P4.5 — Circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire

Objectif du chapitre. Étudier un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire : les rails de Laplace (barre glissante), le freinage électromagnétique, la conversion électromécanique (moteur/générateur), le bilan de puissance (équation électrique + équation mécanique) et le haut-parleur / microphone (principe). L'objectif est de savoir écrire le bilan de puissance d'un circuit mobile (couple d'équations électrique-mécanique) et vérifier le bilan énergétique : c'est l'exercice type du chapitre.

Notions

1. Rails de Laplace

Les rails de Laplace sont le dispositif type : une barre conductrice de longueur $L$ (masse $m$) glisse sans frottement sur deux rails parallèles (espacés de $L$), parcourus par un courant, dans un champ magnétique uniforme $\vec{B}$ (perpendiculaire aux rails).

Fem motional. Quand la barre se déplace à la vitesse $v$, le flux à travers le circuit varie (l'aire augmente ou diminue) : la fem motional est

$$e = B L v.$$

Courant et force de Laplace. Si le circuit est fermé (résistance totale $R$), le courant est $i = e/R = BLv/R$ ; la barre subit une force de Laplace $\vec{F} = i\,\vec{L} \times \vec{B}$ de module $F = B L i = \dfrac{B^2 L^2 v}{R}$, opposée au mouvement (loi de Lenz : la force s'oppose à la cause, le mouvement).

Le produit vectoriel $\vec{u} \times \vec{v}$ est défini dans l'annexe Outils mathématiques.

Exemple. $B = 1\,\text{T}$, $L = 0{,}5\,\text{m}$, $R = 2\,\Omega$, $v = 1\,\text{m/s}$ : $e = BLv = 0{,}5\,\text{V}$ ; $i = e/R = 0{,}25\,\text{A}$ ; $F = BLi = 0{,}125\,\text{N}$ (force de freinage, opposée au mouvement).

2. Freinage électromagnétique

Si la barre est lâchée (sans moteur) et glisse sous l'effet de la gravité (rails inclinés) ou d'une vitesse initiale, la force de Laplace la freine (s'oppose au mouvement) : c'est le freinage électromagnétique.

Équation du mouvement. Pour une barre de masse $m$ glissant sur des rails horizontaux (sans gravité) avec une vitesse initiale $v_0$ : $m\dot{v} = -\dfrac{B^2 L^2}{R}v$ (force de freinage proportionnelle à $v$). La solution est $v(t) = v_0 e^{-t/\tau}$ avec $\tau = \dfrac{mR}{B^2 L^2}$ (décroissance exponentielle, amortissement visqueux).

Vitesse limite. Si la barre glisse sur des rails inclinés (gravité) ou est tirée par une force constante, la force de freinage augmente avec $v$ jusqu'à équilibrer la force motrice : la vitesse tend vers une vitesse limite $v_{\max}$. Exemple : barre de $m = 0{,}1\,\text{kg}$ sur rails verticaux (gravité), $B = 1\,\text{T}$, $L = 0{,}5\,\text{m}$, $R = 2\,\Omega$ : la vitesse limite est $v_{\max} = \dfrac{mgR}{B^2 L^2} = \dfrac{0{,}1 \times 9{,}81 \times 2}{1 \times 0{,}25} = 7{,}85\,\text{m/s}$ (au-delà, la force de freinage équivaut au poids).

La vitesse limite est la solution d'une ED du premier ordre (cf. M4, chapitre 4 des maths) : le régime transitoire est exponentiel de constante de temps $au = mR/(B^2 L^2)$.

Applications. Le freinage à induction (montagnes russes, ascenseurs, machines-outils) utilise ce principe : un aimant (ou une bobine) freine un conducteur en mouvement sans contact (pas d'usure, freinage progressif).

3. Conversion électromécanique (moteur/générateur)

Les rails de Laplace sont le modèle de la conversion électromécanique :

• Moteur : on impose un courant $i$ (source électrique) ; la force de Laplace $F = BLi$ pousse la barre (énergie électrique → mécanique). La fem motional $e = BLv$ s'oppose au courant (contre-électromotrice) : en régime permanent, $U = Ri + BLv$.
• Générateur : on impose un mouvement (vitesse $v$) ; la fem de mouvement $e = BLv$ crée un courant $i = e/R$ ; la force de Laplace $F = BLi$ freine (énergie mécanique → électrique) : il faut fournir du travail mécanique pour maintenir la rotation.

Symétrie. Le même dispositif est moteur ou générateur selon qu'on impose le courant (moteur) ou le mouvement (générateur) : c'est le principe de réciprocité de la conversion électromécanique.

4. Bilan de puissance (équation électrique + mécanique)

Le bilan de puissance d'un circuit mobile (couple d'équations) est :

Équation électrique (loi des mailles) :

$$U = R i + e, \qquad e = B L v \quad \text{(fem motional)}.$$

Équation mécanique (PFD) :

$$m\dot{v} = F - f, \qquad F = B L i \quad \text{(force de Laplace)}, \quad f = \text{frottements}.$$

Bilan énergétique. La puissance électrique reçue est $P_e = U i$ ; elle se distribue en :

• Pertes ohmiques : $P_J = R i^2$ (chaleur de Joule).
• Puissance mécanique : $P_m = e i = B L v \cdot i = F v$ (convertie en mécanique).

