P1.7 — Oscillateurs amortis

Objectif du chapitre. Étudier les oscillateurs amortis : le circuit RLC série (analogie avec le système mécanique masse-ressort-amortisseur). On y écrit l'équation du second ordre $\ddot{x} + \dfrac{\omega_0}{Q}\dot{x} + \omega_0^2 x = 0$, on définit le facteur de qualité $Q$ et la pulsation propre $\omega_0$, on distingue les trois régimes (pseudo-périodique, critique, apériodique) selon $Q$, et on introduit le décrément logarithmique. L'objectif est de savoir lire $Q$ et $\omega_0$ sur une équation et prévoir le régime à partir de $Q$ : c'est l'exercice type du chapitre.

Notions

1. Circuit RLC série

Un circuit RLC série est constitué d'une résistance $R$, d'une bobine $L$ et d'un condensateur $C$ en série. Soit $q(t)$ la charge du condensateur et $u_C(t) = q/C$ sa tension.

Loi des mailles : $u_R + u_L + u_C = 0$, soit $Ri + L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + \dfrac{q}{C} = 0$ avec $i = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$. On obtient l'équation du second ordre

$$L\frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d}t^2} + R\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{C}q = 0,$$

ou, en divisant par $L$ :

$$\frac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d}t^2} + \frac{R}{L}\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{LC}q = 0.$$

Forme canonique. En posant la pulsation propre $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ et le facteur de qualité $Q = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$ (donc $\dfrac{R}{L} = \dfrac{\omega_0}{Q}$), l'équation s'écrit

$$\boxed{\ddot{x} + \frac{\omega_0}{Q}\dot{x} + \omega_0^2 x = 0}$$

(valide pour $q$, $u_C$, $i$). Le paramètre d'amortissement est $\gamma = \dfrac{\omega_0}{2Q}$.

Lecture sur l'équation. Pour une équation de la forme $\ddot{x} + a\dot{x} + b x = 0$ : $\omega_0 = \sqrt{b}$ et $Q = \dfrac{\sqrt{b}}{a}$ (ou $\gamma = a/2$).

2. Facteur de qualité

Le facteur de qualité $Q$ est un nombre sans dimension qui caractérise l'amortissement :

• Circuit RLC série : $Q = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}} = \dfrac{\omega_0 L}{R} = \dfrac{1}{\omega_0 C R}$.
• Système mécanique (masse $m$, ressort $k$, amortisseur $f$) : $Q = \dfrac{m\omega_0}{f} = \dfrac{1}{f}\sqrt{mk}$ avec $\omega_0 = \sqrt{k/m}$.

Interprétation. $Q$ est le nombre de demi-périodes (à peu près) pendant lesquelles l'oscillation persiste avant de s'amortir. Plus $Q$ est grand, moins l'amortissement est fort :

• $Q \gg 1$ : oscillations longues (amortissement faible).
• $Q = \dfrac{1}{2}$ : seuil critique.
• $Q < \dfrac{1}{2}$ : pas d'oscillation (retour à l'équilibre sans dépassement).

Énergie. En régime pseudo-périodique, l'énergie diminue d'un facteur $e^{-2\gamma T'}$ par période ; $Q$ est lié au nombre de périodes $N$ pour que l'amplitude soit divisée par $e$ : $N \approx Q/\pi$ (un grand $Q$ oscille longtemps).

3. Les trois régimes

On cherche des solutions de la forme $x(t) = e^{rt}$ : en les injectant dans l'ED, on obtient l'équation caractéristique $r^2 + 2\gamma r + \omega_0^2 = 0$ (les racines $r$ déterminent la forme de la solution). Le discriminant de cette équation caractéristique est $\Delta = \gamma^2 - \omega_0^2 = \omega_0^2(1/4Q^2 - 1)$ :

Régime pseudo-périodique ($Q > 1/2$, $\gamma < \omega_0$). Deux racines complexes conjuguées $-\gamma \pm i\omega'$ avec $\omega' = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$ (pulsation amortie). La solution est une oscillation de pulsation $\omega'$ à amplitude décroissante exponentiellement :

$$x(t) = A e^{-\gamma t}\cos(\omega' t + \varphi), \qquad T' = \frac{2\pi}{\omega'}.$$

Régime critique ($Q = 1/2$, $\gamma = \omega_0$). Racine double $-\gamma$ : retour à l'équilibre sans oscillation en temps minimal :

$$x(t) = (A + Bt)\, e^{-\gamma t}.$$

Régime apériodique ($Q < 1/2$, $\gamma > \omega_0$). Deux racines réelles distinctes $-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}$ : retour à l'équilibre sans oscillation, plus lent que le régime critique :

$$x(t) = A\, e^{(-\gamma + \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2})t} + B\, e^{(-\gamma - \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2})t}.$$

Statut — Admis (M4, M3). Les trois solutions ci-dessus sont admises en PCSI : leur obtention complète passe par la résolution des ED linéaires du second ordre (M4) et, pour le régime pseudo-périodique, par les nombres complexes (racines conjuguées $-\gamma \pm i\omega'$, partie réelle négative → amortissement, cf. M3). Il faut savoir identifier le régime à partir du signe de $\Delta$ et écrire la solution correspondante.

