P2.6 — Mouvement dans un champ de force centrale conservatif

Objectif du chapitre. Étudier le mouvement d'un point matériel dans un champ de force centrale conservatif (gravitation, électrostatique) : la conservation du moment cinétique, la planéité de la trajectoire, la loi des aires (2e loi de Kepler), l'énergie potentielle effective $E_{p,\text{eff}}(r)$ et la discussion de la nature de la trajectoire (état lié / diffusion), le champ newtonien ($F \propto 1/r^2$), les lois de Kepler, les orbites circulaires, les vitesses cosmiques et les satellites géostationnaires. L'objectif est de savoir utiliser $E_{p,\text{eff}}$ pour discuter la nature de la trajectoire : c'est l'exercice type du chapitre.

Le produit vectoriel $\vec{u} \times \vec{v}$ est défini dans l'annexe Outils mathématiques.

Notions

1. Champ de force centrale et conservations

Un champ de force centrale est une force toujours dirigée vers (ou depuis) un point fixe $O$ : $\vec{F} = F(r)\,\vec{e}_r$. Les deux cas classiques sont la gravitation $\vec{F} = -\dfrac{GMm}{r^2}\vec{e}_r$ et l'électrostatique $\vec{F} = \dfrac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{e}_r$ (signe selon les charges).

Conservation du moment cinétique. La force étant radiale, son moment par rapport à $O$ est nul ($\vec{OM} \times \vec{F} = 0$) : le moment cinétique $\vec{L} = m\,\vec{OM} \times \vec{v}$ est constant (module et direction).

Planéité. $\vec{L}$ étant constant, la position $\vec{OM}$ et la vitesse $\vec{v}$ sont toujours perpendiculaires à $\vec{L}$ : la trajectoire est plane (elle est contenue dans un plan perpendiculaire à $\vec{L}$ passant par $O$). On peut donc réduire le problème à un mouvement plan en coordonnées polaires $(r, \theta)$.

Conservation de l'énergie. La force étant conservative (champ central newtonien), l'énergie mécanique $E_m = E_c + E_p$ est constante.

2. Loi des aires (2e loi de Kepler)

La conservation du moment cinétique $L = m r^2 \dot{\theta} = \text{cste}$ se réécrit

$$\frac{1}{2}\, r^2 \dot{\theta} = \frac{L}{2m} = \text{cste}.$$

Or $\dfrac{1}{2} r^2 \dot{\theta}$ est le taux de balayage d'aire (aire balayée par le rayon vecteur par unité de temps) : c'est la 2e loi de Kepler (aires égales en temps égaux). Le satellite balaie plus d'aire quand il est proche du centre ($\dot{\theta}$ grand) et moins quand il est loin ($\dot{\theta}$ petit).

3. Énergie potentielle effective

En coordonnées polaires, l'énergie cinétique est $E_c = \dfrac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2)$. En utilisant $L = m r^2 \dot{\theta}$ (donc $r^2\dot{\theta}^2 = L^2/(m^2 r^2)$), on isole le terme radial :

$$E_m = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \underbrace{\left(E_p(r) + \frac{L^2}{2 m r^2}\right)}_{E_{p,\text{eff}}(r)}.$$

L'énergie potentielle effective est

$$E_{p,\text{eff}}(r) = E_p(r) + \frac{L^2}{2 m r^2}.$$

Le 2e terme $\dfrac{L^2}{2mr^2}$ est le terme centrifuge (toujours positif, $\propto 1/r^2$) : il « repousse » la particule du centre (effet de la conservation du moment cinétique). Le mouvement radial $\dot{r}$ est interdit là où $E_m < E_{p,\text{eff}}(r)$ (énergie cinétique négative) : les points de retournement sont les solutions de $E_m = E_{p,\text{eff}}(r)$.

Discussion de la trajectoire.

• État lié ($E_m < 0$ pour la gravitation) : la trajectoire est fermée (ellipse) ; la particule est piégée dans le puits de potentiel.
• État de diffusion ($E_m \geq 0$) : la trajectoire est ouverte (parabole si $E_m = 0$, hyperbole si $E_m > 0$) ; la particule s'échappe à l'infini.
• Orbite circulaire : $E_m$ est au minimum de $E_{p,\text{eff}}$ (point d'équilibre stable) ; $\dot{r} = 0$ partout.

