elle se voit à travers la lentille).

Exemple. Une lentille convergente de $f' = 10\,\text{cm}$, objet à $\overline{OA} = -30\,\text{cm}$ (objet réel). Descartes : $\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{-30} = \dfrac{1}{10}$, donc $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{2}{30} = \dfrac{1}{15}$, soit $\overline{OA'} = +15\,\text{cm}$ (image réelle, de l'autre côté). Grandissement : $\gamma = \dfrac{15}{-30} = -\dfrac{1}{2}$ (image inversée, diminuée de moitié).

6. Instruments optiques

Œil. L'œil est une lentille convergente (cristallin) dont la vergence est ajustable par accommodation (muscles ciliaires) : l'œil voit net les objets situés entre le punctum proximum (distance minimale de vision nette, $\approx 10\,\text{cm}$ pour un œil jeune) et le punctum remotum (distance maximale, $\approx \infty$ pour un œil normal). L'image se forme sur la rétine (à la distance focale seulement sans accommodation, c'est-à-dire pour la vision de loin ; l'accommodation modifie la distance image).

Appareil photographique. L'objectif (lentille convergente) forme une image réelle sur le capteur (ou la pellicule) ; la profondeur de champ (zone nette) est d'autant plus grande que l'ouverture est petite (diaphragme fermé).

Loupe. Une loupe est une lentille convergente utilisée pour former une image virtuelle agrandie (l'objet est placé entre le foyer et la lentille, $\overline{OA} > -f'$) ; le pouvoir angulaire (grossissement commercial) est $G = \dfrac{d}{f'}$ ($d \approx 25\,\text{cm}$ distance de vision nette) : une focale courte grossit plus.

Lunette astronomique (afocale). Une lunette astronomique est constituée d'un objectif (grande focale $f_{\text{obj}}'$) et d'un oculaire (petite focale $f_{\text{oc}}'$) montés de sorte que le foyer image de l'objectif coïncide avec le foyer objet de l'oculaire (afocale : l'image finale est à l'infini). Le pouvoir angulaire est $G = -\dfrac{f_{\text{obj}}'}{f_{\text{oc}}'}$ (négatif : image inversée).

Capacités exigibles

• P1.3.conjugaison — Construire une image avec une lentille mince : utiliser les rayons particuliers (parallèle, centre optique, foyer) pour construire l'image, et appliquer les relations de conjugaison (Descartes/Newton) pour calculer la position et le grandissement.

Ce qui tombe en colle et en DS

Construire une image et calculer position/taille sans se tromper d'origine : c'est l'exercice type de l'optique géométrique. Il faut savoir :

• Choisir la bonne origine (centre optique $O$ pour Descartes, foyers $F, F'$ pour Newton).
• Appliquer les conventions de signe ($\overline{OA} < 0$ pour un objet réel).
• Construire l'image avec les rayons particuliers et vérifier par le calcul.
• Déterminer la nature de l'image (réelle/virtuelle, droite/inversée, agrandie/diminuée).

Pièges classiques

• Conventions de signe : $\overline{OA} < 0$ pour un objet réel (objet du côté de la lumière incidente) ; $\overline{OA'} > 0$ pour une image réelle ; il ne faut pas se tromper de signe (c'est la source n°1 d'erreurs).
• Origine de Descartes vs Newton : Descartes utilise l'origine au centre optique $O$ ; Newton utilise l'origine aux foyers $F, F'$ ; il ne faut pas mélanger les deux.
• Image virtuelle : une image virtuelle ($\overline{OA'} < 0$) ne peut pas être projetée sur un écran ; elle se voit à travers la lentille (ex. loupe, œil).
• Réflexion totale : condition $n_1 > n_2$ : la réflexion totale ne se produit que dans le passage d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent ; dans le sens inverse, il n'y a jamais de réflexion totale.
• Lentille mince : épaisseur négligeable : le modèle de la lentille mince suppose que l'épaisseur est négligeable devant les distances focales ; pour une lentille épaisse, il faut les points cardinaux (plus généraux).
• Grandissement : le signe compte : $\gamma < 0$ signifie image inversée (pas seulement « plus petite ») ; il ne faut pas confondre le signe (sens) avec la valeur absolue (taille).

Graphe de référence

La vergence d'une lentille mince en fonction de la distance focale $f'$ : $V = 1/f'$ (hyperbole). Pour $f' = 10\,\text{cm} = 0{,}1\,\text{m}$, $V = 10\,\text{D}$ (dioptries) ; pour $f' = 1\,\text{m}$, $V = 1\,\text{D}$. La courbe montre que la vergence est inversement proportionnelle à la focale (une lentille « forte » a une courte focale).

Pour aller plus loin

Ce chapitre n'a pas de renvoi spécifique dans la table du §4 de l'annexe Ressources, exercices et annales (programme non explicitement couvert par les thèmes recensés) — voir la page générale pour les manuels recommandés, les banques d'exercices gratuites et les annales par matière.