Récapitulatif.

Régime	Condition	Comportement
Pseudo-périodique	$Q > 1/2$	Oscillations amorties, $T' = 2\pi/\omega'$
Critique	$Q = 1/2$	Retour sans oscillation, temps minimal
Apériodique	$Q < 1/2$	Retour sans oscillation, plus lent

4. Décrément logarithmique

Le décrément logarithmique $\delta$ est le logarithme du rapport de deux amplitudes consécutives (à une période d'intervalle) dans le régime pseudo-périodique :

$$\delta = \ln\frac{|x(t)|}{|x(t+T')|} = \gamma T' = \frac{\pi}{Q}\cdot\frac{\omega_0}{\omega'}.$$

Pour $Q \gg 1$ ($\omega' \approx \omega_0$), on a l'approximation $\delta \approx \dfrac{\pi}{Q}$. Le décrément se lit sur le graphique : on mesure deux crêtes consécutives de l'oscillation amortie, et $\delta = \ln(A_1/A_2)$. C'est la méthode expérimentale pour déterminer $Q$ (ou $\gamma$) à partir d'un enregistrement.

5. Analogie mécanique

L'analogie entre le circuit RLC série et le système masse-ressort-amortisseur est complète :

Mécanique	Électrique
Position $x$	Charge $q$ (ou tension $u_C$)
Vitesse $\dot{x}$	Intensité $i$
Masse $m$	Inductance $L$
Raideur $k$	$1/C$
Amortisseur $f$	Résistance $R$
$m\ddot{x} + f\dot{x} + kx = 0$	$L\ddot{q} + R\dot{q} + \dfrac{1}{C}q = 0$
$\omega_0 = \sqrt{k/m}$	$\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$
$Q = m\omega_0/f$	$Q = \dfrac{1}{R}\sqrt{L/C}$

Les trois régimes et le décrément logarithmique se transposent directement.

6. Mesure expérimentale de Q

En laboratoire, on mesure $Q$ (ou $\gamma$) de deux façons complémentaires :

Méthode du décrément logarithmique. On enregistre l'oscillation amortie (oscilloscope), on mesure deux amplitudes consécutives $A_1$ et $A_2$ (à une période $T'$ d'intervalle), et on calcule $\delta = \ln(A_1/A_2)$. Connaissant $T'$ (mesurée sur l'oscilloscope), on en déduit $\gamma = \delta/T'$ et $Q = \omega_0/(2\gamma)$. Cette méthode est précise pour $Q$ modéré ($2 \lesssim Q \lesssim 20$) ; pour $Q$ très grand, $\delta$ est trop petit pour être mesuré avec précision.

Méthode de la bande passante (en régime forcé). En régime forcé (chapitre P1.8), la résonance du circuit RLC a une bande passante $\Delta\omega$ (écart entre les pulsations où la puissance est la moitié du maximum) ; on a $\Delta\omega = \omega_0/Q$. C'est la méthode standard pour mesurer $Q$ en électronique (facteur de qualité d'un circuit résonant, d'un filtre).

Méthode de l'énergie. On mesure l'énergie stockée au maximum de l'oscillation et la puissance dissipée dans $R$ ; on a $Q = 2\pi \times$ (énergie stockée / énergie dissipée par période).

7. Exemple numérique

Circuit RLC série : $L = 0{,}1\,\text{H}$, $C = 10\,\mu\text{F}$, $R$ variable. Pulsation propre : $\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 1/\sqrt{0{,}1 \times 10^{-5}} = 1000\,\text{rad/s}$ (fréquence $f_0 = 159\,\text{Hz}$).

• $R = 100\,\Omega$ : $Q = \dfrac{1}{100}\sqrt{\dfrac{0{,}1}{10^{-5}}} = 1{,}0 > \dfrac{1}{2}$ → pseudo-périodique (et non critique) : $\gamma = \omega_0/(2Q) = 500\,\text{s}^{-1}$, $\omega' = \omega_0\sqrt{1 - 1/(4Q^2)} = 1000 \times \sqrt{3}/2 \approx 866\,\text{rad/s}$.
• $R = 200\,\Omega$ : $Q = \dfrac{1}{200}\sqrt{\dfrac{0{,}1}{10^{-5}}} = 0{,}5 = \dfrac{1}{2}$ → régime critique (seuil exact : $R = 2\sqrt{L/C} = 200\,\Omega$).
• $R = 50\,\Omega$ : $Q = 2{,}0$ → pseudo-périodique : $\gamma = \omega_0/(2Q) = 250\,\text{s}^{-1}$, $\omega' = \sqrt{1000^2 - 250^2} = 968\,\text{rad/s}$, $T' = 6{,}5\,\text{ms}$, $\delta = \gamma T' = 1{,}62$.
• $R = 400\,\Omega$ : $Q = 0{,}25 < \dfrac{1}{2}$ → apériodique : $\gamma = 2000\,\text{s}^{-1} > \omega_0$ : retour sans oscillation.