4. Champ newtonien et lois de Kepler

Pour la gravitation $E_p = -\dfrac{GMm}{r}$, l'énergie potentielle effective est

$$E_{p,\text{eff}}(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^2}{2 m r^2}.$$

Orbite circulaire. Le minimum de $E_{p,\text{eff}}$ (où $\dfrac{\mathrm{d}E_{p,\text{eff}}}{\mathrm{d}r} = 0$) donne le rayon de l'orbite circulaire $r_c = \dfrac{L^2}{G M m^2}$ ; la condition de force centripète $\dfrac{GMm}{r_c^2} = \dfrac{m v^2}{r_c}$ donne $v = \sqrt{GM/r_c}$ et $\omega = \sqrt{GM/r_c^3}$.

Lois de Kepler.

1. 1re loi : l'orbite est une conique (ellipse, parabole, hyperbole) dont le centre attracteur est un foyer (résultat de l'équation de Binet).
2. 2e loi : loi des aires (conservation du moment cinétique, section 2).
3. 3e loi : le carré de la période est proportionnel au cube du demi-grand axe : $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}\, a^3$ (valable pour toutes les orbites autour du même centre).

Exemple (3e loi). Pour la Terre ($GM = 3{,}986 \times 10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2$) : une orbite circulaire de rayon $r = R_{\oplus} = 6{,}371 \times 10^6\,\text{m}$ a pour période $T = 2\pi\sqrt{r^3/GM} = 84{,}2\,\text{min}$ (orbite basse) ; une orbite de $r = 4{,}216 \times 10^7\,\text{m}$ a $T = 86\,164\,\text{s}$ (le jour sidéral, géostationnaire).

5. Vitesses cosmiques et orbites

Vitesse orbitale (circulaire). $v_c = \sqrt{GM/r}$ : vitesse d'une orbite circulaire de rayon $r$. À la surface de la Terre ($r = R_{\oplus}$) : $v_c = \sqrt{GM/R_{\oplus}} = 7{,}91\,\text{km/s}$.

Vitesse de libération (seconde vitesse cosmique). $v_{\text{lib}} = \sqrt{2GM/r} = \sqrt{2}\, v_c$ : vitesse minimale pour s'échapper de l'attraction (énergie mécanique nulle à l'infini). À la surface de la Terre : $v_{\text{lib}} = 11{,}2\,\text{km/s}$.

Exemple. Le rapport $v_{\text{lib}}/v_c = \sqrt{2}$ est universel (indépendant de $r$) : il suffit de $\sqrt{2}$ fois la vitesse orbitale pour s'échapper.

6. Satellite géostationnaire

Un satellite géostationnaire est un satellite dont la période est égale à la rotation sidérale terrestre ($T = 86\,164\,\text{s}$, le jour sidéral, et non $24\,\text{h}$) et dont l'orbite est circulaire et équatoriale : il est stationnaire au-dessus d'un point fixe de la Terre.

Rayon. La 3e loi de Kepler donne $r = \left(\dfrac{GM T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} = 4{,}216 \times 10^7\,\text{m}$ (avec le jour sidéral $T = 86\,164\,\text{s}$), soit une altitude $h = r - R_{\oplus} = 35\,786\,\text{km}$. La vitesse est $v = \sqrt{GM/r} = 3{,}07\,\text{km/s}$.

Propriétés. L'orbite est unique (rayon et altitude fixés par la période) ; le satellite tourne dans le même sens que la Terre et reste au-dessus de l'équateur (sinon il « bougerait »). C'est le principe des satellites de télécommunication et de météorologie.

7. Équation de Binet et forme des orbites (complément — démonstration hors programme)

L'équation de Binet (complément : la dérivation complète est hors programme PCSI, le programme demande l'exploitation de $E_{p,\text{eff}}$ et l'énoncé des lois de Kepler) relie la courbure de la trajectoire à la force radiale. En posant $u = 1/r$ et en utilisant la conservation du moment cinétique ($\ell = r^2\dot{\theta}$ par unité de masse), on obtient

$$\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{F(1/u)}{m \ell^2 u^2}.$$

Pour une force newtonienne $F = -GMm/r^2 = -GMm u^2$ :

$$\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = \frac{GM}{\ell^2}.$$

La solution est $u(\theta) = \dfrac{GM}{\ell^2}\left(1 + e\cos(\theta - \theta_0)\right)$, soit $r(\theta) = \dfrac{\ell^2/GM}{1 + e\cos\theta}$ : une conique d'excentricité $e$ :

• $e < 1$ : ellipse (état lié, $E_m < 0$) ; $e = 0$ : cercle.
• $e = 1$ : parabole (seuil, $E_m = 0$).
• $e > 1$ : hyperbole (diffusion, $E_m > 0$).

L'excentricité est liée à l'énergie et au moment cinétique par $e = \sqrt{1 + \dfrac{2 E_m \ell^2}{(GMm)^2}}$ (par unité de masse : $e = \sqrt{1 + \dfrac{2 (E_m/m) \ell^2}{(GM)^2}}$). C'est la 1re loi de Kepler (orbites elliptiques). Le théorème de Bertrand précise que seules les forces en $1/r^2$ et le rappel harmonique ($F \propto -r$) donnent des orbites fermées ; les coniques à foyer sont propres au cas $1/r^2$.