Bilan : $P_e = P_J + P_m$, soit $U i = R i^2 + B L v \cdot i$. Exemple : $U = 12\,\text{V}$, $R = 2\,\Omega$, $B L = 0{,}5\,\mathrm{V·s/m}$, $v = 10\,\text{m/s}$ : $e = BLv = 5\,\text{V}$ ; $i = (U - e)/R = (12 - 5)/2 = 3{,}5\,\text{A}$ ; $P_e = 12 \times 3{,}5 = 42\,\text{W}$ ; $P_J = 2 \times 3{,}5^2 = 24{,}5\,\text{W}$ ; $P_m = e i = 5 \times 3{,}5 = 17{,}5\,\text{W}$ (vérification : $24{,}5 + 17{,}5 = 42$).

Point crucial. Le bilan $P_e = P_J + P_m$ est la conservation de l'énergie appliquée au circuit mobile : la puissance électrique est partagée entre les pertes (Joule) et la conversion (mécanique). C'est l'outil clé pour vérifier le fonctionnement d'un moteur ou d'un générateur.

5. Haut-parleur et microphone (principe)

Haut-parleur (moteur). Un haut-parleur est une bobine (enroulement) attachée à un cône, placée dans un champ magnétique radial (aimant permanent). Le courant $i$ (signal audio) crée une force de Laplace $F = B L i$ (proportionnelle au courant) qui déplace le cône (énergie électrique → mécanique → sonore). Le cône pousse l'air (ondes sonores). Principe : la force est proportionnelle au courant (linéarité) ; le signal audio (tension variable) est converti en mouvement du cône.

Microphone (générateur). Un microphone (à bobine mobile) est l'inverse : le son (ondes de pression) déplace la bobine (vitesse $v$) ; la fem motional $e = BLv$ crée un courant $i = e/R$ (énergie sonore → mécanique → électrique). Le signal audio (tension) est proportionnel à la vitesse de la bobine (donc à la pression sonore).

Symétrie. Le haut-parleur (moteur) et le microphone (générateur) sont le même dispositif (bobine dans un champ) utilisé dans les deux sens : c'est le principe de réciprocité (un transducteur peut être émetteur ou récepteur).

Capacités exigibles

• P4.5.rails-laplace — Écrire le bilan de puissance d'un circuit mobile : écrire le couple d'équations électrique ($U = Ri + BLv$) et mécanique ($m\dot{v} = BLi - f$), calculer la fem motional $e = BLv$, la force de Laplace $F = BLi$, et vérifier le bilan énergétique $P_e = P_J + P_m$ ($Ui = Ri^2 + BLv \cdot i$).

Ce qui tombe en colle et en DS

Écrire le couple d'équations électrique-mécanique et vérifier le bilan énergétique : c'est l'exercice type du chapitre (circuit mobile). Il faut savoir :

• Établir la force de Laplace $\vec{F} = I\,\vec{\ell} \times \vec{B}$ sur le conducteur mobile.
• Écrire l'équation électrique (fem de mouvement $e = B\ell v$) et l'équation mécanique (2ᵉ loi de Newton).
• Coupler les deux équations et résoudre le système (régime transitoire et permanent).
• Vérifier le bilan énergétique (puissance reçue, dissipée, emmagasinée).
• Identifier la vitesse limite (régime permanent) et la constante de temps.

Pièges classiques

• Fem motional $e = BLv$ : la fem dépend de la vitesse $v$ (pas seulement de $B$ et $L$) ; si la barre est au repos ($v = 0$), pas de fem ; il ne faut pas confondre la fem motional (mouvement) avec la fem d'auto-induction ($-L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$, variation de courant).
• Force de Laplace opposée au mouvement : la force de Laplace sur une barre mobile est opposée au mouvement (loi de Lenz) ; elle freine (générateur) ou pousse (moteur, si le courant est imposé par une source) ; il ne faut pas confondre le sens (moteur vs générateur).
• Bilan $P_e = P_J + P_m$ : la puissance électrique est partagée entre les pertes ohmiques ($Ri^2$) et la conversion mécanique ($BLv \cdot i$) ; il ne faut pas oublier les pertes (sinon on prédit une conversion parfaite, impossible).
• Vitesse limite : la vitesse limite est atteinte quand la force de freinage ($B^2 L^2 v/R$) équivaut à la force motrice (gravité, moteur) ; au-delà, la vitesse stagne ; il ne faut pas confondre la vitesse initiale et la vitesse limite.
• Moteur vs générateur : le même dispositif est moteur (on impose le courant, la force pousse) ou générateur (on impose le mouvement, la fem crée le courant) ; il ne faut pas confondre les rôles (source vs récepteur).
• Haut-parleur/microphone : le haut-parleur est un moteur (courant → mouvement), le microphone est un générateur (mouvement → courant) ; c'est le même transducteur dans les deux sens (réciprocité) ; il ne faut pas confondre les sens de conversion.

Graphe de référence

Vitesse $v(t) = v_0 e^{-t/\tau}$ d'une barre sur rails de Laplace (freinage électromagnétique, $v_0 = 10\,\text{m/s}$, $\tau = 0{,}5\,\text{s}$). La courbe est une exponentielle décroissante : la vitesse décroît exponentiellement (amortissement visqueux, force de freinage proportionnelle à $v$) ; à $t = \tau = 0{,}5\,\text{s}$, $v = v_0/e = 3{,}68\,\text{m/s}$ ; à $t = 5\tau = 2{,}5\,\text{s}$, $v \approx 0$ (barre arrêtée).

Pour aller plus loin

Annales utilisables sur ce chapitre (§4 de l'annexe Ressources, exercices et annales) : CCINP PC/PSI Physique 1, e3a Physique — parties « électronique ».

Voir aussi Ressources, exercices et annales pour les manuels recommandés et les banques d'exercices gratuites.