Lecture sur le graphique. Si on mesure sur un enregistrement deux crêtes consécutives de $10\,\text{V}$ et $3{,}5\,\text{V}$ : $\delta = \ln(10/3{,}5) = 1{,}05$ ; avec $T' = 6{,}5\,\text{ms}$, $\gamma = \delta/T' = 162\,\text{s}^{-1}$ ; $Q = \omega_0/(2\gamma) = 3{,}1$.

Capacités exigibles

• P1.7.facteur-qualite — Lire le facteur de qualité sur une équation : pour $\ddot{x} + a\dot{x} + b x = 0$, identifier $\omega_0 = \sqrt{b}$ et $Q = \sqrt{b}/a$, et prévoir le régime (pseudo-périodique si $Q > 1/2$, critique si $Q = 1/2$, apériodique si $Q < 1/2$).

Ce qui tombe en colle et en DS

Lire $Q$ et $\omega_0$ sur une équation ; prévoir le régime à partir de $Q$ : c'est l'exercice type du chapitre (oscillateur amorti). Il faut savoir :

• Identifier $\omega_0$ et le facteur d'amortissement $\gamma$ (ou $b$) dans l'équation $x'' + 2\gamma x' + \omega_0^2 x = 0$.
• Calculer $Q = \omega_0/(2\gamma)$ et le discriminant $\Delta = \omega_0^2(1/4Q^2 - 1)$.
• Prévoir le régime (pseudo-périodique si $Q > 1/2$, critique si $Q = 1/2$, apériodique si $Q < 1/2$).
• Écrire la solution dans chaque régime et en tracer l'allure.
• Relier $Q$ au nombre d'oscillations $N \approx Q/\pi$ et à la bande passante.

Pièges classiques

• Oublier de mettre l'équation en forme canonique : il faut diviser par le coefficient de $\ddot{x}$ avant de lire $\omega_0$ et $Q$ ; sinon les valeurs sont fausses.
• Confondre $\omega_0$ et $\omega'$ : $\omega_0$ est la pulsation propre (sans amortissement) ; $\omega' = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$ est la pulsation amortie (inférieure). Pour $Q \gg 1$, $\omega' \approx \omega_0$ ; pour $Q \to (1/2)^+$, $\omega' \to 0$.
• Seuil critique $Q = 1/2$ : le régime critique correspond à $Q = 1/2$ (pas $Q = 1$, pas $Q = 0$ ni $Q = \infty$) ; c'est le seuil entre oscillation et retour sans oscillation. Le seuil se lit sur $\gamma = \omega_0$ : comme $\gamma = \omega_0/(2Q)$, on a $\gamma = \omega_0 \iff Q = 1/2$.
• Décrément logarithmique : $\delta = \gamma T'$ est le logarithme du rapport de deux amplitudes consécutives (à une période d'intervalle), pas de deux amplitudes quelconques. L'approximation $\delta \approx \pi/Q$ n'est valable que pour $Q \gg 1$.
• Analogie mécanique : la masse correspond à l'inductance $L$ (pas à la résistance) ; la raideur correspond à $1/C$ (pas à $C$) ; l'amortisseur correspond à la résistance $R$.
• Régime apériodique : pour $Q < 1/2$, la solution est une somme de deux exponentielles (pas une oscillation) ; le retour à l'équilibre est plus lent que dans le régime critique.

Graphe de référence

Oscillation amortie du régime pseudo-périodique : $x(t) = e^{-\gamma t}\cos(\omega' t)$ avec $\gamma = 250\,\text{s}^{-1}$ et $\omega' = 866\,\text{rad/s}$ ($\omega_0 \approx 901\,\text{rad/s}$, $Q \approx 1{,}8$, $T' = 7{,}26\,\text{ms}$). L'enveloppe $\pm e^{-\gamma t}$ décroît exponentiellement ; à $t = T'$, l'amplitude est divisée par $e^{\delta}$ avec $\delta = \gamma T' \approx 1{,}81$.

Pour aller plus loin

Annales utilisables sur ce chapitre (§4 de l'annexe Ressources, exercices et annales) : CCINP PC/PSI Physique 1, e3a Physique — parties « électronique ».

Voir aussi Ressources, exercices et annales pour les manuels recommandés et les banques d'exercices gratuites.