Exemple. Pour une orbite avec $E_m/m = -GM/(4R_{\oplus})$ et $\ell = \sqrt{1{,}5\, GM R_{\oplus}}$ : $e = \sqrt{1 + 2(-GM/(4R_{\oplus}))(1{,}5 GM R_{\oplus})/(GM)^2} = \sqrt{1 - 0{,}75} = 0{,}5$ (ellipse de demi-grand axe $a = 2R_{\oplus}$, excentricité $0{,}5$).

Capacités exigibles

• P2.6.kepler — Utiliser l'énergie potentielle effective pour discuter une trajectoire : écrire $E_{p,\text{eff}}(r) = E_p(r) + L^2/(2mr^2)$, tracer la courbe, identifier les points de retournement ($E_m = E_{p,\text{eff}}$), le minimum (orbite circulaire) et discuter la nature de la trajectoire (état lié $E_m < 0$, diffusion $E_m \geq 0$).

Ce qui tombe en colle et en DS

Utiliser $E_{p,\text{eff}}$ pour discuter la nature de la trajectoire : c'est l'exercice type du chapitre (champ central conservatif). Il faut savoir :

• Établir les deux constantes du mouvement (énergie $E$, moment cinétique $L$).
• Construire l'énergie potentielle effective $E_{p,\text{eff}} = -\dfrac{GMm}{r} + \dfrac{L^2}{2mr^2}$ et en étudier la forme.
• Discuter la trajectoire selon le signe de $E$ (elliptique, parabole, hyperbole).
• Appliquer la 2ᵉ loi de Kepler (aire balayée) et relier la période au demi-grand axe (3ᵉ loi de Kepler).
• Identifier le point de plus proche approche (périhélie) et le point de plus grande distance (aphélie).

Pièges classiques

• Terme centrifuge : $\dfrac{L^2}{2mr^2}$ est toujours positif et domine à petit $r$ (la particule ne peut pas « tomber » sur le centre) ; il ne faut pas l'oublier dans $E_{p,\text{eff}}$ (sinon on prédit une chute sur le centre).
• État lié vs diffusion : pour la gravitation, $E_m < 0$ → lié (ellipse), $E_m = 0$ → parabole (seuil), $E_m > 0$ → hyperbole (diffusion) ; il ne faut pas confondre le signe de $E_m$ avec le signe de $E_p$ (toujours négatif pour la gravitation).
• Orbite circulaire = minimum de $E_{p,\text{eff}}$ : l'orbite circulaire correspond au minimum de $E_{p,\text{eff}}$ (pas au maximum) ; c'est un équilibre stable (petites perturbations → oscillations radiales).
• 3e loi de Kepler : $T^2 \propto a^3$ (carré de la période, cube du demi-grand axe $a$, pas du rayon) ; elle ne dépend pas de la masse du satellite (seulement de $GM$ du centre).
• Vitesse de libération : $v_{\text{lib}} = \sqrt{2}\, v_c$ (pas $2 v_c$) ; c'est la vitesse pour laquelle $E_m = 0$ (énergie cinétique = $|E_p|$).
• Géostationnaire : l'altitude est fixe ($35\,786\,\text{km}$) ; une orbite plus basse a une période plus courte (le satellite « bouge » par rapport au sol) ; une orbite polaire n'est pas géostationnaire (le satellite passe au-dessus des pôles).

Graphe de référence

Énergie potentielle effective $E_{p,\text{eff}}(r) = -\dfrac{GM}{r} + \dfrac{L^2}{2 r^2}$ (par unité de masse) pour une orbite circulaire de rayon $r = R_{\oplus}$ ($L = \sqrt{GM R_{\oplus}}$). La courbe a un minimum en $r = R_{\oplus}$ (orbite circulaire, $E_{p,\text{eff}} = -31{,}3\,\text{MJ/kg}$) et tend vers $+\infty$ quand $r \to 0$ (terme centrifuge) et vers $0^-$ quand $r \to \infty$ (gravitation). Les états liés ($E_m < 0$) ont deux points de retournement (périhélie et aphélie) ; l'état de diffusion ($E_m \geq 0$) en a un seul.

Pour aller plus loin

Annales utilisables sur ce chapitre (§4 de l'annexe Ressources, exercices et annales) : e3a, CCINP Physique — parties « mécanique ».

Voir aussi Ressources, exercices et annales pour les manuels recommandés et les banques d'exercices gratuites.